初中数学北师大版（2024）八年级下册2 平行四边形的判定课后测评

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册2 平行四边形的判定课后测评，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，四边形中，于点E，于点F，交于点G．，连接．以下结论：①；②；③．其中正确的结论个数为（ ）

A．0个B．1个C．2个D．3个
2．如图，下面不能判断是平行四边形的是（ ）
A．∠B=∠D，∠A=∠C
B．AB∥CD，AD∥BC
C．AB∥CD，AB=CD
D．∠B+∠DAB=180°，∠B+∠BCD=180°
3．如图，能判定四边形为平行四边形的条件是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5，AB=6，BC=8，且AB∥DE，则△DEC的周长是（ ）．
A．3B．12C．15D．19
5．已知四边形的对角线相交于点，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，若平行四边形AFPE、BGPF、EPHD的面积分别为15、6、25，则阴影部分的面积是（ ）
A．20B．15.5C．23D．25
7．下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）．
A．B．
C．D．
8．能判断一个四边形是平行四边形的为（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等B．一组对边平行，一组对角相等
C．一组对边平行，一组对角互补D．一组对边平行，两条对角线相等
9．如图，在中，，相交于点，，分别为，的中点，连接，，，．求证：四边形是平行四边形．
证明：∵四边形是平行四边形，
…
∴四边形是平行四边形．
上面缺少的过程是打乱的：
①∵，分别为，的中点，②∴；③∴，．
则正确顺序是（ ）
A．③①②B．①②③C．①③②D．②①③
10．如图，等边三角形是一块边长为的草坪，点P是草坪内的任意一点，过点P有三条小路，且满足，则三条小路的总长度为（ ）
A．B．C．D．
11．如图，，，，，的面积为，则四边形的面积为（ ）
A．6B．10C．20D．40
12．能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，B． AB∥CD，
C．，D．，
二、填空题
13．如图，在中，，，，，，都是等边三角形．
（1）判断四边形的形状，四边形是 ；
（2）线段与的位置关系是 ，四边形的面积是 ．
14．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图1，及边的中点，求作：平行四边形．
小静的作法如下：
在数学课上，老师提出如下问题：
①连接并延长，在延长线上截取；
②连接．所以四边形就是所求作的平行四边形．
老师说：“小静的作法正确”．
请回答：小静的作法正确的理由是 ．

15．如图，▱ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A=115°，则∠BCE= 度．
16．若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝24cm，则当OA＝ cm时，四边形ABCD是平行四边形．
17．如图，的对角线交于点O，点M，N，P，Q分别是四条边上不重合的点．下列条件：①，；②MP，NQ均经过点O；③NQ经过点O，．能判定四边形MNPQ是平行四边形的有 （填序号）．
三、解答题
18．如图，在平面直角坐标系中，是原点，的顶点、的坐标分别为、，反比例函数的图像经过点.
(1)求点的坐标；
(2)求的值.
(3)将沿轴翻折，点落在点处.判断点是否落在反比例函数的图像上，请通过计算说明理由.
19．学习完四边形的知识后，小明想出了“作三角形一边中线”的另一种尺规作图的作法，下面是具体过程．
已知：．
求作：边上的中线．
作法：如图，
①分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点；
②作直线，与交于点，所以线段就是所求作的中线．
根据小明设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：连接，．
， ，
四边形是平行四边形（ ）（填推理的依据）．
（ ）（填推理的依据）．
是边上的中线．
20．“小小停车位，关乎大民生”，某数学兴趣小组关注到本校教师每天进校的车辆数超过学校原有的停车位数，有部分车辆不能规范停放，对校园安全存在一定的隐患，于是打算向学校提供一个增设停车位的方案．
素材1：该兴趣小组对学校的一片空地进行了实地测量，测得空地长32米，宽14米．
素材2：
任务1 兴趣小组根据素材2分别设计了垂直停车位和倾斜停车位．垂直停车位如图1，，，；倾斜停车位如图2，，，．请分别判断所设计的两种停车位的形状，并选择一种说明理由．
任务2 为了排除校园安全隐患，根据素材2提供的信息，若用上述设计的两种停车位，并尽可能多的设置停车位数量，学校该空地应选择哪种停车位布置方式？最多可以设置多少个停车位？（参考数据：）
21．如图1所示，平行四边形是苏州乐园某主题区域的平面示意图，A，B，C，D分别是该区域的四个入口，两条主干道，交于点O，请你帮助苏州乐园的管理人员解决以下问题：
(1)若，你能判断的形状吗？请说明理由．
(2)在（1）的条件下，如图2，乐园管理人员为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道，其中点M在上，点N在上，且（点M与点O，B不重合），并计划在与两块绿地所在区域种植花期长久的马鞭草，求种植马鞭草区域的面积．
(3)若将该区域扩大，如图3，此时，修建（2）中的绿道每千米费用为4万元，请你计算修建这三条绿道投入资金的最小值．
22．图1表示一双开门关闭时的状态图，图2表示打开双门过程中，某一时刻的示意图，其中AB为门槛宽度．

(1)当时，双门间隙与门槛宽度的比值为 ___________．
(2)若双门间隙的距离为2寸，点和点距离都为1尺（1尺10寸），则门槛宽度是 ___________寸．
23．已知：如图，AD∥BC，ED∥BF，且AF=CE．求证：四边形ABCD是平行四边形．

24．如图，点、、、在同一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)连接、，判断四边形的形状，并说明理由．
停车位布置方式
垂直停车位
倾斜停车位
示意图
车位标准尺寸
长6米，宽2.5米
倾斜线长6米，倾斜线之间的距离为2.5米
通道
通道宽度不小于3.5米
《6.2平行四边形的判定》参考答案
1．C
【分析】根据可判定①，用反证法证明②，根据证得，得到可判断③．
【详解】解：∵于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
用反证法证明②，
假设，
则有为等腰三角形，F为的中点，
又，可证得，与题设不符；
由（1）知，
∴，
连接，
∵
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，故③正确；
故正确的个数有2个．
故选：C．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形 的判定和性质，注意这些知识的熟练掌握与灵活运用是关键．
2．A
【详解】试题分析:根据平行四边形各种判定方法判定四边形ABCD为平行四边形，即可判断A、B、C、D选项是否可以证明四边形为平行四边形．
解：A、∠A，∠C的表示方法错误，故A选项正确；
B、根据对边平行的四边形是平行四边形可以证明四边形ABCD为平行四边形，故B选项不合题意；
C、有一组对边平行且相等的四边形可以证明四边形ABCD为平行四边形，故C选项不合题意；
D、根据∠B+∠DAB=180°可以证明AD∥BC，根据∠B=∠BCD=180°可以证明AB∥CD，根据对边平行的四边形是平行四边形可以证明四边形ABCD为平行四边形，故D选项不合题意．
故选 A．
考点：平行四边形的判定．
3．D
【分析】根据平行四边形的判定方法处理；
【详解】解：A. ，；无法判定为平行四边形，本选项不合题意；
B. ，；无法判定为平行四边形，本选项不合题意；
C. ，；无法判定为平行四边形，本选项不合题意；
D. ，；两组对边分别相等的四边形为平行四边形，本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的判定方法；掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
4．C
【分析】本题主要考查了等腰梯形的性质和平行四边形的判定及性质. 根据等腰梯形的两腰相等可得出DE、DC的长度，利用平行线的性质可得出BE的长度，继而可得出答案
【详解】∵AD∥BC，AB∥DE，
∴ABED是平行四边形，
∴DE=CD=AB=6，EB=AD=5，
∴EC=8-5=3，
则△DEC的周长=DE+DC+EC=6+6+3=15．
故选C
5．D
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可
【详解】解：如图：

A、，
，
，
四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、 ，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
C、，
，
，
，
四边形为平行四边形，故此选项不合题意；
D、不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意．
故选：D．
6．B
【分析】从整体观察，阴影部分面积为S平行四边形ABCD-S△ADF-S△BFG-S△CDG，即可得出答案．
【详解】S平行四边形AFPE∶S平行四边形EPHD=S平行四边形ABGE∶S平行四边形EGCD==， S平行四边形PGCH=10，
S平行四边形ABCD=56，S平行四边形AFHD=15+25=40，S平行四边形EGCD=25+10=35，S平行四边形FBGP=6，
S阴影=56-×40-×35-×6=15.5，
故选B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟知三角形面积为平行四边形面积的一半是解题的关键．
7．B
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【详解】解：A、，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意；
B、，不能判定四边形是平行四边形，可能是等腰梯形，故此选项符合题意；
C、，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意；
D、，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题；
故选：B
8．B
【详解】试题分析：因为平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形，B．一组对边平行，一组对角相等，利用平行线的性质，结合条件一组对角相等可证得：另一组对边平行或另一组对角相等，所以可证明四边形是平行四边形，故选B.
考点：平行四边形的判定.
9．A
【分析】由的判断及性质，可得四边形的对角线互相平分，由平行四边形的判定即可．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
，,
，分别为，的中点，
，
∴四边形是平行四边形，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，解题关键熟悉掌握平行四边形的判定．
10．C
【分析】延长FP交AB于点G，根据等边三角形的性质以及平行线的性质可证△DPG是等边三角形，△AGF是等边三角形，根据等边三角形的性质可得GF=AG，再证明四边形GBEP是平行四边形，可得PE=GB，即可求出三条小路的总长．
【详解】解：延长FP交AB于点G，如图所示：
在等边△ABC中，∠A=∠B=∠C=60°，
∵，
∴∠PDG=∠A=60°，
∵，
∴∠PGD=∠B=60°，∠AFG=∠C=60°，
∴∠DPG=60°，
∴△DPG是等边三角形，
∴DP=GP，
∵∠A=∠DGP=∠AFG=60°，
∴△AGF是等边三角形，
∴GF=AG，
∵，，
∴四边形GBEP是平行四边形，
∴PE=GB，
∴PE+PF+PD=BG+AG=AB，
∵等边三角形ABC是一块边长为20m的草坪，
∴AB=20m，
∴PE+PF+PD=20(m)，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
11．C
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质以及三角形的面积．先判断四边形为平行四边形得到，则，再利用得到点和点到的距离相等，设点到的距离为，利用的面积为可计算出，然后根据平行四边形的面积公式计算四边形的面积．
【详解】解：，
四边形为平行四边形，
，
，
，
点和点到直线的距离相等，
设点到的距离为，
的面积为，
，
解得，
四边形的面积．
故选：C．
12．B
【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的5种判定定理逐一验证即可．
【详解】解：如下图，
A．根据一组对边平行，另一组对边相等不能判定四边形ABCD是平行四边形，故该选项错误；
B．∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠B=∠D，
∴∠C+∠D=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)，故该选项正确；
C．根据平行四边形的判定定理，该选项无法判断四边形是平行四边形，故该选项错误；
D．根据平行四边形的判定定理，该选项无法判断四边形是平行四边形，故该选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧，这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．
13． 平行四边形 垂直 6
【分析】（1）通过证明三角形全等得到BC=AD，CD=BA，对边相等，从而证明图形是平行四边形
（2）由于△AEF为直角三角形且AE⊥AF，即可得到BE⊥BC；求四边形的面积可转化成求△ABC面积再乘以2即可，而△ABC面积由BC乘以BC边上的高，最终求出面积．
【详解】（1）∵，，都是等边三角形，
∴∠BEA=∠CEF=∠DFA=∠CFE=60°，AB=BE=AE，CE=CF=EF，AD=DF=AF，
∴∠BEC=∠AEF，∠DFC=∠AFE，
在△EBC和△EAF中
∵
∴△EBC≌△EAF（SAS），
同理可证△CDF≌△EAF（SAS），
∴BC=AF=AD，AB=AF=CD，
∴四边形是平行四边形；
（2）∵△BEC≌△EAF，
∴∠EBC=∠EAF=90°，
∴BE⊥BC，
如图过A点作BC的垂线，垂足为点G，
∵∠ABE=60°，∠EBC=90°，
∴∠ABC=90°-60°=30°，
∴，
∴，
故答案为：BE⊥BC；6．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质、30°直角三角形性质等，掌握这些性质是解决本题的关键．
14．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【分析】由题意可得，，然后由对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得到答案．
【详解】解：是边的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形，
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形，是解此题的关键．
15．25
【分析】先根据平行四边形的性质求得∠B的度数，再根据三角形的内角和为180°即可求得结果．
【详解】解：∵▱ABCD
∴AD∥BC
∴∠B=180°-∠A=65°
又∵CE⊥AB，
∴∠BCE=90°-65°=25°
故答案为：25．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，三角形的内角和，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的邻角互补，三角形的内角和为180° .
16．12
【分析】由OA=12cm求出OC，得出OA=OC，再由平行四边形的判定定理即可得出结论．
【详解】解：当OA=12cm时，OC=24-12=12（cm），
∴OC=OA，
∵OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：12．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，熟记对角线互相平分的四边形为平行四边形是解题的关键．
17．①②
【分析】①根据平行四边形的性质结合已知条件，证明，，可得，，根据两组对边相等的四边形是平行四边形，即可判断①，②根据平行四边形是中心对称图形，即可判断②，根据已知条件不能判断③．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
，,．
①，
∴，
∴．
，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形．
故①正确；
②∵，
∴，
，
∴，
∴．
同理可得：
∵，
四边形是平行四边形．
故②正确；
③经过点O，，的位置未知，不能判断四边形是平行四边形，
故③不正确；
故答案为：①②．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
18．(1)；(2)；(3)点不落在反比例函数图像上.
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得的坐标；（2）已知的坐标，可得的值；（3）根据图形全等和对称，可得坐标，代入反比例函数，可判断是否在图像上.
【详解】解：(1)∵平行四边形，
∴，
∵的坐标为，
∴，
∵的坐标为，
∴点的坐标为；
(2)把的坐标代入函数解析式得：，
∴.
(3)点不落在反比例函数图像上；
理由：根据题意得：的坐标为，
当时，，
∴点不落在反比例函数图像上.
【点睛】本题综合考查平行四边形性质、反比例函数、图形翻折、全等等知识.
19．(1)见解析
(2)，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）利用平行四边形的判定和性质解决问题即可．
【详解】（1）解：如图，图形如图所示：
（2）解：连接，．
，，
四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
（平行四边形的对角线互相平分）．
故答案为：，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分．
【点睛】本题考查作图基本作图平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．任务一：矩形，平行四边形，理由见解析；任务二：学校该空地应选择倾斜停车位布置方式，最多可以设置个停车位
【分析】根据，，，可以判定四边形是矩形；根据，，，可以判定四边形是平行四边形；按照空地宽度设置垂直停车位的宽度，确定设置列数，就可以求出总的车位数；过点作于点，过点作垂直于延长线于点，由于，利用平行四边形的性质和勾股定理，分别计算出，，，确定每行车位数和设置的行数，进而求出设置倾斜停车位数，即可得出结论．
【详解】解：任务一
图1设计的停车位是矩形，图2设计的停车位是平行四边形，
理由：在图1中，，，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
在图2中，因为，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
任务二：
设置垂直停车位
空地长32米，宽14米，垂直停车位长6米，宽2.5米，通道宽度不小于3.5米，
（个），即按照宽度来设置停车位可以设置个，
（列），即垂直停车位可以设置3列，
垂直停车位最多可以设置（个）；
设置倾斜停车位：
过点作于点，过点作垂直于延长线于点，
四边形是平行四边形，
米，，，
，
，米，，，
，，
在中，，
米，
米，
在中，，
设，则，
，解得，
米，
每行设置车位数个，
，
可以设置两行倾斜停车位，共个，
学校该空地应选择倾斜停车位布置方式，最多可以设置个停车位．
【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
21．(1)是等腰三角形，理由见解析
(2)
(3)万元
【分析】（1）利用平行四边形的性质求出，进而可得，则是等腰三角形；
（2）根据已知条件可得，从而的值转化为求的值即可；
（3）如图所示，过点M作，过点A作交于P，则四边形是平行四边形，，同理可得，求出，进而推出当三点共线时，最小，即最小，最小值为，由勾股定理得，则，据此求解即可．
【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：连接、，如图：
在中，，
，
，
，，，
，
，
过点作于点，
，
，
，
；
．
种植马鞭草区域的面积为．
（3）解：如图所示，过点M作，过点A作交于P，则四边形是平行四边形，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，即最小，最小值为，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴修建这三条绿道投入资金的最小值为万元．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质,勾股定理,等腰三角形的性质与判定，正确做出辅助线是解题的关键．
22．(1)
(2)101
【分析】（1）过作交于点，得到是等边三角形，四边形是平行四边形，从而推出，即可得到答案；
（2）作于，于，得到，得到，设寸，则寸，由勾股定理列出关于的方程，即可解决问题．
【详解】（1）解：过作交于点，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴双门间隙与门槛宽度的比值为．
故答案为：；
（2）作于，于，

∵点和点距离都为1尺，
∴（寸），
∵，
∴，
∴，
设寸，则寸，
∵寸，
∴（寸），
∵，，
∴（寸），
∵，
∴，
∴，
∴（寸），
∴门槛宽度是101寸．
故答案为：101．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．
23．证明：∵AD∥BC∴∠DAE=∠BCF∵ED∥BF∴∠DEF=∠BFE∴∠DEA=∠BFC
∵AF=CE∴AE=CF∴△ADE≌△CBF∴AD=CB∴四边形ABCD是平行四边形．
【详解】根据平行线的性质以及AF=CE可得△ADE≌△CBF，得到AD=CB，
又AD∥BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
所以四边形ABCD是平行四边形．
24．(1)证明见解析
(2)四边形是平行四边形，理由见解析
【分析】（1）由得，再利用即可证明三角形全等；
（2）由可得，进而可得，即可证明四边形是平行四边形．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即
在和中
∴
（2）四边形是平行四边形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定，平行四边形的判定是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
C
D
B
B
B
A
C
题号
11
12








答案
C
B