初中数学北师大版（2024）九年级下册5 三角函数的应用同步训练题

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级下册5 三角函数的应用同步训练题，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，等边ΔABC的边长为3，点在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：
①与可能相等；②与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为．其中，正确结论的序号为（ ）
A．①④B．②④C．①③D．②③
2．如图在某山坡前有一电视塔，小明在山坡坡脚P处测得电视塔顶端M的仰角为60°，在点P处小明沿山坡向上走到达D处，测得电视塔顶端M的仰角为30°，已知山坡坡度，请你计算电视塔的高度约为（ ）（结果精确到，参考数据：）
A．59.8B．58.8C．53.7D．57.9
3．为出行方便，近日来越来越多的重庆市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知，∠ABE＝70°，∠EAB＝45°，车轮半径为30cm，BE＝40cm．小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为0.9m时骑着比较舒适，此时CE的长约为（ ）（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈1.41）
A．26cmB．24cmC．22cmD．20cm
4．端午节，赛龙舟，小亮在点处观看400米直道竞速赛，如图所示，赛道为东西方向，赛道起点位于点的北偏西方向上，终点位于点的北偏东方向上，米，则点到赛道的距离为（ ）米.
A．B．C．87D．173
5．如图，四边形的对角线平分，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，小颖利用有一个锐角是的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离为，为（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ）
A．(533+32)mB．(53+32)mC．533 mD．4m
7．如图，一根电线杆垂直于地面，并用两根拉线，固定，量得，，则拉线，的长度之比（ ）
A．B．C．D．
8．如图，河坝横断面的迎水坡AB的坡度i=3：4，BC＝12m，则坡面AB的长为（ ）
A．12mB．16mC．20mD．24m
9．已知m为实数，且，是关于x的方程的两根，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
10．Rt△ABC中，，，则的值是（ ）
A．B．1C．D．
11．已知梯形的两对角线分别为和，且它们的夹角为，那么该梯形的面积为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为 30°，则电线杆AB的高度为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．如图，在高度是18米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的仰角为45°，则这个建筑物的高度CD= 米（结果可保留根号）；
14．如图，把两张宽度都是5cm的纸条交错的叠在一起，相交成角α．则长为 ．
15．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，O均落在格点上，为⊙O的半径．

（1）的大小等于 （度）；
（2）将绕点O顺时针旋转，得，点A，B旋转后的对应点为，．连接，设线段的中点为M，连接．当取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）．
16．如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽米，坝高是20米，背水坡的坡角为30°，迎水坡的坡度为1∶2，那么坝底的长度等于 米（结果保留根号）
17．如图，与斜坡垂直的太阳光线照射立柱（与水平地面垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若米，米，斜坡的坡角，则立柱的高为 米（结果精确到0.1米）．
三、解答题
18．某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度，（结果精确到0．lm．温馨提示：sin15°≈0.26，csl5°≈0.97，tan15°≈0.27）
19．如图，已知矩形 .
（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：
①以点为圆心，以的长为半径画弧交边于点，连接；
②作的平分线交 于点；
③连接;
（2）在（1）作出的图形中，若，则的值为 .
20．如图，在东西方向的海岸线上有一长为的码头，在码头西端M的正西处有一观察站A，某时刻测得A处的西偏北且与A相距的B处，有一艘匀速直线航行的轮船，轮船沿南偏东的方向航行，经过2小时，又测得该轮船位于A处的东偏北的C处.（参考数据：，，，）
(1)填空：_________°，__________°；
(2)求轮船航行的速度；（精确0.1）
(3)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好至码头MN靠岸?请说明理由.
21．在一次数学活动课上，某校初三数学老师带领学生去测河宽，如图所示，某学生在河东岸点处观测到河对岸水边有一点，测得在北偏西的方向上，沿河岸向北前行20米到达处，测得在北偏西的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈，sin31°≈）
22．如图，这是某校装潢设计小组的同学设计的宣传牌，由三块四边形和一块矩形底座组成，左侧较高的四边形中，，，，，，底座高．
(1)求与地面所成锐角的度数．
(2)求点D到地面的距离．（参考数据：，，，，，结果精确到）
23．如图，在正方形ABCD中，E为CD上一动点，（点E不与C、D重合）且CD＝nDE， F为AD上一动点，且AE⊥FG于点H．
（1）如图1，求证：AE＝FG；
（2）延长FG、AB相交于点P，且AH＝EH；
①n＝3，求证：FH+PG＝HG；
②若G是PH的中点，直接写出n的值．
24．如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线经过原点，与交于点轴于点，点D的坐标为反比例函数的图象恰好经过两点.

(1)求的值及所在直线的表达式;
(2)求证:.
(3)求的值.
科学计算器按键顺序
计算结果（已取近似值）
0.530
0.848
0.625
《1.5三角函数的应用》参考答案
1．D
【分析】①通过分析图形，由线段在边上运动，可得出，即可判断出与不可能相等；
②假设与相似，设，利用相似三角形的性质得出的值，再与的取值范围进行比较，即可判断相似是否成立；
③过P作PE⊥BC于E，过F作DF⊥AB于F，利用函数求四边形面积的最大值，设，可表示出，，可用函数表示出，，再根据，依据，即可得到四边形面积的最大值；
④作点D关于直线的对称点D1，作D1D2∥PQ，连接CD2交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′=PQ，此时四边形P′CDQ′的周长为：，其值最小，再由D1Q′=DQ′=D2 P′，，且∠AD1D2=120°，∠D2AC=90°，可得的最小值，即可得解．
【详解】解：①∵线段在边上运动，，
∴,
∴与不可能相等，
则①错误；
②设，
∵，，
∴，即，
假设与相似，
∵∠A=∠B=60°，
∴，即，
从而得到，解得或（经检验是原方程的根），
又，
∴解得的或符合题意，
即与可能相似，
则②正确；
③如图，过P作PE⊥BC于E，过D作DF⊥AB于F，
设，
由，，得，即，
∴，
∵∠B=60°，
∴，
∵，∠A =60°，
∴,
则，
，
∴四边形面积为：,
又∵，
∴当时，四边形面积最大，最大值为：，
即四边形面积最大值为，
则③正确；
④如图，作点D关于直线的对称点D1，作D1D2∥PQ，连接CD2交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′=PQ，
此时四边形P′CDQ′的周长为：，其值最小，
∴D1Q′=DQ′=D2 P′，，
且∠AD1D2=180∠D1AB=180∠DAB =120°，
∴∠D1AD2=∠D2AD1==30°，∠D2AC=90°，
在△D1AD2中，∠D1AD2=30°，，
∴，
在Rt△AD2C中，
由勾股定理可得，，
∴四边形P′CDQ′的周长为：
，
则④错误，
所以可得②③正确，
故选：D．
【点睛】本题综合考查等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、利用函数求最值、动点变化问题等知识．解题关键是熟练掌握数形结合的思想方法，通过用函数求最值、作对称点求最短距离，即可得解．
2．C
【分析】如图，先将坡度分解为水平方向和竖直方向，得到DH和HP的长度，然后在△MPE和△MDQ中运用三角函数建立方程求解即可．
【详解】如图所示，作DH⊥EP延长线于H点，作DQ⊥ME于Q点，则四边形DHEQ为矩形，
∵山坡坡度，PD=39，
∴，DH=15，PH=36，
∵四边形DHEQ为矩形，
∴QE=DH=15，
设PE=x，则DQ=HE=PH+PE=36+x，
由∠MPE=60°，可得，则，
在中，∠MDQ=30°，
∴，
即：，
解得：，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡度以及仰角等基本定义，灵活构造直角三角形是解题关键．
3．B
【分析】过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N，构造直角三角形，利用三角函数，求出BC，再用BC减去BE即可．
【详解】解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N
由题意可知MN＝30cm，当CN＝0.9m，即CN＝90cm时，CM＝60cm
∴在Rt△BCM中，∠ABE＝70°，
∴sin∠ABE＝sin70°＝＝0.94
∴BC≈64cm
∴CE＝BC﹣BE＝64﹣40＝24（cm）
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，将所给角放到直角三角形中，是解题的关键．
4．B
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用．过点作于，设，则用表示出，再根据列出等式解出即可．
【详解】解：如图，过点作于，设米．
即点到赛道的距离为米．
故选：B．
5．D
【分析】利用，对应边成比例和锐角三角函数即可解决
【详解】解：过点E做EF⊥AB于点F
∵AC平分∠BAD
∴∠BAC=∠DAC
∴ED=EF
因为∠ABE=30°，可设EF=x，则BE=2x
∵cs∠CBE=，
∴
∴
∵∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠ADE
∴
∴
故答案为：D
【点睛】本题主要考查了相似的性质和判定，以及锐角三角函数和角平分线的性质，找到相似三角形是解决本题的关键．
6．A
【详解】先根据题意得出AD=BE=5m，DE=AB=1.5m，在Rt△ACD中利用锐角三角函数的定义求出CD =AD•tan30°=5×=，由CE=CD+DE=+1.5（m）．
故选A.
点睛：本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
7．D
【分析】根据锐角三角函数可得：和，从而求出.
【详解】解：在Rt△AOP中，，
在Rt△BOP中，，
∴
故选D.
【点睛】此题考查的是锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解决此题的关键.
8．C
【分析】在中，已知坡面的坡度以及铅直高度BC的值，可以求出AC的值，在根据勾股定理即可求出AB的值.
【详解】在中，BC=12,i=tanA=3：4，
∴AC= =16m,
∴AB= m.
故答案为C.
【点睛】本题主要考查了学生对于坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解题的关键.
9．C
【分析】先由一元二次方程根与系数的关系得到，再将原式变形为，再根据二倍角公式进行化简求值即可．
【详解】 ，是关于x的方程的两根
由一元二次方程根与系数的关系，可得

故选：C．
【点睛】本题属于初升高题目，考查了二倍角公式的运用，一元二次方程根与系数的关系，即如果方程的两个实数根是，那么，；也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．
10．D
【分析】根据30°的正弦值是求出∠A，根据直角三角形的性质求出∠B，根据60°的正切值计算．
【详解】sinA＝，
则∠A＝30°，
∵∠C＝90°，
∴∠B＝60°，
∴tanB＝tan60°＝，
故选D．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
11．B
【分析】设梯形ABCD，对角线AC和BD相交于O，AC=a，BD=b，过C作CE∥BD，交AB延长线于E，则∠BOC=60°，则四边形ABEC是平行四边形，根据S梯形ABCD=S△ACE即可求出答案．
【详解】解：设梯形ABCD，对角线AC和BD相交于O，AC=a，BD=b，
过C作CE∥BD，交AB延长线于E，则∠BOC=60°，则四边形BECD是平行四边形，
作AF⊥EC交CE于点F,
∴∠ACE=120°，
∴CE=BD，
∵S△BCE=S△BCD=S△ACD，
故S梯形ABCD=S△ACE=AC•CF =AC•CE•sin60°=ab，
故选：B．
【点睛】本题考查了梯形的性质，三角形中的几何计算，关键是正确地作辅助线进行解题，属于中档题．
12．B
【详解】延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，
∵∠BCD=150°，
∴∠DCF=30°，又CD=4，
∴DF=2，CF= =2，
由题意得∠E=30°，
∴EF= ，
∴BE=BC+CF+EF=6+4，
∴AB=BE×tanE=（6+4）×=（2+4）米，
即电线杆的高度为（2+4）米．
故选：B．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
13．/
【分析】作 于点E，则和都是等腰直角三角形，即可求得的长，然后在直角三角形中国利用三角函数求得的长，进而求得的长．
【详解】解：作于点E．
在中，，
（米）．
在中，（米）．
∴（米）．
故答案为：．
【点睛】本题考查应用直角三角形解决仰角和俯角问题，要求学生能够借助仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形．
14．
【分析】本题考查了菱形的性质，三角函数，把实际问题转化成数学问题，利用所学知识进行计算是解题的关键．
根据题意可知：重叠部分是菱形，设菱形，则，过B作于E，
由勾股定理可求＝，即可解答．
【详解】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形，则，
过B作于E，
∵，
∵，
∴＝，
故答案为：．
15．（1）45；（2）取 的中点N，连接MN，，构成，延长AO交⊙O于点H，在OH上取格点G，取格点C，连接OC与⊙O交于．
【分析】（1）由图可知，△ABO是等腰直角三角形，即可求出的度数；
（2）当过的中点时，取得最大值，由点M，N分别是的中点，可得，根据网格的特点，作即可画出点．
【详解】解：（1） 由图形可知，OA=OB，OB⊥OA，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：45；
（2）取 的中点N，连接MN，，构成，延长AO交⊙O于点H，如图，
根据三角形三边关系，,
当点，N，M三点共线时，取最大值，
在中，，
∵点M，N分别是的中点，
∴，
作，由网格图的特点可得，
在OH上取格点G，取格点C，连接OC与⊙O交于，如图所示，
，此时，，
故连接OC与⊙O交于，点即为所求．

【点睛】本题考查了图形的旋转，等腰直角三角形，三角形三边关系，尺规作图，解题的关键是根据题意画出大致图形，得出相应的性质，根据性质作图即可．
16．
【分析】过梯形上底的两个顶点向下底引垂线、，得到两个直角三角形和一个矩形，分别解、求得线段、的长，然后与相加即可求得的长．
【详解】如图，作，，垂足分别为点E，F，则四边形是矩形．
由题意得，米，米，，斜坡的坡度为1∶2，
在中，∵，
∴米．
在Rt△DCF中，∵斜坡的坡度为1∶2，
∴，
∴米，
∴（米）．
∴坝底的长度等于米．
故答案为．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．
17．20.8
【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点D作于点M，过点C作于点N，证明四边形是矩形，可得，利用锐角三角函数求得，，即可得，，即可求解．
【详解】解：过点D作于点M，过点C作于点N，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∵，
解得，，
∴，
，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
解得，
∴，
故答案为：20.8．
18．改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为19.2米．
【详解】【分析】先在Rt△ABD中，用三角函数求出AD，最后在Rt△ACD中用三角函数即可得出结论．
【详解】在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AB=10m，
∴AD=ABsin∠ABD=10×sin30°=5，
在Rt△ACD中，∠ACD=15°，sin∠ACD=，
∴AC=≈19.2m，
即：改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为19.2米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的应用，求出AD的长是解本题的关键．
19．（1）画图见解析；（2） .
【详解】试题分析：（1）根据题目要求作图即可；
（2）由（1）知AE=AD=10、∠DAF=∠EAF，可证△DAF≌△EAF得∠D=∠AEF=90°，即可得∠FEC=∠BAE，从而由tan∠FEC=tan∠BAE=可得答案．
试题解析：（1）如图所示；
（2）由（1）知AE=AD=10、∠DAF=∠EAF，∵AB=8，∴BE= =6，
在△DAF和△EAF中，，∴△DAF≌△EAF（SAS），∴∠D=∠AEF=90°，∴∠BEA+∠FEC=90°，
又∵∠BEA+∠BAE=90°，∴∠FEC=∠BAE，∴tan∠FEC=tan∠BAE= .
考点：1.作图﹣基本作图；2.全等三角形的判定与性质；3.解直角三角形.
20．(1)21.8，90
(2)
(3)轮船能正好至码头MN靠岸，理由见解析
【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力，结合方向角，计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
（1）结合平行线的性质以及角的运算，即可作答；
（2）运用（1）的结论，则中，代入数值进行计算，即可作答；
（3）作线段直线于，作线段直线于，延长交直线于．运用三角函数，分别算出的值，结合相似三角形的判定与性质，列式代入数值，即可作答．
【详解】（1）解：如图：
依题意，，
∵，
∴，
则，
，
故答案为：；
（2）解：如图：
在中，
∵，，
∴，
解得，
则速度为；
（3）解：能，理由如下：
作线段直线于，作线段直线于，延长交直线于．
，
，
则
∴，
，
．
又，
．
，
，
．
∵，
∴，
所以，
，
∴，
所以．
又∵，长为，
，
，
故轮船能够正好行至码头靠岸．
21．30米
【分析】河宽就是点C到AB的距离，因此过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据AB=AD-BD=20，通过解两个直角三角形分别表示AD、BD的方程求解
【详解】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
设CD=x米，
在Rt△BCD中，∠CBD=45°，
∴BD=CD=x米．
在Rt△ACD中，∠DAC=31°，
AD=AB+BD=（20+x）米，CD=x米，（3分）
∵tan∠DAC=，
∴，
解得x=30．
经检验x=30是原方程的解，且符合题意．
答：这条河的宽度为30米．
【点睛】“化斜为直”是解三角形的基本思路，因此需作垂线（高）构造直角三角形．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查平行线的性质和解直角三角形的应用．
（1）过点A作的平行线，根据平行线的性质求的大小即可；
（2）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出，即可．
【详解】（1）如图，过点A作的平行线与过点D作的垂线相交于点N，
∵，
∴，
又∵，
∴，
即与地面所成的角度为；
（2）过点A作，交的延长线于点M，
在中，
∴，
在中，,
∴，
∴点D到地面的距离为，
答：点D到地面的距离约为.
23．（1）证明见解析；
（2）①证明见解析；②或．
【分析】（1）如图1中，作GK⊥AD于K．证明△ADE≌△GKF（ASA）即可解决问题．
（2）①如图2中，设FH=a．由tan∠DAE=tan∠P，推出，可得AH=EH=3a，PH=9a，求出HG，PG即可证明．
②如图2中，设AH=EH=x，FH=y，GH=PG=m．构建方程组，求出x，y（用m表示），即可解决问题．
【详解】
（1）证明：如图1中，作GK⊥AD于K．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠B＝∠GKA＝90°，
∴四边形ABGK是矩形，
∴AB＝GK＝AD，
∵FG⊥AE，
∴∠AHF＝90°，
∵∠DAE+∠AFH＝90°，∠AFH+∠FGK＝90°，
∴∠DAE＝∠KGF，
∵∠D＝∠GKF＝90°，
∴△ADE≌△GKF（ASA），
∴AE＝FG．
（2）①证明：如图2中，设FH＝a．
∵CD＝nDE，n＝3，
∴CD＝3DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠DAB＝90°，CD＝AD，
∵∠AHF＝90°，
∴∠DAE+∠PAH＝90°，∠PAH+∠P＝90°，
∴∠DAE＝∠P，
∴tan∠DAE＝tan∠P，
∴，
∴AH＝EH＝3a，PH＝9a，
∵AE＝FG＝6a，
∴HG＝5a，PG＝4a，
∴FH+PG＝5a，
∴FH+PG＝HG．
②如图2中，设AH＝EH＝x，FH＝y，GH＝PG＝m．
∵AE＝FG，
∴2x＝y+m，
∵△AHF∽△PHA，
∴AH2＝FH•PH，
∴x2＝y•2m，
∴x2﹣4xm+2m2＝0，
解得或，
∴或，
∴
∴或．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．
24．（1）-2，；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据菱形的性质及反比例函数的对称性可以推出，再根据点D的坐标即可得到点P的坐标，从而得出k的值；根据点P的坐标可以得出直线的表达式，最后根据OP和AC的关系即可得出直线的表达式；
（2）由己等边对等角即可推出；
（3）由已知可求得点B的坐标，根据勾股定理可求得OB的值，最后根据同角的余弦即可得出答案.
【详解】解：（1）∵在菱形中，对角线与互相垂直且平分，
，
经过原点，且反比例函数的图象恰好经过两点，
由反比例函数图象的对称性知：，
.
点的坐标为，
点的坐标为，
，则；
设直线的表达式为，将点代入得，
∴直线的表达式为，
设直线的表达式为，
于点，
将点及，代入，
得:，
直线的表达式为.
（2）证明：由条件得，，
，
；
（3），
又与关于原点对称，

在中，，从而.
则.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，三角函数关系，菱形的性质及反比例函数的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
B
B
D
A
D
C
C
D
题号
11
12








答案
B
B