初中数学北师大版（2024）九年级下册第一章 直角三角形的边角关系5 三角函数的应用课时作业

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级下册第一章 直角三角形的边角关系5 三角函数的应用课时作业，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形，若，，与地面垂直且，则灯顶A到地面的高度为（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，电线杆的中点C处有一标志物，在地面D处测得标志物的仰角为，若D到电线杆底部B的距离为12米，则电线杆的长为（ ）

A．8米B．米C．米D．米
3．如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8cm（如箭头所示），则木桩上升了（ ）
A．8tan20°B．C．8sin20°D．8cs20°
4．如图，小明想测量教学楼的高度，他从距教学楼底部点水平距离为30米的A点处出发，沿坡度的斜坡行走了13米，到达二楼水平平台的处，继续行驶5米到达水平平台的处，从处观察教学楼顶端的仰角为53°（点A，，，，均在同一平面内），则教学楼的高度约为（ ）（参考数据：，，）
A．22.1米B．22.3米C．17.1米D．17.3米
5．如图，某山坡的坡面AB＝200米，坡角∠BAC＝30°，则该山坡的高BC的长为（ ）
A．50米B．100米C．150米D．100米
6．如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1米，则铁塔的高BC为（ ）米
A．（1）B．（1+150tanα）
C．（1+150sinα）D．（1）
7．如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF，tanα=，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是（ ）
A．144cmB．180cmC．240cmD．360cm
8．如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（ ）

A．米B．米C．米D．米
9．如图，河坝横断面迎水坡的坡度是，坡面，则坝高的长度是（ ）
A．B．C．D．
10．某学校安装红外线体温检测仪（如图1），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆上自由调节（如图2）．已知最大探测角，最小探测角．测温区域的长度为2米，则该设备的安装高度应调整为（ ）米．（精确到0．1米．）
（参考数据：）
A．2.4B．2.2C．3.0D．2.7
11．如图，图①是一种携带方便的折叠凳子，图②是它的侧面图示，已知凳腿AD＝BC＝4分米，当凳腿AD与水平地面CD的夹角为时人坐着最舒服，此时凳面AB离地面CD的高度为（ ）
A．分米B．分米C．分米D．分米
12．如图，测得一商场自动扶梯的长为米，自动扶梯与地面所成的角为，则该自动扶梯到达的高度为（ ）

A．米B．米C．米D．米
二、填空题
13．如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树间的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为 m．（结果精确到0.1m）
14．已知是锐角，，则 °
15．如图，某山顶上建有手机信号中转塔，在地面D处测得塔尖的仰角，塔底的仰角，点D距塔的距离为100米，则手机信号中转塔的高度 （结果保留根号）．
16．如图，湖的旁边有一建筑物，某数学兴趣小组决定测量它的高度．他们首先在点处测得建筑物最高点的仰角为，然后沿方向前进12米到达处，又测得点的仰角为．请你帮助该小组同学，计算建筑物的高度约为 米．（结果精确到1米，参考数据）

17．一束光从空气中以不同的角度射入水中，会发生反射和折射现象，如图①是光束在水中的径迹．如图②，现将一束光以一定的入射角α（）射入水面，此时反射光线与折射光线夹角恰为，直线l为法线，若水深为，则线段 m．
三、解答题
18．小丁家住宅小区内都是六层楼房，假期中他站在自家窗口观测对面楼房，他测得对面楼房楼顶点的仰角约为，又测得底部点的俯角约为．已知小丁家住在四楼，他的观测点距离脚下地面点的距离为米，
(1)求每层楼的高度(所有楼房每层楼高度相同)；
(2)根据有关规定，楼与楼之间的距离不得小于楼房高度的0.7倍，请通过计算说明，小丁家住宅楼间距是否符合标准．(，， ，，结果精米)
19．高为12米的教学楼ED前有一棵大树AB，如图（a）．
（1）某一时刻测得大树AB、教学楼ED在阳光下的投影长分别是BC=2.5米，DF=7.5米，求大树AB的高度；
（2）现有皮尺和高为h米的测角仪，请你设计另一种测量大树AB高度的方案，要求：
①在图（b）中，画出你设计的测量方案示意图，并将应测量的数据标记在图上（长度用字母m，n …表示，角度用希腊字母α，β …表示）；
②根据你所画出的示意图和标注的数据，求出大树的高度．（用字母表示）
20．如图，一把人字梯立在地面上，，，梯子顶端离地面的高度是1.54米．
(1)求的长；
(2)移动梯子底端，当是等边三角形时，求顶点上升的高度（精确到0.1米）．
（参考依据：，，，
21．近年来，劳动教育引起了政府和各级教育部门的高度重视，县政府准备把一块四边形的空地整理出来作为城内各学校的公共劳动教育基地，如图，点C在点D的南偏东方向上，点A在点D的北偏东60°方向上，点B在点A的正东方向，点C在点B的正南方向．已知米，米．（参考数据：，）
(1)求四边形空地AD边的长（精确到0.1米）
(2)政府计划用5万元在空地四周建立防护栏，每米防护栏的改造费用为元，判断费用是否充足？
22．如图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏可以绕O点旋转一定角度．如图②，研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向屏幕中心P（点P为中点）的视线与水平线的夹角，显示屏顶端与底座的连线与水平线垂直时，观看屏幕最舒适，此时，，．
(1)求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离；
(2)求显示屏顶端A与底座C的距离．（结果精确到，参考数据：）
23．如图，四边形为平行四边形，，，交的延长线于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长；
24．如图，在平行四边形中，，分别是，的中点，且．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，，求的值．
参考答案：
1．A
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是正确理解锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
连接，延长交于点，由题意可知：，则，然后利用锐角三角函数的定义可求出的长度，即可由求解．
【详解】解：连接，延长交于点，
由题意可知：，
∴，
∴
在中，
，
，
点到地面的高度为：，
∴灯顶A到地面的高度为．
故选：A．
2．C
【分析】根据题意可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的中点定义即可解答．
【详解】解：由题意得：米，
在中，，
∴（米），
∵点C是AB的中点，
∴（米），
∴电线杆AB的长为米．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，理解解直角三角形求得是解答本题的关键．
3．A
【分析】根据已知，运用直角三角形和三角函数得到上升的高度为：8tan20°．
【详解】解：设木桩上升了h米，
∴由已知图形可得：tan20°=，
∴木桩上升的高度h=8tan20°
故选A.
4．B
【分析】过点B作BM⊥AE于点M，延长BC交DE于N，根据斜坡AB的坡度（或坡比）i＝1：2.4可设设BM＝x（米），则AM＝2.4x（米），利用勾股定理求出x的值，进而可得出BM与AM的长，故可得出CN的长．再由锐角三角函数的定义求出DN的长，进而可得出结论．
【详解】解：过点B作BM⊥AE于点M，延长BC交DE于N，
∵斜坡AB的坡度i＝1：2.4，AB＝13米，
∴设BM＝x（米），则AM＝2.4x（米）．
∵在Rt△ABM中， AM2＋BM2＝AB2，
∴x2＋（2.4x）2＝132，
解得x＝5，
∴BM＝5米，AM＝12米，
∴ME＝30﹣12＝18（米），
∴CN＝18﹣5＝13（米）．
∵在Rt△CDN中，∠DCN＝53°，
∴DN＝CN•tan53°≈13×＝（米），
∵四边形BMEN是矩形，
∴EN＝BM＝5（米），
∴DE＝EN＋DN＝5＋＝22.3（米）．
故选：B．
.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
5．B
【分析】在Rt△ABC中，由∠BAC=30°，AB=200米，解直角三角形，得出BC的长度．
【详解】解：由题意得，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=200米，
故可得
BC=sin30°×AB
=×200
=100米
故答案为B.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是掌握含30°角正弦的意义，利用其解直角三角形．
6．B
【分析】过点A作，E为垂足，再由锐角三角函数的定义求出BE的长，由即可得出结论．
【详解】解：过点A作，E为垂足，如图所示：
∴．
∵，
∴四边形ADCE为矩形，
∴米，米，
在中，米，
∵，
∴，
∴（米）．
故选：B．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
7．B
【分析】设AD 交EF于点O，根据题意可知：△AFO∽△ADC，根据相似三角形的对应边成比例定理列出比例式，再由三角函数的定义计算即可．
【详解】解：如图：设AD 交EF于点O，
根据题意可知：△AFO∽△ADC，OF=EF=30cm
∴，
∴，
∴CD=72cm，
∵tanα=，
∴，
∴AD==180(cm)．
故选B．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，找出实际问题中的相似三角形是解题关键，再由相似三角形的对应边成比例相等列出比例式计算即可．
8．B
【分析】根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案.
【详解】解：小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，
，米.
，
米.
故选： B .
【点睛】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义.余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比.
9．C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解答本题的关键．
利用坡度的定义，得到，即，再根据勾股定理，得到，由此得到答案．
【详解】解：河坝横断面迎水坡的坡度是，
，
，
又，
，
解得：，
即坝高的长度是，
故选：．
10．B
【分析】由锐角三角函数定义得OC≈tan67°×BC，OC≈（2+BC）×tan37°，则BC=（2.60+BC）×，求出BC的长，即可解决问题．
【详解】解：根据题意可知：AC=AB+BC=2+BC，
在Rt△OBC中，tan∠OBC=，
∴OC=BC×tan∠OBC= BC× tan67°≈BC，
在Rt△OAC中，tan∠OAC=，
∴OC=AC•tan∠OAC=(2+BC) •tan37°≈（2+BC），
∴BC=（2+BC），
解得：BC=（米），
∴OC=BC=×=≈2.2（米）．
答：该设备的安装高度OC约为2.2米．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．
11．A
【分析】过点A作所在直线于点E．根据正弦即可求出AE的长．
【详解】如图，过点A作所在直线于点E．
根据所作辅助线可知AE的长即为此时凳面AB离地面CD的高度．
在中，AD＝4分米，，
∴分米．
故选A．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用．正确的作出辅助线是解题关键．
12．B
【分析】根据题中已知条件，运用可得BC.
【详解】因为，=米
所以=AB=米
故选：B
【点睛】考核知识点：解直角三角形应用.根据已知条件，选取合适三角函数关系是关键.
13．2.3
【分析】AB是Rt△ABC的斜边，这个直角三角形中，已知一边和一锐角，满足解直角三角形的条件，可求出AB的长．
【详解】在Rt△ABC中,

∴
∴
即斜坡AB的长为2.3m.
故答案为2.3.
【点睛】考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键.
14．
【分析】此题考查了求锐角的三角函数值．求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值．
【详解】如图：
由，设，
则，
故
15．米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题．解答本题的关键是熟练掌握仰角俯角定义，含，的直角三角形性质，解直角三角形．
先在中，根据，得出；再在中，根据含30°的直角三角形性质，求出，然后由即可求解．
【详解】由题意可知，与都是直角三角形．
在中，
∵，
∴ ，
∴ ．
在中，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∴．
∴手机信号中转塔的高度为米．
故答案为：米．
16．16
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意可得：，米，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：由题意得：，米，
设米，
米，
在中，，
米，
在中，，
（米，
，
解得：，
（米，
建筑物的高度约为16米，
故答案为：16．
17．
【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形，等角的三角函数值相等，熟练掌握知识点是解题的关键．
由题意可得，则，，则，，即可求解．
【详解】解：如图，
由题意得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，而，
∴，，
∴，
故答案为：．
18．（1）每层楼高约为2.8米；（2）小丁家的住宅楼间距符合标准．
【分析】（1）延长CE交AB于点G，设每层楼高a米，分别解直角三角形ACG和BCG，求出CG的长，列方程求解即可；
（2）分别计算出CG，AB，进行比较即可．
【详解】（1）延长CE交AB于点G，设每层楼高a米，
在Rt△ACG中，AG=3a-1.7
∵，
∴，
在Rt△BCG中，BG=3a+1.7，
∵，
∴，
∴= ，
∴，
∴
答：每层楼高约为2.8米．
（2）CG=，AB=＜13.4
答：小丁家的住宅楼间距符合标准．
【点睛】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．
19．（1）4米;（2）①见解析；②AB=mtanα+h．
【分析】（1）连接AC，EF，可得△ABC∽△EDF，利用相似三角形的性质求解即可；（2）根据题意，设计测量方法，要求符合三角函数的定义，且易于操作即可．
【详解】（1）连接AC，EF，则△ABC∽△EDF，
∴，
∴AB=4，
即大树AB高是4米．
（2）解法一：
①如图（b）；
②在Rt△CMA中，∵AM=CMtanα=mtanα，
∴AB=mtanα+h．
解法二：
①如图（c）；
②AMctα﹣AMctβ=m，
∴AM=，
∴AB=．

【点睛】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
20．(1)
(2)顶点A上升的高度约为0.2米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）根据垂直定义可得，再利用等腰三角形的性质可得，然后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答；
（2）利用等边三角形的性质可得，然后在利用锐角三角函数的定义求出的长，从而进行计算即可解答．
【详解】（1）解：，
，
，
，
∵米，
（米，
的长约为2米；
（2）解：当是等边三角形时，，
∵米，
（米，
顶点上升的高度（米，
顶点上升的高度约为0.2米．
21．(1)
(2)改造费用充足
【分析】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键.
（1）延长交于点，过点作于点， 在中，解直角三角形即可求出AD的长；
（2）分别在中和中, 求出, 求出四边形的周长，再求出改造费用与计划费用比较即可作出判断.
【详解】（1）延长交于点，过点作于点，
由题意，知是矩形，米, 米, ,
∴,
在中,
(米)，
(米)，
∴米，
(米)，
在中，
(米)，
答：四边形空地AD边的长约为米；
（2）(米)，米，
(千米)，米, 米,
(米)，
需要改造费用 (元)，
，
∴改造费用充足．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是：
（1）在中，，即可作答；
（2）过点作于点，在中，根据三角函数分别求出，，在中，根据三角函数求出，再根据，即可求解．
【详解】（1）解：点为中点，，
，
，，
在中，
，
眼睛与显示屏顶端的水平距离长为；
（2）过点作于点，
，，
，
，
，
，，
，
在中，
，
，
在中，
，
，
显示屏顶端与底座的距离为．
23．（1）证明见解析（2）
【详解】试题分析：（1）延长DC交BE于点M，证明四边形ABMC是平行四边形，然后利用平行线分线段成比例可得结论；（2）根据条件证明BE=2AC，然后在Rt△ADC中利用三角函数求出AC的长，然后可得BE的长.
试题解析：（1）延长DC交BE于点M，
BE∥AC，AB∥DC，
∴四边形ABMC是平行四边形，
CM=AB=DC，C为DM的中点，
∵BE∥AC，
∴DF=FE；
（2）由（1）得CF是△DME的中位线，故ME=2CF，
又∵AC=2CF，四边形ABMC是平行四边形，
∴BE=2BM=2ME=2AC，
又∵AC⊥DC，
∴在Rt△ADC中利用勾股定理得，,
∴.
考点：1.平行四边形的判定与性质2.三角形的中位线3.解直角三角形.
24．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于，由三角形中位线定理得，，再证，然后由菱形的判定即可得出结论．
（2）由（1）可知，，四边形为菱形，则，，再由勾股定理得，即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图，连接交于，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，，
，
，
平行四边形为菱形；
（2）解：由（1）可知，，四边形为菱形，
，，
在中，由勾股定理得：，
．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形中位线定理，勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，解题关键是熟练掌握菱形的判定与性质．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
B
B
B
B
B
C
B
题号
11
12








答案
A
B