初中数学北师大版九年级下册5 三角函数的应用精品精练

1.5三角函数的应用同步练习北师大版初中数学九年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A处顺时针旋转到AB位置，且左边细管位置不变，则此时“U”形装置左边细管内水柱的高度约为

A. 4cm B.  C. 3cm D. 8cm

2. 如图，已知AE与BF相交于点D，，垂足为点A，，垂足为点E，点C在AD上，连接BC，要计算A、B两地的距离，甲、乙、丙、丁四组同学分别测量了部分线段的长度和角的度数，各组分别得到以下数据：
   甲：AC、；  乙：EF、DE、AD；  丙：AD、DE和；   丁：CD、、．
   其中能求得A、B两地距离的数据有

A. 甲、乙两组 B. 丙、丁两组
C. 甲、乙、丙三组 D. 甲、乙、丁三组

3. 某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为       

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

4. 某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图所示的位置，其中，，，米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为栏杆宽度忽略不计．参考数据：

A.  B.  C.  D.

5. 如图所示，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上的E点反射后到达B点，若入射角为，，，垂足分别为C，D，且，，，则的值是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A到刮断点P的长度是4米，折断部分PB与地面成的夹角，那么原来树的长度是   米．

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为，缆车速度为每分钟50米，从山脚下A到达山顶B缆车需要16分钟，则山的高度BC为

A.  B.  C.  D.

8. 在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木如图，固定点A离地面的高度，钢管与地面所成角，那么钢管AB的长为

A.
B.
C.
D.

9. 如图，小丽用一个两锐角分别为和的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为，眼睛与地面的距离为，那么这棵树的高度大约是．

A.
B.
C.
D.

10. 如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，设A、D、B在同一条直线上，，则拉线BC的长度为

A.  B.  C.  D.

11. 西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据某地的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为已知冬至时某地的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离即BC的长约为   

A.  B.  C.  D.

12. 在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木如图，固定点A离地面的高度，钢管AB与地面所成角，那么钢管AB的长为         

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，旗杆高，某一时刻，旗杆影子长，则______．
    
     

14. 为解决停车难的问题，在如图所示的一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽米的矩形，矩形的边与路的边缘成角，那么这个路段最多可以划出          个这样的停车位

15. 自行车因其便捷环保深受人们喜爱，成为日常短途代步与健身运动首选．如图1是某品牌自行车的实物图，图2是它的简化示意图．经测量，车轮的直径为66cm，中轴轴心C到地面的距离CF为33cm，后轮中心A与中轴轴心C连线与车架中立管BC所成夹角，后轮切地面l于点为了使得车座B到地面的距离BE为90cm，应当将车架中立管BC的长设置为______参考数据：，，

16. 如图，由游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，若，，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为______米．结果保留整数，，

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 图分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知跑步机的手柄AB平行于地面且离地面的高度h约为，踏板CD与地面DE的夹角为，支架线段的长为，为求跑步机踏板CD的长度精确到．
    参考数据：，，

18. 如图，某水产养殖户开发一个三角形状的养殖区域，A、B、C三点的位置如图所示．已知，，米．参考数据：，，，，，结果保留整数
    求养殖区域的面积；
    养殖户计划在边BC上选一点D，修建垂钓栈道AD，测得，求垂钓栈道AD的长．

19. 如图1，有个酒精喷壶放置在水平地面上，AB与地面平行，点B是喷嘴，点C是压柄的端点，且；在其示意图2中，，，，求喷嘴B与压柄端点C的距离结果精确到参考数据：，

20. 小红要外出参加一项庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图1，图2分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆，CE：：3，，，求AC的长度结果保留根号．

21. 如图，有一电线杆AB直立于地面，它的影子正好射在地面BC段和与地面成角的土坡CD上，已知，米，米，求电线杆AB的高．结果保留3个有效数字，
    
    
    
    
    
    
     
22. 投石机是古代的大型攻城武器，是数学、工程、物理等复杂学科相互融合的应用如图在我国元史亦思马因传中对这种投石机就有过记载如图．
    
    图中人工投石机的侧面示意图，炮架的横向支架均与地面相互平行，已知米，炮轴距地面米，OA：：4，炮梢顶端点A能到达水平地面，最高点能到达点处，且旋转的夹角点A，，B，在同一平面内，求点到水平地面的距离参考数据：，，，，，
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，河流两岸PQ，MN互相平行，C、D是河岸PQ上间隔50m的两个电线杆，某人在河岸MN上的A处测得，然后沿河岸走了100m到达B处，测得，求河流的宽度结果精确到个位，，，，

24. 如图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，其转动点A离地面BD的高度AH为，AC是可以伸缩的起重臂，当AC长度为9m，张角为时，求起重臂顶点C离地面BD的高度结果保留小数点后一位参考数据：，，

25. 据交管部门统计，高速公路超速行驶是引发交通事故的主要原因．我县某校数学课外小组的几个同学想尝试用自己所学的知识检测车速，渝黔高速公路某路段的限速是：每小时80千米即最高时速不超过80千米，如图，他们将观测点设在到公路l的距离为千米的P处．这时，一辆轿车由綦江向重庆匀速直线驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒注：3秒小时，并测得，试计算AB并判断此车是否超速？精确到参考数据：，，

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】解：AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设，竖直放置时短软管的底面积为S，
，
，
细管绕A处顺时针方向旋转到AB位置时，底面积为2S，
，解得，
，
即此时“U”形装置左边细管内水柱的高度约为4cm．
故选：A．
AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设，竖直放置时短软管的底面积为S，易得，细管绕A处顺时针方向旋转到AB位置时，底面积为2S，利用水的体积不变得到，然后求出x后计算出AC即可．
本题考查了解直角三角形的应用，旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
 

2.【答案】D
 

【解析】解：甲：已知AC、，
，
甲组符合题意；

乙：，，
，
，
，
∽，
，
，
乙组符合题意；

丙：知道AD、DE的长，能求出AE，
再知道的度数，不能求出AB的值，
则丙不符合题意；

丁：设，
，
能求出AC的长，
，
丁组符合题意；
符合题意的是甲、乙、丁组；
故选：D．
分别根据相似三角形的判定和性质和直角三角形的性质对四组数据逐一分析即可．
此题考查了解直角三形的应用，解答此题的关键是将实际问题转化成数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形和直角三角形中即可求解．
 

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】
根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出AB的长．
本题考查解直角三角形的应用、轴对称图形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【解答】
解：过A作于点D，

则米，
，
解得，米，
故选：B．  

4.【答案】B
 

【解析】解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作于H，
则，
，
，
，
在中，，，米，
米，
米，
米．
故选B．
过点A作BC的平行线AG，过点E作于H，则，先求出，则，然后在中，利用正弦函数的定义得出，则栏杆EF段距离地面的高度为：，代入数值计算即可．
本题考查了解直角三角形在实际中的应用，关键是通过作辅助线，构造直角三角形，把实际问题转化为数学问题加以计算．
 

5.【答案】D
 

【解析】解：因为AC、BD、法线均和镜面垂直，
所以，
而由已知得∽，
所以即
，
在三角形ACE中．
故选：D．
首先不在直角三角形中，所以先找一个和相等的角，因为AC、BD、法线均和镜面垂直，所以，因为∽，所以，由此可以求出CE，然后在三角形ACE中可以求出的值．
解此题的关键是角之间的转化，把实际问题转化为数学问题，利用正切的定义解题．
 

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】
此题主要考查的是解直角三角形的实际应用，能够熟练运用三角形边角关系进行求解是解答此类题的关键．
原来树的长度是的长．已知了PA的值，可在中，根据的度数，通过解直角三角形求出PB的长即可．
【解答】
解：中，，米；
 米；
 米．
故选B．  

7.【答案】A
 

【解析】解：如图，作，垂足为C．

在中，，
，米，
，
．
故选：A．
本题考查了解直角三角形的应用，找到直角三角形并熟悉三角函数的运算是解题的关键．
作，垂足为C，在中，利用三角函数解答即可．
 

8.【答案】D
 

【解析】解：在中，
，
，
故选：D．
根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
 

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要是将实际问题与解直角三角形联系起来，使求解过程变得简单．三角尺和树构成直角三角形，根据一直角边和三角尺的度数，可将眼睛到树尖的距离求出，加上眼睛与地面的距离即为这棵树的高度．

【解答】
解：由图中所示：眼睛水平线到树尖的距离，
眼睛与地面之间的距离：，
这棵树的高度．
故选B．

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查解直角三角形的应用，余角和补角，根据同角的余角相等得，由，即可求出BC的长度．
【解答】
解：，， 
， 
在中，， ，
， 
故选：B．  

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查的是解直角三角形的应用根据即可解答．
【解答】
解：根据题意，得，
则，
故选B．  

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】
解：在中，
，
，
故选：D．  

13.【答案】
 

【解析】解：旗杆高，旗杆影子长，
，
故答案为：
根据直角三角形的性质解答即可．
此题考查解直角三角形的应用，关键是根据正切值是对边与邻边的比值解答．
 

14.【答案】17
 

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．如图，根据三角函数可求BC，CE，由可求BE，再根据三角函数可求EF，再根据停车位的个数，列式计算即可求解．



【解答】解：如图可知
米，
米，
米，
米，
，
这个路段最多可以划出17个这样的停车位．  

15.【答案】60
 

【解析】解：由题意可得：，
故BH，
则，
解得：．
故答案为：60．
直接利用已知得出HE的长，再利用锐角三角函数关系得出BC的长．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出BH的长是解题关键．
 

16.【答案】60
 

【解析】解：，，，米，
，，
，
解得．
故答案为：60．
根据题意和图形可以分别表示出AD和CD的长，从而可以求得AD的长，本题得以解决．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

17.【答案】解：过C点作于F，交DE于G，
，
，
，
又，
，
又，

，
在中，，
则，
在中，
，
跑步机踏板CD的长度约为．
 

【解析】过C点作于F，交DE于G，根据平行线的性质得到，求得，求得，解直角三角形即可得到结论．
此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是正确构造直角三角形．
 

18.【答案】解：过点E作于点E，
，，
，
，，
，
，


由可知：，
，
，
，
．
 

【解析】过点E作于点E，根据含30度角、45度角的直角三角形的性质即可求出答案．
由可知：，因为，所以，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
 

19.【答案】解：设，
，
，，
，
在中，
，
，
．
 

【解析】设，根据锐角三角函数的定义列出方程即可求出x的值．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
 

20.【答案】解 过点F作于G
在中，，
，
在中，，
，
 ，
：：3，
 ，
，
 ．
 

【解析】过F作于H，解直角三角形即可得到结论．
此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．
 

21.【答案】解：延长AD交BE的延长线于点F，则，
，，米，
，
在直角三角形DEF中，米，
米，
在直角三角形ABF中，米．
 

【解析】构造为直角，为一内角的直角三角形，由CD长易得CE，DE长，在直角三角形DEF中利用在正切值可求得EF的长，那么可求得线段BF的长，在直角三角形ABF中利用的正切值可求得电线杆AB的高．
本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，把四边形的问题转换为特殊三角形利用相应的锐角三角函数知识进行解决是常用的解决问题的方法．
 

22.【答案】解：如图，作水平地面于H，于N，于M．

由题意：，
在中，，
，
，
四边形MNHO是矩形，
，，
，
，
在中，，
，
答：点到水平地面的距离为．
 

【解析】如图，作水平地面于H，于N，于求出，解直角三角形求出即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

23.【答案】解：过点C作，交AB于点E，如图所示．
，，
四边形AECD是平行四边形，
，，．
在中，，
在中，．
，
，
．
答：河流的宽度CF的值约为37m．
 

【解析】过点C作，交AB于点E，则四边形AECD是平行四边形，利用平行四边形的性质可得出AE、EB及的值，通过解直角三角形可得出EF，BF的长，结合，即可求出CF的长，此题得解．
本题考查了解直角三角形的应用，通过解直角三角形用含CF的代数式表示出BF，EF的长是解题的关键．
 

24.【答案】解：过点C作于过点A作于F．

矩形AHEF，，，．
，．
在中，．
，
点C离地面的高度为．
 

【解析】作于E，于F，则四边形AHEF为矩形，得出，，求出，在中利用正弦可计算出CF，然后计算即可．
本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题，然后利用勾股定理和三角函数的定义进行计算．
 

25.【答案】解：设该轿车的速度为每小时x千米．
，，
千米．                               分
又千米，分
千米，分
即千米．                               分
3秒小时，
千米时．              分
，
该轿车没有超速．                               分
 

【解析】在直角中，直角中，利用三角函数即可求得OA，OB，求得AB的长，即可求解．
本题是把实际问题转化为解直角三角形的问题，考查三角函数定义的应用．