数学必修 第二册6.4 平面向量的应用综合训练题

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一、单选题
1．（2022春·河南洛阳·高一统考期末）在中，A，B，C分别为三边a，b，c所对的角，若，且，则的最大值是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】根据已知条件求得，再利用正弦定理将角化边，将问题转化为求的最大值问题求解即可.
【详解】得，又，所以.
在中，由正弦定理得：
所以，所以.
故当，即时，取得最大值
故选：D
2．（2022春·江苏苏州·高一统考期末）已知锐角三角形中，角所对的边分别为的面积为，且，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据面积公式，余弦定理和题干条件得到，结合正弦定理得到，由为锐角三角形，求出，从而求出，求出的取值范围.
【详解】因为，所以，
即，
所以，
整理得：，
因为，
所以，
由正弦定理得：，
因为，
所以，
因为为锐角三角形，
所以为锐角，
所以，即，
由，解得：，
因为，
所以，
解得：，
故选：A
【点睛】三角形相关的边的取值范围问题，通常转化为角，利用三角函数恒等变换及三角函数的值域等求出边的取值范围，或利用基本不等式进行求解.
3．（2022春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）在锐角三角形中，a，b，c分别是内角A，B，C的对应边，设A＝2C，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由正弦定理把边化角，再用三角恒等变换化简，转化为三角函数的值域问题，即可求解
【详解】由正弦定理可得
又因为三角形是锐角三角形，
所以，即，也即,
所以，
所以，，，
，
所以的取值范围是，
故选：A
4．（2022秋·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）在锐角中，分别为角的对边，已知，则的面积S的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据条件求出，利用三角形面积公式得到，采用极端值方法求出的最值，进而得到的范围，求出面积的取值范围.
【详解】，因为为锐角三角形，故，
，当BC⊥AB时，，当CB⊥AC时，，故，所以.
故选：C
5．（2022春·江苏南通·高一统考期末）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为( )
A．1B．3C．2D．4
【答案】C
【分析】根据利用三角恒等变换和正余弦定理得到，再根据余弦定理和基本不等式可得csB的范围，由此得B的范围，从而得到sinB的最大值，从而根据可求△ABC面积的最大值．
【详解】，
，
即，
即，
则，
整理得，
∴，
当且仅当时取等号，
，
则．
故选：C．
6．（2022春·四川甘孜·高一统考期末）在中，角所对的边分别为，，，则面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用二倍角公式和正弦定理化简已知等式可得；利用余弦定理可构造等量关系求得，进而得到；利用三角形面积公式，将表示为以为自变量的二次函数的形式，利用二次函数最值的求法可求得所求最大值.
【详解】由得：，
即，由正弦定理得：；
由余弦定理得：，，
即，，，
，
，，
，
则当时，，.
故选：A.
7．（2023秋·福建宁德·高一统考期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，是半径上的动点，.则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，利用正弦定理可表示出，代入三角形面积公式，结合三角恒等变换知识可化简得到，由正弦型函数最值求法可求得结果.
【详解】设，则，
，，，，，
在中，由正弦定理得：，
，
，，
当，即时，取得最大值.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查几何图形中的面积最值的求解，解题关键是能够将所求三角形面积表示为关于变量的函数的形式，结合三角恒等变换和三角函数值域的知识求解得到最值.
8．（2022秋·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即的面积，其中分别为的内角的对边，若，且，则的面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据求出关系，代入面积公式，利用二次函数的知识求解最值.
【详解】因为，所以，
即；
由正弦定理可得，所以
；
当时，取到最大值.
故选：A.
二、多选题
9．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若，且的面积为，则的最小边长为2
C．若时，是唯一的，则
D．若时，周长的范围为
【答案】ABD
【分析】根据题干已知等式，利用正弦定理、三角和差公式可解得，再根据各个选项的条件逐一求解即可.
【详解】对于选项A：已知等式利用正弦定理化简得：
，整理得： ，即。
，则，故A选项正确；
对于选项B：因为，且的面积为，则由正弦定理得，而又，解得，所以，而，由余弦定理得：,则，所以三角形中边长为最小边，，故B选项正确；
对于选项C：当时，而又，由正弦定理，即，唯一，
，故C选项错误;
对于选项D：
，





，
则有 即，而，
所以周长 的范围为，故D选项正确.
故选：ABD.
10．（2022春·福建泉州·高一统考期末）已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，c=2．则下列结论正确（ ）
A．△ABC面积的最大值为B．的最大值为
C．D．的取值范围为
【答案】AB
【分析】A选项，利用余弦定理和基本不等式求解面积的最大值；B选项，先利用向量的数量积计算公式和余弦定理得，利用正弦定理和三角恒等变换得到，结合B的取值范围求出最大值；C选项，利用正弦定理进行求解；D选项，用进行变换得到，结合A的取值范围得到的取值范围.
【详解】由余弦定理得：，解得：，
由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，
所以，故，A正确；
，
其中由正弦定理得：，
所以
，
因为，所以，
故最大值为，的最大值为，
B正确；
，
故C错误；
，
因为，所以，
所以，D错误.
故选：AB
【点睛】三角函数相关的取值范围问题，常常利用正弦定理，将边转化为角，结合三角函数性质及三角恒等变换进行求解，或者将角转化为边，利用基本不等式进行求解.
11．（2022·全国·高一期末）设的内角所对的边分别为，且.若点是外一点，，下列说法中，正确的命题是（ ）
A．的内角
B．一定是等边三角形
C．四边形面积的最大值为
D．四边形面积无最大值
【答案】ABC
【分析】由正弦定理边角关系及已知角的大小可得，即可判断A、B；由余弦定理可得，结合，得到面积关于角D的三角函数式，利用正弦函数的性质及D的范围求最值，判断C、D.
【详解】由题设，又，
所以，，故，
则或，又，故，A正确；
所以是等边三角形，B正确；
由，则，且，
而，
所以当时有最大面积为，故C正确，D错误.
故选：ABC
12．（2022春·安徽亳州·高一校考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为，，，则（ ）
A．为锐角三角形
B．当时，
C．周长的最大值为3
D．面积的最大值为
【答案】BCD
【分析】由正弦定理边角互化并结合三角恒等变换整理得,进而,再依次讨论各选项即可.
【详解】由，可得，化简可得
，因为，所以，可得，A，C的大小不确定，可能为直角或钝角，A错误；
当时，，，B正确；
由，可得，变形可得，解得，当且仅当时取等号，所以的周长，C正确；
由，可得，当且仅当时取等号，所以的面积，D正确.
故选：BCD
13．（2022春·湖北随州·高一随州市曾都区第一中学校考期末）在中，，则（ ）
A．当时，
B．不可能是直角三角形
C．A的最大值为
D．面积的最大值为
【答案】AD
【分析】A选项结合正弦定理边化角，然后利用余弦定理即可判断；B选项，举出反例即可判断；C选择结合余弦定理表示出，然后利用均值不等式即可求出最值；D选项利用余弦定理表示出，进而表示出，结合三角形的面积公式，利用函数求最值即可.
【详解】在中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由，可得，又，当时，，解得，A正确；
当时，，满足，为直角三角形，B错误；，当且仅当时等号成立，所以A的最大值为，C错误；
，设，
，当时，S取最大值，且最大值为，D正确．
故选：AD
三、填空题
14．（2022春·四川凉山·高一统考期末）已知中，点D在边AC上，，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】设，，则由余弦定理表示出，可得，利用三角函数的性质可求出.
【详解】设，，则，
设，则，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以，
因为，，所以，则，
所以，则.
故答案为：.
15．（2022春·湖北武汉·高一统考期末）已知，内角所对的边分别是，，的角平分线交于点.若，则__________，的取值范围是___________.
【答案】
【分析】利用正弦定理角化边可直接得到；设，利用面积桥和余弦定理可构造方程，将表示为关于的函数的形式；利用基本不等式可求得的范围，进而确定的取值范围.
【详解】由正弦定理得：，又，；
为的角平分线，设，则；
，即，
；
由余弦定理知：，
，；
（当且仅当时取等号），，即，
又，，，
即的取值范围为.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形知识的综合应用，本题求解角平分线长度取值范围的关键是能够利用面积桥和余弦定理将角平分线的长度表示为关于的函数的形式，通过确定的取值范围来确定角平分线长度的取值范围.
16．（2022春·四川广安·高一统考期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为______．
【答案】2
【分析】结合倍角公式、正弦定理、余弦定理化简得，即，故，可得B的范围，即可根据求得结果
【详解】由题，，
由正弦定理得，，故，
由余弦定理得，故，
故，当是，取等号，故，，
故，故最大值为2，
故答案为：2
17．（2022春·广东梅州·高一统考期末）如图，在中，，点在线段上，且，，则面积的最大值为___．
【答案】
【分析】利用余弦定理及基本不等式，结合三角形的面积公式即可求解.
【详解】设，则，
在中，由余弦定理，得
，
在中，由余弦定理，得
，
由于，得，
即，整理，得，
在中，由余弦定理，得
,即，代入式化简整理，得
由基本不等式得，即，
当且仅当即时，等号成立，
当时，取得最大值为.
所以面积的最大值为
.
故答案为：.
【点睛】解决此题的关键就是利用余弦定理算两次，得到表达式利用基本不等式得出的最大值，结合三角形的面积公式即可.
18．（2022春·江西上饶·高一校联考期末）设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则面积的取值范围为______.
【答案】
【分析】由利用三角函数恒等变换公式结合已知条件可求得，然后画出图形，由于为锐角三角形，从而可C在线段上，且不包含，，进而可求出面积的取值范围
【详解】由题，即，，
因为锐角，故，.
故由，，画图，如图所示，，.
因为锐角，故C在线段上，且不包含，，
又，，，
故，即，
故，
故答案为：
19．（2022春·全国·高一期末）如图，在凸四边形ABCD中，，，若，则四边形ABCD面积的最大值为________．
【答案】
【分析】由题设∠ADC，则可得四边形ABCD面积，再利用三角函数的性质可得最大值.
【详解】如图连接AC，设∠ADC，由，，，
可知，
∴四边形ABCD面积：
，其中，当时，.
故答案为：.
四、解答题
20．（2022春·广西桂林·高一校考期末）在锐角中，分别是角所对的边，且.
(1)求角；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解；
（2）利用正弦定理可得，结合三角恒等变换和锐角角的范围即可求解.
【详解】（1）因为中，即，
由正弦定理得，
所以，
又因为锐角，，，
所以，.
（2）由正弦定理可得：
，
因为是锐角三角形，所以 ，
解得，，
所以，
所以.
21．（2022春·新疆克拉玛依·高一克拉玛依市高级中学校考期末）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量、满足：，，且．
(1)求角A；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平行向量的坐标表示得出边与角的关系式，再利用正弦定理即可求出角A；（2）利用正弦定理将边表示成角的形式，即，再根据三角形形状和辅助角公式，即可求出的取值范围.
【详解】（1）因 ，且，
于是有，即，
在中，由正弦定理得：，而，
于是得，又A为锐角，
所以．
（2）是锐角三角形，由（1）知，，
于是有，且，从而得，
而，由正弦定理得，
则，
，
则有，
而，则，
即,
所以的取值范围．
22．（2022春·黑龙江哈尔滨·高一校联考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理结合向量平行的坐标表示即可得出答案.
（2）由正弦定理可得，根据的范围求出的值域，即可求出周长的取值范围.
【详解】（1）∵，∴，
由正弦定理，得．
又，∴，
由于，∴．
（2）∵，，
由正弦定理，得，．
．
∵，∴，则．
∴．
∴，则．
故周长的取值范围为．
23．（2022春·河南信阳·高一信阳高中校考期末）设的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（2）由余弦定理、基本不等式计算可得.
【详解】（1）解：由正弦定理及，得.
所以由余弦定理得，
又，所以.
（2）解：因为，，由余弦定理得，
则，所以，当且仅当时取等号，
即，解得，当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
24．（2022春·辽宁·高一校联考期末）在中，角对应的边分别为，已知.
(1)若，求周长的最大值；
(2)若，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用余弦定理集合基本不等式可求得，即可得，从而求得周长的最大值；
（2）解法一，由条件可得，由余弦定理得，再由正弦定理边化角得，化简可证明结论；
解法二，由，且，可得，由余弦定理推得，再结合正弦定理可得，可证明结论.
(1)
因为，且，由余弦定理可知，，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，所以，即周长的最大值为；
(2)
因为，且，所以，
由余弦定理可知，，所以，
由正弦定理可知，，
因为，所以，
所以，
又因为，所以，即.
（2）解法二：因为，且，所以.
由余弦定理得，
即,由正弦定理得.
由于，所以，或.
若，则是以为斜边的等腰直角三角形，此时，
故成立.
25．（2022春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）在锐角三角形中，角满足.
(1)求；
(2)若，求该三角形周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据角的范围，先求出，然后由可得出答案.
（2）由正弦定理可，从而三角形的周长为，由焦点关系和范围结合辅助角公式化为，从而可得出答案.
(1)
由题意角为锐角,即，则
所以

(2)
由（1）有，可得，，则
由正弦定理可得
所以
则三角形的周长


设，由此可以取
则周长
由为锐角三角形，则
则,则，所以
则, 则
所以
所以的周长的范围是：
26．（2022春·福建泉州·高一统考期末）在平面四边形中，，，．
(1)若为等边三角形，求的面积．
(2)若，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理求出的长，结合勾股定理可知，进而可求得的大小，利用三角形的面积公式可求得的面积；
（2）设，利用正弦定理可得出，利用余弦定理可得出关于的表达式，利用三角恒等变换结合正弦型函数的基本性质可求得的最大值.
（1）
解：在中，由余弦定理，得．
即，所以，
所以，因此，
因为为等边三角形，所以，，所以．
所以.
（2）
解：设，则，
在中，由正弦定理得，
即，所以．
在中，由余弦定理，得，
，
，则，故当时，即当时，
取到最大值，即的最大值为.
27．（2022春·湖南株洲·高一株洲二中校考期末）在中，角所对的边分别为，，，，且．
(1)求角的值；
(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等价于，化简后利用余弦定理即可求出角的值;
（2）利用正弦定理用角表示出，根据角的取值范围，即可求出的取值范围.
(1)
因为，，且，
所以
利用正弦定理化简得：即，
由余弦定理可得，
又因为，所以；
(2)
由（1）得，即，
又因为三角形为锐角三角形，所以解得：，
因为，由正弦定理得：
所以，，
所以
因为，所以，
所以则的取值范围为
28．（2022春·湖南郴州·高一统考期末）已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A；
(2)从两个条件：①；②△ABC的面积为中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案不唯一，具体见解析
【分析】（1）由正弦定理将已知式子统一成边的形式化简，再利用余弦定理可求出角A；
（2）若选①，则由正弦定理可得，从而表示出三角形的周长，化简后利用正弦函数的性质可求出其范围，若选②，由结合已知条件可得，再利用余弦定理表示出，然后表示出三角形的周长，结合基本不等式可求出其范围
(1)
因为，
所以，得，
所以,
因为,所以
(2)
选择①，因为
由正弦定理得，
所以
即△ABC的周长．
，
因为，所以，
即△ABC周长的取值范围是（6，9]．
选择②．
因为，，得，
由余弦定理得，
即△ABC的周长，
因为，当且仅当时等号成立
所以．
即△ABC周长的取值范围是．
29．（2022春·上海普陀·高一校考期末）已知函数．
(1)求函数在区间上的严格减区间；
(2)在中，所对应的边为，且，求面积的最大．
【答案】(1)
(2)
【分析】化简，
（1）方法1：先求单减区间，再给k赋值与题中所给的区间取交集；
方法2：先由x的范围求出整体的范围，再由单调性求出x的范围.
（2）方法1：由余弦定理和重要不等式求得结果；
方法2：由正弦定理将边转化为角，将求面积转化为求三角函数在给定区间上求最值.
【详解】（1）
方法1：则： ，即：，
当k=0时，
∴
∴在区间上的严格减区间为.
方法2：∵，
∴
∵在区间上严格单减
∴
∴
∴在区间上的严格减区间为.
（2）由（1）知：，即：
又∵
∴
∴
方法1：由余弦定理得： ，
∴ ①
又∵，当且仅当b=c时去等号. ②
由①②得： ，当且仅当b=c时去等号.
∴△ABC的面积最大值为；
方法2：由正弦定理得：
，
∵
∴ ，
∴
∴当时，即：时，取得最大值为1，
∴ ，
∴ ，
∴△ABC的面积最大值为.
30．（2022春·重庆·高一校联考期末）为提升城市旅游景观面貌，城建部门拟对一公园进行改造，已知原公园是直径为百米的半圆，出入口在圆心处，点为一居民小区，距离为2百米，按照设计要求，取圆弧上一点A，并以线段为一边向圆外作等边三角形，使改造之后的公园成四边形，并将区域建成免费开放的植物园，如图所示．设．
(1)当，求四边形的面积；
(2)当为何值时，线段最长并求最长值
【答案】(1)平方百米
(2)当时，的最大值为3百米
【分析】（1）在中，由余弦定理得，再由面积公式得四边形的面积，计算即可求解；
（2）由余弦定理计算得到，再由正弦定理得到，根据同角的平方关系得到，再由两角和的余弦公式求得，最后在中利用余弦定理得到，结合三角恒等变换得到关于的式子，利用正弦三角函数的图像及性质求的最值.
【详解】（1）由题意得，百米，百米，，
所以在中，由余弦定理得
百米，
于是四边形的面积为
平方百米．
（2）在中，由余弦定理得：
，∴百米，
在中，由正弦定理得，即，
又，所以为锐角，∴，
∴
，
在中，由余弦定理得：
．
∵，∴当时，的最大值为3百米．