通关练18 等差数列的最值问题-2023-2024学年学年高二数学高效讲与练(人教A版2019选择性必修第二册)

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一、单选题
1．（2022秋·天津滨海新·高二天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）已知等差数列的通项公式为，则其前n项和取得最大值时，n的值（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【分析】求出首项，求出的表达式，结合二次函数性质，即可求得答案.
【详解】由题意等差数列的通项公式为，则，
故，
即当时，取得最大值，即取得最大值时，n的值是4，
故选：C.
2．（2022秋·北京·高二北京二中校考期末）已知为等差数列，为其前n项和，若，，则当______，有最大值．（ ）
A．3B．4C．3或4D．4或5
【答案】C
【分析】设为等差数列的公差为.利用基本量代换求出，结合二次函数的性质即可求得.
【详解】设为等差数列的公差为.
因为，，
所以，解得：.
所以.
结合二次函数的性质可得：当或时，有最大值12.
故选：C
3．（2022秋·广东广州·高二广州奥林匹克中学校考期末）疫情防控期间，某单位把120个口罩全部分给5个人，使每人所得口罩个数成等差数列，且较大的三份之和是较小的两份之和的3倍，则最小一份的口罩个数为（ ）
A．6B．10C．12D．14
【答案】C
【分析】利用等差数列前项和公式及等差数列通项公式联立方程组解出即可.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，由条件可知，
，
即，
即，
解得，
所以最小一份的口罩个数为12个，
故选：C．
4．（2022春·安徽黄山·高二统考期末）已知等差数列中，，且公差，则其前项和取得最大值时的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意判断出，即可得到答案.
【详解】由等差数列的公差，知，，所以，故，则数列的前项和取得最大值时的值为.
故选：B
5．（2022秋·黑龙江绥化·高二校考期末）已知等差数列的公差为，前项和为，且，，以下命题不正确的是（ ）
A．的最大值为12B．数列是公差为的等差数列
C．是4的倍数D．
【答案】D
【分析】根据已知结合等差数列的通项公式和前项和公式及性质分析各选项即可判断．
【详解】设等差数列的首项为，则由，得
，解得,
所以等差数列的通项公式为
，
故C正确；
等差数列的前项和为
，
由二次函数的性质知，当取与最接近的整数即或时，取最大值为
，故A正确；
，故D不正确；
，
所以是关于的一次函数，
即数列是公差为的等差数列，故B正确
故选：D．
6．（2022秋·湖南岳阳·高二校联考期中）等比数列前项和为.若，则数列前项和的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等比数列的性质可知，，仍为等比数列，公比为，代入可得；将代入中，可得，即可得到等比数列的通项公式，进而得到数列的通项公式，再根据相邻项异号求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，则，解得，
又，解得，
所以，则，即是首项为，公差为的等差数列，
令，则，易知，
所以，
故当或6时，取最小值，最小值为，
故选：
7．（2022秋·陕西咸阳·高二统考期末）已知等差数列中，，，则的前项和的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由确定正确答案.
【详解】依题意，
而，所以，
所以数列的公差，
且数列的前项为负数，从第项起为正数，
所以的最小值为.
故选：C
8．（2022秋·湖北荆州·高二荆州中学校考期末）已知是等差数列的前项和，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的前项和公式和性质可得：，且，进而求解.
【详解】因为是等差数列的前项和，
由可得：，所以，
由可得：，所以，
则有，所以等差数列的前项为负值，从第项开始为正值，
所以的最小值为，
故选：.
9．（2022秋·河北衡水·高二衡水市第二中学校考期中）设是等差数列，是其前项和，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．和是的最大值
C．D．
【答案】B
【分析】对A，由前项和定义可得的符号，由等差数列定义得的符号；
对BD，由前项和定义，即可判断；
对C，.
【详解】是等差数列，
对A，由得，，，A错；
对BD，由得和是的最大值，，B对D错；
对C，，C错.
故选：B
10．（2022春·北京·高二期末）已知等差数列的前n项和为.若，且，则的n的最大值是（ ）
A．5B．6C．10D．11
【答案】D
【分析】由已知，设出公差，根据题意条件，先求解出数列的通项公式，然后再求解出，再令求解出n的取值范围即可.
【详解】由已知，等差数列中，设公差为，因为，所以，
由可得，，所以，，
令，得，因为，所以.
故选：D.
11．（2022秋·广东·高二校联考期末）已知数列为等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为（ ）
A．11B．12C．7D．6
【答案】A
【分析】根据已知条件，判断出，的符号，再根据等差数列前项和的计算公式，即可求得.
【详解】因为等差数列的前项和有最大值，故可得，
因为，故可得，即，
所以，可得，
又因为，
故可得，所以数列的前6项和有最大值，
且，
又因为，，
故取得最小正值时n等于.
故选：A.
12．（2022秋·上海·高二期中）设等差数列满足，，其前项和为，若数列也为等差数列，则的最大值是（ ）
A．310B．212C．180D．121
【答案】D
【分析】设数列的公差为，得到，，然后利用数列为等差数列，得到，解得，即可得到，根据数列的增减性即可得到.
【详解】解：∵等差数列满足，，设公差为，则，
其前项和为，
∴，，，，
∵数列也为等差数列，
∴，
∴，
解得．
∴，，
∴，
由于为单调递减数列，
∴，
故选：D．
二、多选题
13．（2022秋·广东广州·高二广州市第九十七中学校考期末）已知无穷等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．在数列中，最大；B．在数列中，最大
C．D．当时，
【答案】AD
【分析】由题得，即可解决.
【详解】由题知，无穷等差数列的前项和为，且，
所以，
所以等差数列为递减数列，
所以在数列中，最大；当时，；
故选：AD
14．（2022秋·江苏南通·高二统考期末）已知等差数列的前项和为，当且仅当时取得最大值，则满足的最大的正整数可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】由题意可得，公差，且，，分别求出，讨论的符号即可求解．
【详解】因为当且仅当时，取得最大值，
所以，公差，且，．
所以，，，
故时，．
当时，，则满足的最大的正整数为；
当时，，则满足的最大的正整数为，
故满足的最大的正整数可能为与．
故选：BC．
15．（2022秋·新疆喀什·高二新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考期末）已知递减的等差数列{an}的前n项和为Sn，S6＝S8，则（ ）
A．a7＞0B．S13＜0C．S15＜0D．S7最大
【答案】ACD
【分析】由可得，由等差数列{an}为递减数列，所以，所以当时，时，根据等差数列的求和公式和性质，逐项分析判断即可.
【详解】由可得，
由等差数列{an}为递减数列，
所以，故A正确；
又，故B错误；
，故C正确；
由等差数列{an}为递减数列，所且，
所以当时，
时，所以S7最大，故D正确
故选：ACD
16．（2022秋·江苏宿迁·高二校考期中）已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．数列单调递减B．数列单调递增C．有最大值D．有最小值
【答案】AC
【分析】根据等差数列通项公式的单调性，以及前项和的单调性，结合已知条件，即可判断和选择.
【详解】因为，根据题意，，是关于的减函数，故数列单调递减，A正确，B错误；
又，又，故一定有最大值，没有最小值，故C正确，D错误.
故选：AC.
17．（2022秋·重庆云阳·高二重庆市云阳凤鸣中学校校考期末）已知数列的前项和为，，则下列说法不正确的是（ ）
A．为等差数列B．
C．最小值为D．为单调递增数列
【答案】BC
【分析】根据求出，并确定为等差数列，进而可结合等差数列的性质以及前项和分析求解.
【详解】对于A，当时，，
时满足上式，所以,
所以，
所以为等差数列，故A正确；
对于B，由上述过程可知，
，故B错误；
对于C，因为，对称轴为，
又因为，所以当或3时，最小值为，故C错误；
对于D，由上述过程可知的公差等于2，
所以为单调递增数列，故D正确.
故选:BC.
18．（2022秋·重庆九龙坡·高二重庆实验外国语学校校考期末）等差数列是递减数列，满足，的公差为，前项和为，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．当时，最大D．当时，的最小值为
【答案】BC
【分析】由数列是递减数列可得，再由解得，分别代入等差数列的通项公式和前项和公式，对选项依次判断即可.
【详解】∵等差数列是递减数列，∴公差，
又∵，∴，∴，
∴，
对于A，，故选项A错误；
对于B，，故选项B正确；
对于C，，又∵等差数列是递减数列，，
∴当时，，当时，，当时，，
∴当或时，最大，故选项C正确；
（也能由得出当或时，最大）
对于D，∵，∴当时，，故选项D错误.
（当时，，的最小值为，最大值为）
故选：BC.
19．（2022秋·甘肃兰州·高二校考期末）已知等差数列的公差为d，前n项和为，且，，以下命题正确的是（ ）
A．的最大值为B．数列是公差为的等差数列
C．是4的倍数D．
【答案】AB
【分析】根据已知结合等差数列的通项公式和前项和公式及性质分析各选项即可判断．
【详解】由，，得，解得,
所以不是4的倍数，故C不正确；
所以等差数列的通项公式为，
等差数列的前项和为，
由二次函数的性质知，当取与最接近的整数即时，取最大值为，故A正确；
，故D不正确；
，
所以，
所以数列是公差为的等差数列，故B正确
故选：AB
20．（2022秋·湖南岳阳·高二校联考期中）已知数列的前项和，以下说法正确的是（ ）
A．数列是等差数列
B．当且仅当时，取最小值
C．若，则
D．若，则n的最小值为12
【答案】BCD
【分析】对于A，根据与之间的关系，求得数列的通项公式，可得答案；对于B，整理的解析式，根据二次函数的性质，可得答案；对于C，由题意，建立方程，可得答案；对于D，由题意，建立不等式，结合二次函数的性质，可得答案.
【详解】当时，；当时，；
则，，由，故A错误；
，所以当且仅当时取最小值，故B正确；
若，则，故，故C正确；
令，由，则，
即当时，，而当时，，所以若，则的最小值为12，故D正确.
故选：BCD.
21．（2022秋·广东揭阳·高二校考期末）已知公差为的等差数列，为其前项和，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则是数列中绝对值最小的项
B．若，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】ABD
【分析】利用等差数列的性质以及前项和得到，进而判定选项A；利用，，为等差数列可判定选项B；先利用方程思想求出通项公式，再求出前8项的绝对值的和即可判定选项C；利用等差数列的求和公式判定选项D.
【详解】对于A：因为为等差数列，且，
所以，即，
所以，即是数列中绝对值最小的项.
故选项A正确；
对于B：因为为等差数列，
所以，，为等差数列，
设，由得：，
故，，为等差数列
解得，
所以，故选项B正确；
对于C：因为为等差数列，且，，
所以，，
则.
则
.
故选项C错误；
对于D：因为为等差数列，且，，
所以，，
则.
故选项D正确；
故选：ABD.
22．（2022秋·甘肃兰州·高二校考期末）在数列中，若，，则下列结论正确的有（ ）
A．为等差数列B．的前n项和
C．的通项公式为D．的最小值为
【答案】ABC
【分析】由可得，可得是公差为3的等差数列，然后利用等差数列的通项公式和求和公式逐项进行分析即可
【详解】由可得，
所以是首项为，公差为3的等差数列，故A正确；
，的前n项和，故B正确；
由可得，故C正确；
因为，故的最小值不为，故D错误；
故选：ABC
23．（2022秋·山东菏泽·高二统考期末）设等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．最小B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据等差数列性质及前项和公式可得，即可得出数列单调性，进而判断选项BCD的正确性，再由数列各项的符号即可得前1011项的和最小，得出正确结果.
【详解】根据等差数列前项和公式可得
可得，即选项BC正确；
因此等差数列的公差，所以数列为递增数列；
，即选项D正确；
由可知，该数列前1011项全部为负，所以前1011项的和最小，即最小，所以A错误；
故选：BCD
三、填空题
24．（2022秋·吉林长春·高二校考期末）数列的通项公式是，的前项和为，则取得最小值时________.
【答案】
【分析】解不等式，可得出当取得最小值时的值.
【详解】由可得且，故当时，取最小值.
故答案为：.
25．（2022秋·天津滨海新·高二天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）已知数列的通项公式为，为数列的前n项和，则使得的n的最小值为___________.
【答案】23
【分析】根据数列通项公式的特点，分奇偶讨论，利用并项求和表示其前n项和，再解不等式求得结果.
【详解】当n为奇数时，，
，
由解得；
当n为偶数时，，
，不合题意，舍去；
综上n的最小值为23.
故答案为：23．
26．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）我校大礼堂舞台设备需要更换，设备采购费用为5万元，设备使用、检修等费用第一年为0.2万元，后逐年增长0.1万元，则本次采购设备使用___________年后停用，可使年均花费最小.
【答案】10
【分析】根据题意结合等差数列的通项公式和求和公式求得到第年，年均花费为万元，再利用基本不等式运算求解.
【详解】由题意可得：第年的设备使用、检修等费用为万元，
则到第年，年均花费为万元，
∵，当且仅当，即时等号成立，
∴本次采购设备使用10年后停用，可使年均花费最小.
故答案为：10.
27．（2022秋·浙江绍兴·高二绍兴鲁迅中学校考期末）已知各项为正的数列的前项和为，满足，则的最小值为___________.
【答案】2
【分析】根据，可得时，，求得的表达式，即可求得，代入化简，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】各项为正的数列，，
时，，
即，化为：，
，，又，解得，
数列是等差数列，首项为1，公差为2．，
，
，
当且仅当时取等号，的最小值为2,
故答案为：2．
28．（2022秋·天津河西·高二天津市新华中学校考期末）已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且，若不等式对任意恒成立，则实数的最小值是_____________．
【答案】2
【分析】利用等差数列的前项和公式及等差数列的性质求得，用裂项相消法求得不等式左边的和，然后不等式化简为，求得的最大值后解相应不等式可得结论．
【详解】是等差数列，则，，
∴，
，
所以
所以由不等式对任意恒成立，得
，，
易知是递减数列，因此它的最大项是第一项为，
，．
所以的最小值是2．
故答案为：2.
四、解答题
29．（2022秋·甘肃兰州·高二校考期末）记为等差数列的前n项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的前n项和，与等差数列的性质求出的值，然后根据通项公式求出公差，就能求通项公式.
（2）根据等差数列的前n项和求出前n项和再根据二次函数的性质求最小值.
【详解】（1）为等差数列的前n项和
所以
所以，又因为
所以
所以
（2）
又因为，所以当或时有最小值，
最小值为
的最小值为
30．（2022秋·河南信阳·高二潢川一中校考期末）已知等差数列的前项和为，，
(1)求数列的通项公式；
(2)当为何值时，最大，最大值为多少？
【答案】(1)
(2)当或时，取得最大值
【分析】（1）由，，列出关于的方程组，可得数列的通项公式；
（2）求出的表达式，由二次函数的性质，可得当取得最大时，的值.
【详解】（1）等差数列的公差为，
由题意可得，解得，
所以的通项公式为
（2）．
因为，所以当或时，取得最大值．
31．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第一二二中学校校考期末）已知等差数列的公差为，前项和为，现给出下列三个条件：①成等比数列；②③，请你从这三个条件中任选两个解答下列问题：
(1)求的通项公式；
(2)令，其前项和为，若恒成立，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选择①②，①③或②③，利用等比中项的性质、等差数列的通项公式和前项和公式将已知条件转化为关于和的方程，解方程求出和的值即可得的通项公式；
（2）由（1）知：，利用等差数列前项和公式求出，进而得到，再利用导数判断的单调性，求出，可得答案.
【详解】（1）由①成等比数列可得：，即，
整理可得：，
由②可得即，
由③可得：，可得：，
若选①②：由，可得，所以，
若选①③：由可得，所以，
若选②③：由可得，所以，
综上所述：的通项公式为
（2）由（1）知：，故，
恒成立，则，
，令，
则，
故在上单调递增，在上单调递减；
令，又，故对于，当时，
，当时，，，
故时，有最大值，
此时，，
由，有.
故的最小值为.
32．（2022秋·河南信阳·高二潢川一中校考期末）已知等差数列和正项等比数列满足．
(1)求，的通项公式；
(2)求数列的前n项和时的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件列出公差与公比的方程，代入计算，即可得到结果；
（2）由（1）中的结论得到数列的前n项和，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为，
因为，
则，
所以，且，则，
所以，；
（2）由（1）知，，则，且，
所以，即，所以的最小值为.