高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.2 立体图形的直观图课后复习题

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一、单选题
1．（2023·高一课时练习）关于用“斜二测画法”所得的直观图，下列说法正确的是（ ）
A．菱形的直观图仍为菱形
B．相等的角，在直观图中仍相等
C．长度相等的线段，在直观图中长度仍相等
D．若两条线段平行，则在直观图中对应的线段也平行
【答案】D
【分析】根据斜二测画法的原理，对四个选项逐一分析即可.
【详解】由直观图的做法可知：原图形中的平行性质仍然保持，而相等长度和角的大小不一定与原来相等.
选项A：菱形的直观图是平行四边形，错误；
选项B：相等的角在直观图中不一定相等，如直角梯形在直观图中与直角对应的两个角不相等，错误；
选项C：平行于轴且相等的线段在直观图中仍相等，而不是所有相等线段都能相等，错误；
选项D：平行线段在直观图中仍然平行，正确；
故选：D
2．（2022秋·陕西西安·高一统考期末）一个水平放置的平面四边形采用斜二侧画法得到的直观图是菱形，如图所示，则平面四边形的形状为（ ）
A．正方形B．长方形C．菱形D．梯形
【答案】B
【分析】直接将直观图进行还原即可得结果.
【详解】将直观图还原得如图：
所以平面四边形的形状为长方形，
故选：B.
3．（2023·全国·高一专题练习）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中，则原平面图形的面积为（ ）
A．B．C．3D．6
【答案】C
【分析】根据斜二测画法的定义求解.
【详解】
如图，过点作于点，
因为,所以，
原平面图形中,作原平面图形如下，
则原平面图形的面积为,
故选:C.
4．（2023秋·青海西宁·高二校考期末）已知等边的直观图的面积为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由原图和直观图面积之间的关系即可得结果.
【详解】因为直观图的面积为，
所以，解得，
故选：D.
5．（2023春·全国·高一专题练习）如图是一个平面图形的直观图，斜边，则原平面图形的面积是（ ）
A．B．C．4D．
【答案】A
【分析】将平面图形的直观图复原为原图，根据斜二测画法的规则，即可求得答案.
【详解】根据斜二测画法的规则，将平面图形的直观图恢复为原图，如图示：
则 ，故这个平面图形的面积为 ,
故选：A.
6．（2022春·山西吕梁·高一校联考期中）某几何体底面的四边形OABC直观图为如图矩形，其中，，则该几何体底面对角线AC的实际长度为（ ）
A．6B．C．D．
【答案】B
【分析】通过直观图与原图的关系得出A、C两点的坐标，即可得出答案.
【详解】根据四边形OABC直观图将其还有为平面图形如图：
根据直观图与原图的关系可得：
，，，
则点，，
，
故选：B.
7．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得．
【详解】由题意，利用斜二测画法的定义，画出原图形，
∵是等腰直角三角形，，斜边，
∴，
∴，
∴原平面图形的面积是.
故选：A．
8．（2021秋·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）空间内水平放置的两个封闭图形分别为（i）长为、宽为的矩形；（ii）边长为的正三角形，记（i）中原图形面积为，斜二测画法得到的直观图面积为，（ii）中原图形面积为，斜二测画法得到的直观图面积为，对以下两个命题：①；②，以下判断正确的是（ ）
A．①为真命题，②为假命题B．①为假命题，②为真命题
C．①为真命题，②为真命题D．①为假命题，②为假命题
【答案】C
【分析】根据斜二测画法的知识求得正确答案.
【详解】①，长为、宽为的矩形：
原图：
直观图：
所以原图面积为，直观图的面积为，
所以，①为真命题.
②，边长为的正三角形：
原图：
直观图：
所以原图面积为，直观图的面积为，
所以，②为真命题.
故选：C.
9．（2023秋·四川眉山·高二眉山中学校考期末）用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形.已知点是斜边的中点，且，则的边边上的高为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】在直观图中∥轴，可知原图形中∥轴，故,,求直观图中的长即可求解.
【详解】∵直观图是等腰直角三角形，，∴，根据直观图中平行于轴的长度变为原来的一半,
∴△的边上的高.故选D.
【点睛】本题主要考查了斜二测直观图的画法，属于中档题.
10．（2023·高一单元测试）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，轴，则中边上的中线的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先由斜二测画法将直观图还原三角形，再分别求得与，且，由此在利用勾股定理可求得.
【详解】利用斜二测画法将直观图还原如图，易知此时，，
又由轴得轴，故，
不妨设是的中点，则，
所以在中，，即中边上的中线的长度为.
故选：A.
.
11．（2023秋·吉林·高一吉林一中校考阶段练习）已知用斜二测画法画梯形OABC的直观图如图所示，，，，轴，，为的三等分点，则四边形OABC绕y轴旋转一周形成的空间几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意由直观图与原图的关系，得到四边形OABC是等腰梯形，即可得四边形OABC绕轴旋转一周所形成的空间几何体的体积等于一个圆台的体积减去一个圆锥的体积，即可得到结果.
【详解】在直观图中，，∴在真实图中，．如图：
在直观图中，，为的三等分点，
∴在真实图中，，D为OA的三等分点．在直观图中，轴，
∴在真实图中，轴，∴，
∴，∴，∴，∴四边形OABC是等腰梯形，
∴四边形OABC绕y轴旋转一周所形成的空间几何体的体积等于一个圆台的体积减去一个圆锥的体积，
即．
故选:B.
二、多选题
12．（2023春·全国·高一专题练习）如图所示的是水平放置的三角形直观图，是中边上的一点，且，又轴，那么原的、、三条线段中（ ）
A．最长的是
B．最长的是
C．最短的是
D．最短的是
【答案】AD
【分析】通过斜二测画法将直观图还原，利用题干所给出的限制条件进行判断.
【详解】由题意得到原的平面图为：
其中，，，
∴，
∴的、、三条线段中最长的是，最短的是，
故选：AD.
13．（2023·高一课时练习）如图，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，则关于平面四边形OABC有（ ）
A．图形为矩形B．周长为8C．边OC的长度为2D．面积为
【答案】BD
【分析】还原出原图，根据直观图与原图的长度关系，即可求得，的值，代入公式，即可得答案.
【详解】把直观图还原为原图形，如图所示，所以原图形为平行四边形，故A错；
根据题意，，，，平面四边形OABC的周长为：，故B正确，C错误；
所以平行四边形的面积，故D正确.
故选：BD.
14．（2023春·全国·高一专题练习）已知是等腰直角三角形， ， 用斜二测画法画出它的直观图 ， 则的长可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】通过斜二测画法的定义可知BC为轴时，为最大值，以BC为轴，则此时为最小值，故的长度范围是，C选项可以
以AB为轴进行求解出，从而求出正确结果.
【详解】以BC为轴，画出直观图，如图2，此时，
A正确，
以BC为轴，则此时，
则的长度范围是，
若以AB或AC为x轴，画出直观图，如图1，以AB为轴，则，此时过点作⊥于点D，则，
则，，
由勾股定理得：，C正确；
故选：AC
15．（2023·高一课时练习）如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ）
A．是钝角三角形
B．的面积是的面积的2倍
C．是等腰直角三角形
D．的周长是
【答案】CD
【分析】根据已知，结合图形，利用斜二测画法的方法进行求解判断.
【详解】根据斜二测画法可知，在原图形中，O为的中点，，
因为，所以，
则是斜边为4的等腰直角三角形，如图所示：
所以的周长是，面积是4，故A错误，C，D正确.
由斜二测画法可知，的面积是的面积的倍，故B错误.
故选：CD.
三、填空题
16．（2023秋·上海浦东新·高二统考期末）已知一个正方形的边长为2，则它的直观图的面积为___________．
【答案】
【分析】根据直观图面积是原图形面积的倍即可得出结果.
【详解】由题意可知，原图形面积为，
又直观图面积是原图形面积的倍，所以直观图的面积为.
故答案为：
17．（2023秋·上海静安·高二校考期末）用斜二测画法画得的正方形的直观图的面积为，那么原正方形的面积为______．
【答案】16
【分析】根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积．
【详解】设原正方形的边长为，根据斜二测画法的原则可知，，
高，
∴对应直观图的面积为，即，故原正方形的面积为16，
故答案为:16．
18．（2023·高一单元测试）如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，过作轴，则的长为______．
【答案】
【分析】结合已知条件利用直观图与原图之间的面积关系得到的面积，进而得到.
【详解】因为，，
所以，即.
故答案为：.
19．（2022春·上海闵行·高一上海市七宝中学校考期末）如下图所示，梯形是水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法），若，，则四边形的面积是_____．
【答案】10
【分析】根据直观图画法的规则，确定原平面图形四边形ABCD的形状，求出底边边长以及高，然后求出面积．
【详解】根据直观图画法的规则，
直观图中平行于轴，，
所以原图中，
从而得出AD⊥DC，且，
直观图中，，
所以原图中，，
即四边形ABCD上底和下底边长分别为4，6，高为2，
故其面积.
故答案为：10.
20．（2022秋·上海闵行·高一上海市文来中学校考期中）边长为2的正三角形直观图的面积为__________.
【答案】
【分析】作出直观图，结合三角形的面积公式运算求解.
【详解】如图，在直角坐标中，为等边三角形，取，
按照斜二测画法可得：在坐标中，则，
故直观图的面积.
故答案为：.
21．（2021春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）如图，某四边形的直观图是上底为1，下底为2，高为的梯形，则原四边形的面积为________．
【答案】6
【分析】利用直观图画出原图形，确定其为直角梯形，且，，利用梯形面积公式进行求解.
【详解】过点作的垂线，垂足分别为，
因为是梯形，且，,，
所以，
因为，所以，
画出原图形如下：
由直观图和原图形知：，原来图形为直角梯形，且，
所以原来图形的面积.
故答案为:6.
22．（2022春·福建福州·高一校联考期末）水平放置的的直观图如图所示，已知， ，则边上的中线的实际长度为______．
【答案】
【分析】由已知中直观图中线段的长，可分析出实际为一个直角边长分别为、的直角三角形，进而根据勾股定理求出斜边，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
【详解】根据斜二测画法的原则,由直观图知，原平面图形为直角三角形，且，,
所以，
所以，
故边上中线长为.
故答案为：2.5.
23．（2022春·湖南株洲·高一校联考期中）如图， 是水平放置的斜二测直观图， 其中，， 则原图形 的面积是 _____________．
【答案】
【分析】根据图形可知：在中，，再利用斜二测画法可知：，，进而可求的面积.
【详解】因为与轴重合，与轴重合，所以，
所以在中，，故为直角三角形.
又由斜二测画法可知：在中，，，
所以，
故答案为：.
24．（2023秋·上海徐汇·高二南洋中学校考期末）如图，是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积是______．
【答案】
【分析】先由的斜二测直观图还原得的直观图，再求得的边长并判定形状，从而即可求得的面积.
【详解】由的斜二测直观图还原得的直观图如下，
因为在中，，，，所以，
则在中，，，，
所以的面积为.
故答案为：.
25．（2023秋·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期末）有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）.，则这块菜地的面积为__________
【答案】
【分析】利用直观图中的信息，求出的长度，从而得到原平面图形中的长度，利用梯形的面积公式求解即可.
【详解】
过作于，
在直观图中，，，，
所以，，
故原平面图形的上底为 ，下底，高为，
所以这块菜地的面积为，
故答案为：.
四、解答题
26．（2023·高一课时练习）用“斜二测”法画出边长为1cm的正六边形的直观图.
【答案】图见解析.
【分析】以正六边形的中心为原点建立直角坐标系，利用“斜二测”画法确定各个顶点位置即可画出其直观图.
【详解】如图：
以正六边形的中心为原点建立平面直角坐标系，
作轴和轴，使得，在轴上取，使得；
在轴上取，使得；
过分别作轴的平行线，且，
连接，从而得到正六边形ABCDEF的直观图．
27．（2023·高一单元测试）如图，一个三角形在斜二测画法下的直观图是一个边长为2的正三角形．求该三角形原来的面积．
【答案】
【分析】根据斜二测法中原图与直观图面积的数量关系，即可求原来面积.
【详解】由题设，正三角形在轴上的底与原图一样为2，
而正三角形的高是原图高的并倾斜45°后得到，有，即，
若原来面积为，则.
28．（2023春·全国·高一专题练习）用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图．
【答案】作图见解析
【分析】由斜二测画法的规则画出直观图即可.
【详解】解：根据斜二测画法的规则可知，底面矩形的直观图为平行四边形．
①画出水平放置的长、宽分别是8 cm、6 cm的矩形ABCD的直观图．
②作Az垂直于AB，在Az轴上截取．
分别过点B、C、D作，，，且．
③连接、、、，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，即得长方体的直观图，如图2所示．
29．（2023春·全国·高一专题练习）画出一个正六棱柱的直观图，底面为边长为3的正六边形，高为5．
【答案】答案见解析
【分析】根据斜二测画法的要求和步骤，作图即可.
【详解】（1）画轴.如图，画x,y,z轴，三轴相交于O，使得 .
（2）画底面.在x轴上以O为中点截取线段FC，使FC=6cm,在y轴上以O为中点取线段GH,
使 ,分别过点G,H作x轴的平行线，并在平行线上分别以G,H为中点截取AB=3cm,ED=3cm,
连接BC,CD,EF,FA,则六边形ABCDEF就是正六棱柱的底面的直观图.
（3）画侧棱.在z轴正半轴上取线段,使，过A,B,C,D,E,F各点作z轴的平行线，
在这些平行线上分别截取5cm长的线段 .
（4）成图.顺次连接,并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），得到所要求作的正六棱柱的直观图

30．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中，，．
(1)画出四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积；
(2)若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
【答案】(1)平面图及标出边长见解析，四边形的面积为4
(2)体积为，表面积为
【分析】（1）根据斜二测画法还原直观图，求出的边长，即可求出四边形的面积；
（2）由（1）可知旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，且几何体底面圆半径为，圆柱母线长和高都为1，即，圆锥的高为，母线长为，再根据锥体、柱体的体积与表面积公式计算可得；
【详解】（1）解：在直观图中，，．
所以在平面图形中，，，所以，
所以平面四边形的平面图形如下图所示：
由上图可知，平面四边形为直角梯形，
所以面积为．
（2）解：旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，
由（1）可知几何体底面圆半径为，圆柱母线长和高都为1，即；
圆锥的高为，母线长为
所以体积；
所以表面积．