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2025届新高三阶段性检测01 基础版(范围:集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数)(解析版)
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这是一份2025届新高三阶段性检测01 基础版(范围:集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数)(解析版),共14页。试卷主要包含了选择题的作答,证明见解析等内容,欢迎下载使用。
(范围:集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数)
(新课标卷)
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知集合,,则( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】化简集合,结合交集的概念即可得解.
【详解】因为,,
所以.
故选:B.
2.已知命题p:有些实数的相反数是正数,则是( )
A.,B.,
C.,D.,
【答案】B
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可直接写出答案.
【详解】已知命题:有些实数的相反数是正数,即,
则,
故选:B.
3.下列函数最小值为4的是( )
A.B.
C.D.
【答案】B
【分析】根据函数性质,基本不等式确定最小值后判断.
【详解】选项A,时,,最小值不是4,A错;
选项B,由基本不等式知,当且仅当时等号成立,B正确;
选项CD中,当时,函数最小值为0,CD均错.
故选:B.
4.若函数在其定义域内单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】将问题转化为f′x≥0在0,+∞上恒成立,利用基本不等式可得.
【详解】的定义域为0,+∞,,
因为函数在其定义域内单调递增,
所以在0,+∞上恒成立,即在0,+∞上恒成立,
因为,当且仅当时,等号成立,
所以,所以.
故选:B
5.设,,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】根据指数以及对数的单调性即可求解.
【详解】因为,所以,因为,所以.
因为,所以,所以.
故选:D
6.大气压强(单位:)与海拔(单位:)之间的关系可以由近似描述,其中为标准大气压强,为常数.已知海拔为两地的大气压强分别为.若测得某地的大气压强为80,则该地的海拔约为( )(参考数据:)
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】根据条件得到,,两式相比得到,又由和,得到,从而得到,即可求解.
【详解】由题知①,②,
①②两式相比得到,
所以③,
当时,由④,②④得到,
所以⑤,
由⑤④,得到,
解得.
故选:C.
7.甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏,甲、乙、丙共同写出三个集合:,,,然后他们三人各用一句话来正确描述“”表示的数字,并让丁同学猜出该数字,以下是甲、乙、丙三位同学的描述,甲:此数为小于5的正整数;乙:是的必要不充分条件;丙:是的充分不必要条件.则“”表示的数字是( )
A.3或4B.2或3C.1或2D.1或3
【答案】C
【分析】根据此数为小于5的正整数得到,再推出是的真子集,是的真子集,从而得到不等式,求出,得到答案.
【详解】因为此数为小于5的正整数,所以,
.因为是的必要不充分条件,是的充分不必要条件,
所以是的真子集,是的真子集,
所以且,解得,所以“”表示的数字是1或2,故正确.
故选:C.
8.已知函数不是常数函数,且满足对于任意的,,则( )
A.B.一定为周期函数
C.不可能为奇函数D.,
【答案】C
【分析】令,和,可判定A错误;令,,得到,可判定C正确;令,得到,可判定D错误;结合函数,可判定B错误.
【详解】由题意,函数满足对于任意的,,
令,解得或.
若,令,则,
故,,与题设不为常数函数矛盾,所以A错误;
所以,此时令,,得,
即,所以必然为偶函数,所以C正确;
再令,则,所以D错误;
例如,函数符合题意,此时函数在上单调递增,且不为周期函数,所以B错误.
故选:C.
二、多项选择题:本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.
9.已知集合,,则下列结论正确的是( )
A.,B.当时,
C.当时,D.,使得
【答案】AB
【分析】对于A:根据直线方程分析判断;对于B:根据题意求直线交点即可;对于C:根据空集的定义结合直线平行运算求解;对于D:根据直线重合分析求解.
【详解】对于选项A:因为表示过定点,且斜率不为0的直线,
可知表示直线上所有的点,
所以,故A正确;
对于选项B:当时,则,,
联立方程,解得,所以,B正确;
对于选项C:当时,则有:
若,则;
若,可知直线与直线平行,且,
可得,解得;
综上所述:或,故C错误;
对于选项D:若,由选项C可知,且,无解,故D错误.
故选:AB.
10.已知正数,满足,则下列说法正确的是( )
A.的最大值为B.的最小值为
C.的最大值为D.的最小值为
【答案】ABD
【分析】利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案.
【详解】对于A:∵,,.
∴,.
当且仅当,即,,取“”,∴A正确;
对于B:,由(1)知,∴.
∴.∴B正确;
对于C:.
∴,∴C错误;
对于D:,
当且仅当,即,取“”,∴D正确.
故选:ABD.
11.已知函数均为定义在上的非常值函数,且为的导函数.对且,则( )
A.B.为偶函数
C.D.
【答案】BCD
【分析】选项A,根据条件,令,即可求解;选项B,利用选项A中结果,令,即可求解;选项C,令,得到,进而有,再利用选项B中结果,得到为奇函数,从而得出的周期为的周期函数,即可求解;选项D,令,得到,用代替得到,利用C中结果,两式相加,即可求解.
【详解】因为,且f1=0,
对于选项A,令,得到,所以或,
若,令,得到,得到,与题不合,
所以,故选项A错误,
对于选项B,由选项A知,令,得到,
即,又的定义域为,所以选项B正确,
对于选项C,令,得到,
所以关于点中心对称,
即,所以,
又由选项B知,,得到,即,
所以为奇函数,令,由,得到,
则有,所以,
即的周期为的周期函数,所以,故选项C正确,
对于D,令,得到则①,
用代替得到②,
由①+②得,
由选项C知,所以,故选项D正确.
故选:BCD.
三、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12.已知集合,,若,则a的值为 .
【答案】
【分析】求出,分类讨论的值,根据集合元素的互异性进行检验是否符合 .
【详解】由,,
则,
又,即,
当时,变为不满足集合元素的互异性,故不符合;
当时,即,
当时,,故符合;
当时,,故符合;
因此,
故答案为:.
13.若,且,则的最小值是 .
【答案】
【分析】由题意可借助、表示出,从而消去,再计算化简后结合基本不等式计算即可得.
【详解】由,则,
即
,
当且仅当,即时,等号成立.
故答案为:.
14.已知函数有且只有一个零点,则ab的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题意可得只有一个解,从而可得,,设,利用导数求解即可.
【详解】依题意得与只有一个交点,即两曲线相切,
则只有一个解,
,化简得,将其代入得,
,即,.
,
则,
设,则,
在单调递减,,
的取值范围是.
故答案为:
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知集合.
(1)若,求实数的取值范围;
(2)若“”是“”的必要不充分条件,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【分析】(1)依题先求出A集合,再判断A、B集合的包含关系,即可得
(2)先判断出是A的真子集,再考虑B是否为空集两种情况考虑
【详解】(1)由题意知,
因为,所以,
则,解得,则实数的取值范围是;
(2)因为“”是“”的必要不充分条件,所以是A的真子集,
当时,解得;
当时,(等号不能同时取得),解得,
综上,.
16.(15分)为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在2023年举行促销活动.经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用万元满足.如果不搞促销活动,则该产品的年销量只能是1万件.已知2023年生产该产品的固定投入为6万元,每生产1万件该产品需要再投入12万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分).求该厂家2023年的年促销费用t投入多少万元时厂家利润最大?最大利润是多少?
【答案】该厂家2023年的年促销费用投入2.5万元时,厂家利润最大,最大利润是21.5万元
【分析】首先将所获利润表示为的函数,结合基本不等式即可求得最大值即取最大值时的值.
【详解】由题意将该厂家2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数为:
.
所以,
当且仅当时“=”成立.
所以,该厂家2023年的年促销费用投入2.5万元时,厂家利润最大,最大利润是21.5万元.
17.(15分)已知函数,.
(1)若,求使的x的取值范围;
(2)当时,设,求在区间上的最小值.
【答案】(1)(2)4
【分析】(1)解一元二次不等式可得结果.
(2)结合基本(均值)不等式求和的最小值.
【详解】(1)由题意可知:.
所以,满足条件的x的取值范围是.
(2),,
当时,,
(当且仅当即时取“”),
所以.
18.(17分)已知函数.
(1)当时,求函数的极值;
(2)求证:当时,.
【答案】(1)极大值;极小值0.(2)证明见解析
【分析】(1)利用导数研究函数的单调性、极值,计算即可;
(2)先利用导数计算函数的最小值,将问题等价变形,法一、构造函数,利用导数求其单调性、最值即可;法二、构造函数,利用二次求导判定其单调性计算即可.
【详解】(1)当时,
令得或,当变化时,与变化如下表:
故当时,取得极大值;
当时,取得极小值0.
(2)
令,则,当变化时,与变化如下表:
故.
要证当时,.
法一:
只需证当时,即
令,则在上单调递减
故,即式成立,原不等式成立.
法二:
只需证当时,即
令,则
令,则
在上单调递减.
在上单调递减,
即式成立,原不等式成立.
19.(17分)已知实数集,定义.
(1)若,求;
(2)若,求集合A;
(3)若A中的元素个数为9,求的元素个数的最小值.
【答案】(1)(2)或者.(3)13
【分析】(1)根据集合的新定义直接求解即可;
(2)根据可得,然后分中4个非零元素,符号为一负三正或者一正三负进行讨论即可;
(3)分 中没有负数和中至少有一个负数两种情况进行讨论即可求解.
【详解】(1);
(2)首先,;
其次中有4个非零元素,符号为一负三正或者一正三负.
记,不妨设或者--
①当时,,
相乘可知,从而,
从而,所以;
②当时,与上面类似的方法可以得到
进而,从而
所以或者.
(3)估值+构造 需要分类讨论中非负元素个数.
先证明.考虑到将中的所有元素均变为原来的相反数时,
集合不变,故不妨设中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论:
情况一: 中没有负数.
不妨设,则
上式从小到大共有1+7+6=14个数,它们都是的元素,这表明
情况二: 中至少有一个负数.
设 是中的全部负元素,是中的全部非负元素.
不妨设
其中为正整数,.
于是有
以上是中的个非正数元素:另外,注意到
它们是中的5个正数.这表明
综上可知,总有-
另一方面,当时,中恰有13个元素. 综上所述,中元素个数的最小值为13.
-2
+
-
0
+
单调递增
单调递减
0
单调递增
-
0
+
单调递减
单调递增
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