新高考数学一轮复习阶段性检测1.1（易）（范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数）（2份，原卷版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，集合或，，则Venn图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据集合补集以及交集的概念，结合Venn图，即可求得答案.
【详解】集合或，故，
由Venn图可知影部分表示的集合为.
故选：A
2．在R上是增函数的充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分段函数的单调性，可得a的范围，再由充分必要条件的含义，得解.
【详解】在R上是增函数，
则有，解得，
所以在R上是增函数的充要条件是，
则充分不必要条件要求是的真子集，只有D选项满足，即.
故选：D
3．下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】根据不等式的性质，结合举反例的方法，可得答案.
【详解】对于A，若，则，故A错误；
对于B，若，，则，故B错误；
对于C，若，，可得，故C正确；
对于D，若，，，则，故D错误.
故选：C．
4．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性，即可利用中间值法求解.
【详解】，
，
，
故，
故选：B
5．已知函数，若在定义域上恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由得在上恒成立，令，求出的最大值即可求解.
【详解】的定义域为，
由在定义域上恒成立，得在上恒成立，
令，，
令得，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
所以，所以.
故选：A
6．若“”是“”充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先解出绝对值不等式，再根据充分不必要条件得到集合的包含关系，即可得到不等式组，解得即可.
【详解】由，即，解得，
因为“”是“”充分不必要条件，
所以真包含于，所以（等号不能同时取得），解得，
所以实数的取值范围为.
故选：C
7．已知过点作的曲线的切线有且仅有两条，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据导数求出切线斜率，再构造函数把有两条切线转化为函数有两个交点解决问题即可.
【详解】设切点为，由题意得，所以，
整理得，此方程有两个不等的实根．
令函数，则．
当时，，所以在上单调递增;
当时，，所以在上单调递减,且．
，方程有两个不等的实根,故．
故选：D.
8．已知定义在上的函数，若函数是偶函数，且对任意，都有，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的对称性以及单调性即可求解.
【详解】∵函数为偶函数，∴定义在上的函数的图象关于直线对称，
∵对任意，都有，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
又函数的图象关于直线对称，且，
∴，即，解得，即实数的取值范围是.
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知是实数集，集合，则下列说法正确的是（ ）
A．是的充分不必要条件B．是的必要不充分条件
C．是的充分不必要条件D．是的必要不充分条件
【答案】AD
【分析】先求出集合，再判断两集合的包含关系和两集合补集的包含关系，再根据充分条件和必要条件的定义分析判断.
【详解】由题意，集合，所以，且，
所以是的充分不必要条件，且是的必要不充分条件成立.
故选：.
10．若函数既有极大值又有极小值，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】先判断函数定义域，再求导，将题意转化为方程有两个不等的正根，根据一元二次方程相关知识直接求解即可.
【详解】的定义域为，
因为若函数既有极大值又有极小值，
所以方程有两个不等的正根，
所以，解得，
所以A和C正确，B和D错误.
故选：AC
11．已知，且，把底数相同的指数函数与对数函数图像的公共点称为（或）的“亮点”；当时，在下列四点中，不能成为“亮点”的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】按照“亮点”定义将选项对应点代入检验即可.
【详解】由题意得，，
由于，所以点 不在函数的图像上，所以点 不是“亮点”；
由于，所以点不在函数的图像上，所以点不是“亮点”；
由于，所以点不在函数的图像上，所以点不是“亮点”；
由于，，所以点在函数和的图像上，所以点是“亮点”．
故选:.
12．设为自然对数的底数，函数，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，无极值点B．当时，有两个零点
C．当时，有1个零点D．当时，无零点
【答案】AD
【分析】对函数求导，对其单调性、极值及零点进行分析即可求解.
【详解】，则.
令，得，；
当时，，在恒成立，
在定义域上单调递增，不存在极值点，故A正确；
当时，，在与为正，在为负，
故有极大值，有极小值，
此时的极大值小于0，故最多存在一个零点，故B错误；
当时，的极小值大于0，当时，，没有零点，故C错误；
当时，在为负，在为正，
所以在单调递减，在单调递增；
，此时无零点，故D正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，为正实数，函数在处的切线斜率为，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】先求导，根据在点处的切线斜率，找到，利用基本不等式代“1”法求解.
【详解】由题，则，
因为，为正实数，
则，
当且仅当时取到等号.
故答案为：.
14．已知函数若恰有2个零点，则实数a的取值范围是 .
【答案】或
【分析】先求出和的根，再根据恰有2个零点，以及的解析式可得的范围.
【详解】又，得，得；
由，得，得或，
因为恰有2个零点，
所以若和是函数的零点，则不是函数的零点，则；
若和是函数的零点，则不是函数的零点，则，
若和是函数的零点，不是函数的零点，则不存在这样的.
综上所述：实数a的取值范围是或.
故答案为：或.
15．若命题“使”是假命题，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】原命题等价于“使”是真命题，再根据二次不等式恒成立求解即可.
【详解】解：因为命题“使”是假命题
所以“使”是真命题，
所以当，即时，不等式成立；
当时，则需满足，解得
综上，实数a的取值范围为
故答案为：
16．非空集合关于运算满足：（1）对任意的，，都有；（2）存在，都有，则称关于运算为“融洽集”．现给出下列集合和运算：
①{非负整数}，为整数的加法；②{偶数}，为整数的乘法；
③{平面向量}，为平面向量的加法；④{二次三项式}，为多项式的加法．
其中关于运算为“融洽集”的是 ．（写出所有“融洽集”的序号）
【答案】①③
【分析】对新定义“融洽集”需要满足的两个条件进行验证，只有都满足时才是G关于运算为“融洽集”，依次判断即可.
【详解】对于①，{非负整数}，为整数的加法；
当，都为非负整数时，，通过加法运算还是非负整数，满足条件（1），
且存在一整数有，满足条件（2），
所以①为“融洽集”；
对于② ，{偶数}，为整数的乘法，
由于任意两个偶数的积仍是偶数，故满足条件（1），
但不存在偶数,使得一个偶数与的积仍是此偶数，故不满足条件（2），
故不满足“融洽集”的定义；
对于③，{平面向量}，为平面向量的加法，
若，为平面向量，两平面向量相加仍然为平面向量，满足条件（1），
且存在零向量通过向量加法，满足条件（2），
所以③为“融洽集”；
对于④，{二次三项式}，为多项式的加法，
由于两个二次三项式的和不一定是二次三项式，如与的和为 ，不满足条件（1），
故不满足“融洽集”的定义；
故答案为：①③
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．不等式的解集是，集合．
(1)求实数a，b的值；
(2)若集合A是B的子集．求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意知，且方程的两个根为，代入求解即可；
（2）由（1）化简集合，再分类讨论，利用集合的包含关系求参数即可得解.
【详解】（1）由题意知，且方程的两个根为，代入得
，解得.
（2）由（1）知 ，故集合，
于是有，可得，
若，可得，解得；
若， 可得，解得；
若符合条件.
故实数的取值范围是.
18．已知某企业生产一种产品的固定成本为400万元，每生产万件，需另投入成本万元，假设该企业年内共生产该产品万件，并且全部销售完，每1件的销售收入为100元，且
(1)求出年利润（万元）关于年生产零件（万件）的函数关系式（注：年利润年销售收入年总成本）；
(2)将年产量定为多少万件时，企业所获年利润最大.
【答案】(1)
(2)80万件
【分析】（1）根据售价和成本，分段求出函数式即可；
（2）根据已求的利润表达式，结合导数和基本不等式的知识分段求最值并比较即可.
【详解】（1）由题意得，总售价固定为，
当产量不足60万箱时，.
当产量不小于60万箱时，.
则
（2）设，
当时，，令，得，
得在上单调递增，在上单调递减，
则；
当时，由基本不等式有
当且仅当，即时取等号；
又因为，所以当时，所获利润最大，最大值为1300万元
19．在①充分而不必要，②必要而不充分，③充要，这三个条件中任选一个条件补充到下面问题中，若问题中的实数存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.问题：已知集合，非空集合.是否存在实数，使得是的__________条件？
【答案】答案见解析
【分析】选择条件①，根据是的真子集列不等式求解；选择条件②：根据是的真子集列不等式求解；选择条件③：根据列方程组求解.
【详解】因为集合非空，所以，
选择条件①：
因为是的充分而不必要条件，所以是的真子集，
所以（两个等号不同时取到），
解得，
故实数的取值范围是.
选择条件②：
因为是的必要而不充分条件，所以是的真子集，
所以有且（两个等号不同时取到），
解得.
综上，实数的取值范围是.
选择条件③：
因为是的充要条件，所以有且，
即，此方程组无解，
则不存在实数，使得是的充要条件.
20．已知函数的一个极值点为1.
(1)求；
(2)若过原点作直线与曲线相切，求切线方程.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出函数的导数，由求出a值，再验证作答；
（2）设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，结合已知求出切点坐标作答.
【详解】（1）因为，所以.
因为的一个极值点为1，所以，所以.
因为，
当时，；当或时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值点为1，符合题意.
（2）设切点为，则，
所以切线方程为.
将点代入得，
整理得，所以或.
当时，切线方程为；
当时，切线方程为.
21．已知是定义在[－2，2]上的函数，若满足且．
(1)求的解析式；
(2)设函数，若对任意，都有恒成立，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的奇偶性即可得，进而结合即可求解，
（2）将问题转化为，进而根据函数的单调性的定义即可求解最值，或者利用对勾函数的单调性求解.
【详解】（1），且，所以为奇函数，
将代入可得，即，所以，
即，因为，所以，代入可得，
解得，故；
，函数为奇函数，满足，故．
（2）只要，设，则，
∵，∴，∴，即，
故函数在[1，2]上单调递增，最小值为．
法一：在[1，2]上恒成立，只要，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，
故当时，，所以．
法二：，，
当时，，，解得，舍去；
当时，，，解得，因此，
综上所述：．
22．设函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间：
(3)若函数在区间内单调递增，求k的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）求出导函数，求得得切线斜率，再求出函数值后可得切线方程；
（2）分类讨论确定和的解得单调区间；
（3）由（2）中单调增区间得关于的不等式，从而求得其范围．
【详解】（1），，又，
所以所求切线方程为；
（2）
时，时，，是增函数，时，，是减函数，
时，时，，是减函数，时，，是增函数，
所以当时，增区间是，减区间是；
当时，减区间是，增区间是；
（3）由（2）知：当时，，即；
当时，，即；
所以的范围是．