阶段性检测1.3（难）（范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数）-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解不等式得集合P，计算函数的定义域得集合Q，再计算两个集合的交集.
【详解】解不等式得，又因为，则集合，
因为在函数中作真数，所以，得，集合，
得.
故选：B.
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断
【详解】当时，或，
当时，，得，所以，
所以时，不一定成立，而时，一定成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
3．若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据全称命题为真命题可得，即可求得实数m的取值范围.
【详解】由“，”是真命题可知，
不等式恒成立，因此只需
易知函数在上的最小值为1，所以.
即实数m的取值范围是.
故选：B
4．已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
【答案】A
【分析】先根据一元二次不等式的解集求参，再结合基本不等式求最值即可.
【详解】的解集为，故为方程的两个根，
且（当且仅当时等号成立）.
故选：A.
5．已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分析可知，存在，使得，由参变量分离法可得，求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】因为，则，
因为函数在区间上存在单调递增区间，则存在，使得，
即，可得，设，
因为函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数，
当时，，故.
故选：B.
6．已知函数，记，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用作差法比较自变量与1的差的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令，则开口向上，对称轴为，且，
又，
而，
所以，即，
所以由二次函数的性质得，
因为，
又，
所以，即，
所以由二次函数的性质得，
综上，，
因为在上单调递增，所以，
所以，即.
故选：B.
7．设，则对任意实数，“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】先判断函数为奇函数且单调递增，再分别判断充分性和必要性得到答案.
【详解】定义域为，
，函数为奇函数
易知：在上单调递增，
且
故在上单调递增
当时，，充分性；
当时，即，必要性；
故选：
【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，充分必要条件，意在考查学生的综合应用能力.
8．定义:设A是非空实数集，若，使得，都有，则称a是A的最大（小）值.若B是一个不含零的非空实数集，且是B的最大值，则（ ）
A．当时，是集合的最小值
B．当时，是集合的最大值
C．当时，是集合的最小值
D．当时，是集合的最大值
【答案】D
【分析】集合的新定义问题，依据题目进行判定即可.
【详解】当时，是集合B中最小的正数，但B中还有负数的存在，
所以既不是集合中最大，也不是最小；
当时，集合B中的任意元素，从而，
所以，是集合最大值.
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列说法中正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．若，则，
C．函数的值域为
D．在上单调递减
【答案】BC
【分析】利用抽象函数定义域的求解原则可判断A选项；利用换元法求函数的解析式，可判断B选项；利用指数函数与二次函数的基本性质求出函数的值域，可判断C选项；利用反比例型函数的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为函数的定义域为，
对于函数，则，解得，即函数的定义域为，A错；
对于B选项，若，令，可得，
所以，，其中，
所以，，，B对；
对于C选项，因为，，
即函数的值域为，C对；
对于D选项，函数的减区间为、，
但函数在上不单调，D错.
故选：BC.
10．已知函数（），则（ ）
A．对任意的，函数都只有1个零点
B．当时，对，都有成立
C．当时，方程有4个不同的实数根
D．当时，方程有3个不同的实数根
【答案】BCD
【分析】作出选项所对应的函数图象，利用数形结合逐一判断即可.
【详解】对于选项A，作出和的图象，如图所示：

当时，函数都有2个零点，故A错误；
对于选项B，当时，函数在上单调递增，
则对，都有成立，故B正确；
对于选项C，当时，令，则，解得，，
当时，方程有两个解，当时方程有两个解，所以方程有4个不同的实数根，故C正确；

对于选项D，当时，方程的根为的根，
令，作出，的函数图象，可知函数，有三个交点，其中包括，即方程有3个不同的实数根，故D正确，

故选：.
【点睛】方法点睛：对于求嵌套函数的零点个数问题的基本方法是利用换元，即令，然后不断分析，层层递进，即可求解.
11．已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值是1B．的最小值是2
C．的最小值是3D．的最小值是
【答案】ABD
【分析】根据基本不等式，及条件等式，双变量化成单变量可得答案.
【详解】对于A选项: 因为，，且，所以，
即，当且仅当时取得等号，解得，故A正确.
对于B选项: 因为，，且，
所以，即，当且仅当时取得等号，解得，故B正确.
对于C选项: 因为，，且，所以，
所以，
.
当且仅当，即时取得等号，等号取不到，故C错误.
对于D选项: 因为，，且，所以，
所以，
，
当且仅当，即时取得等号，故D正确.
故选: ABD.
12．设函数，给出下列四个结论正确的是（ ）
A．当时，函数有三个极值点
B．当时，函数有三个极值点
C．是函数的极小值点
D．不是函数的极大值点.
【答案】BD
【分析】根据分段函数解析式作出相应图象，利用极值点定义一一判断即可.
【详解】对于A，不妨取，此时，
作出函数图像如图：

此时函数有2个极值点，故A错误；
对于B，当时，，作出函数的大致图象如图：

在单调递减，在单调递增，在上单调递减，在单调递增，
此时函数有3个极值点：，B正确；
对于C，由A的分析可知，时，是函数的极大值点，C错误；
对于D，由以上分析可知当时，，且为的对称轴，
此时为函数的极小值点，
当时，，此时在上单调递减，
在上也单调递减，在上单调递增，
不是函数的极大值点，

故不是函数的极大值点，D正确，
故选：BD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．关于的不等式有实数解的一个充分条件是 ．（写出一个满足条件的的取值范围即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】先求得有实数解的等价条件，再利用充分条件与集合的关系即可得解.
【详解】因为有实数解，
等价于，即，即，即，
所以题干所求的一个充分条件只需是的子集即可，如等.
故答案为：（答案不唯一）.
14．设，，满足，则 .
【答案】/
【分析】利用对数的运算法则以及换底公式求解.
【详解】由可知，即，
由可知，即，
消去得，解得或（舍去），
当时，所以，
故答案为：.
15．已知［x]表示不超过的最大整数，定义函数，则下列结论中正确的序号是 ．
① ②函数是奇函数
③方程解集为 ④函数是周期函数
【答案】①③④
【分析】根据题目中函数的定义，可设函数，结合不等关系、奇函数定义，周期可得答案.
【详解】由题意，设，则，
对于①，显然，则，故①正确；
对于②，，而，，故②错误；
对于③，若，则，即，故③正确；
对于④，，，故，是周期函数，故④正确.
故答案为：①③④.
16．已知，，记，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】设，，．由题意知，的最小值可转化为曲线上的点到直线上的点的距离的平方的最小值，求解即可.
【详解】设，，．
由题意知，的最小值可转化为曲线上的点到
直线上的点的距离的平方的最小值．
易知，曲线与直线没有交点，则
当曲线在点A处的切线平行于B所在的直线，
且AB连线与直线垂直时，两点间距离最小．
由，得，直线的斜率，
令，解得，则，
所以点A到直线的距离，
故M的最小值为．
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．已知集合，，或.
(1)若，求的取值范围．
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依据得出，通过对集合分类讨论解.
（2）依据并集定义和实数集，解.
【详解】（1）因为，所以.
当时，满足，此时解得；
当时，要使，则解得.
综上，的取值范围为.
（2）因为，
所以解得.
18．已知函数满足
(1)求的解析式；
(2)从下面两个条件中选一个，求实数的取值范围.
①若“”为假命题；②若“”为真命题.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用换元法，可得答案；
（2）将问题转化为二次不等式恒成立或有解问题，分情况讨论，可得答案.
【详解】（1）令，则，即，
故.
（2）若选：①，
由“”为假命题，则“”为真命题，
不等式，整理可得，
则问题等价于在上恒成立，
当时，不等式整理为，显然成立；
当时，可得，由，整理可得，解得，即可得；
综上所述，.
若选：②，
不等式，整理可得，
则问题等价于在上有解，
当时，不等式整理为，显然不成立；
当，即时，可得或，则，整理可得，解得或，即可得；
当，即时，令，该函数为开口向下的二次函数，则命题显然成立；
综上所述，.
19．一艘船上的某种液体漏到一片海域中，为了治污，根据环保部门的建议，现决定在该片海域中投放一种与污染液体发生化学反应的药剂，已知每投放个单位的药剂，它在海水中释放的浓度（克/升）随着时间（天）变化的函数关系式近似为（投放当天），其中若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当海水中药剂的浓度不低于6（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．
(1)若一次投放2个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？
(2)若第一次投放4个单位的药剂，6天后再投放（第二次投放）个单位的药剂，要使第二次投放后的5天（含投放当天）能够持续有效治污，试求的最小值．
【答案】(1)1天
(2)2
【分析】（1）根据题意得到，分类讨论，列出不等式，即可求解；
（2）根据题意，求得当时，，转化为对于恒成立，结合基本不等式求得最小值，列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解：因为，所以，
①当时，由，解得，所以此时；
②当时，由，解得，所以此时为空集；
综上可得，一次投放个单位的药剂，则有效治污时间为1天．
（2）解：当时，
可得，
根据题意，可得对于恒成立，
因为，而，所以，
由，
当且仅当时，有最小值为，
令，解得，所以实数的最小值为．
20．已知函数（为正常数），且．
(1)求的解析式；
(2)若函数的值域为，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用给定的函数值，求出参数作答.
（2）由（1）求出函数在上的取值集合，再利用二次函数性质分段讨论在上取值集合作答.
【详解】（1）依题意，，由于函数在上单调递增，而，因此，
所以的解析式是.
（2）由（1）知，函数，
当时，函数单调递增，，而的值域为，
则当时，时，，函数在上的取值集合为，又恒成立，
此时函数的值域为，因此，
当时，函数在上单调递增，取值集合为，
当且仅当，即时，函数的值域为，因此，
所以的取值范围是.
【点睛】思路点睛：涉及分段函数值域问题，先求出每一段在各自对应区间上的函数值集合，再求出这些集合的并集即可.
21．已知函数且．
(1)试讨论的值域；
(2)若关于的方程有唯一解，求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）由，根据，分和讨论求解；
（2）根据方程只有一个解，转化为有唯一解，令，转化为关于的方程有唯一解求解.
【详解】（1）解：．
因为，
所以当时，；当时，．
故当时，的值域为；当时，的值域为．
（2）因为关于的方程只有一个解，
所以有唯一解．
令，所以有唯一解．
关于的方程有唯一解，
设．
当时，，解得，不符合题意．
当时，，所以一定有一个解，符合题意．
当时，，解得．
当时，符合题意，当时，不符合题意．
综上，的取值范围为．
22．已知，函数．
(1)讨论的单调性；
(2)求证：存在，使得直线与函数的图像相切．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据函数解析式，明确其定义域并求导，根据二次函数的性质，结合导数与函数单调性的关系，可得答案；
（2）根据导数的几何意义，建立方程，将其等价于新函数求零点问题，利用导数研究新函数的单调性以及零点存在性定理，可得答案.
【详解】（1）的定义域是，，
当时，恒成立，在单调递增；
当时，令，则，显然成立，
解得：，，
当时，；当时，，
的增区间是和，减区间是．
（2），则，设切点坐标为．
由直线与函数的图象相切，则，解得：．
显然直线过原点，则，所以．
整理得，即：，得：．
设，．
当时，，递减，当时，，递增．
又，．所以存在，使得．
存在，使得直线与函数的图像相切．