2024-2025学年天津市红桥区高二上册期末数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年天津市红桥区高二上册期末数学检测试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了给定数组，则错误的是，数列满足，，则等内容，欢迎下载使用。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
2．本卷共9题，每小题4分，共36分.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某学校共有学生2700人，其中男生1200人，女生1500人.现按男生、女生进行分层，用分层随机抽样的方法，从该校全体学生中抽取人进行调查研究.若抽到男生20人，则（ ）
A．60B．45C．35D．25
2．由三个数字组成的无重复数字的两位数中，任取1个数，恰为偶数的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．给定数组，则错误的是（ ）
A．中位数为3B．标准差为
C．众数为2和3D．第85百分位数为4
4．从1、2、…、9中任取两数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
在上述事件中，是对立事件的是（ ）
A．①；B．②④；C．③；D．①③．
5．要调查某地区高中学生身体素质，从高中生中抽取100人进行跳远测试，根据测试成绩制作频率分布直方图如下图，现再从这100人中用分层抽样的方法抽取20人，应从间抽取人数为b，则b为（ ）

A．4B．5C．6D．7
6．数列满足，，则（ ）
A．2B．3C．6D．8
7．在等比数列中，，公比，则与的等比中项是（ ）
A．2B．4C．2D．4
8．记为等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A．240B．225C．120D．30
9．一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（ ）
A．5760B．5660C．5642D．5472
第Ⅱ卷
填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分
10．已知数列的前项和满足，且成等差数列，则 ； ．
11．已知数列为等比数列，、，则
12．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．
13．在的展开式中，常数项为 ．
14．从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有 种．（用数字填写答案）
15．3名男生和2名女生排成一排，其中2名女生不相邻的排法共有 种．（请用具体数字作答）
三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．已知的展开式中前三项的二项式系数和为.
(1)求；
(2)求展开式中的常数项.
17．已知等差数列前项和为（），数列是等比数列，，，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，求.
18．已知等差数列满足其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列．
（1）求数列、的通项公式；
（2）设的前项和为，求
（3）设，的前n项和为，若恒成立，求实数的最大值．
19．已知数列的前项和，，且．
(1)求；
(2)求数列的前项和；
(3)设数列的前项和，且满足，求证：．
2024-2025学年天津市红桥区高二上学期期末数学检测试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
2．本卷共9题，每小题4分，共36分.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某学校共有学生2700人，其中男生1200人，女生1500人.现按男生、女生进行分层，用分层随机抽样的方法，从该校全体学生中抽取人进行调查研究.若抽到男生20人，则（ ）
A．60B．45C．35D．25
【正确答案】B
【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算
【思路】由分层抽样中各层样本数的确定方法求解即可；
由题意男生有1200人，调查研究中男生被抽到20人，
所以分层抽样的比例为，所以
故选：B.
2．由三个数字组成的无重复数字的两位数中，任取1个数，恰为偶数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】B
【知识点】计算古典概型问题的概率
【思路】利用古典概型概率公式求解即可.
由题意得三个数字中只有1个偶数，且设概率为，
所以，即任取1个数，恰为偶数的概率是，故B正确.
故选：B
3．给定数组，则错误的是（ ）
A．中位数为3B．标准差为
C．众数为2和3D．第85百分位数为4
【正确答案】D
【知识点】总体百分位数的估计、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的中位数、计算几个数的众数
【思路】求得数组的中位数判断选项A；求得数组的标准差判断选项B；求得数组的众数判断选项C；求得数组的第85百分位数判断选项D.
将数组从小到大依次排列为
则中位数为，故选项A判断正确；
平均数为
标准差为
，
故选项B判断正确；
众数为2和3，故选项C判断正确；
由，可得第85百分位数为5. 故选项D判断错误.
故选：D
4．从1、2、…、9中任取两数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
在上述事件中，是对立事件的是（ ）
A．①；B．②④；C．③；D．①③．
【正确答案】C
【知识点】写出某事件的对立事件、互斥事件与对立事件关系的辨析
【思路】根据题意，分析从1，2，3，，9中任取两数，其中可能的情况即基本事件，进而依次分析四个事件，看其中包含的事件是否对立，即可得答案．
根据题意，从1，2，3，，9中任取两数，其中可能的情况有“两个奇数”，“两个偶数”，“一个奇数与一个偶数”三种情况；依次分析所给的4个事件可得，
①恰有一个偶数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”一种情况，不是对立事件；
②至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，与两个都是奇数不是对立事件；
③至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，和“两个都是偶数”是对立事件；
④至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，不是对立事件.
故选：C．
5．要调查某地区高中学生身体素质，从高中生中抽取100人进行跳远测试，根据测试成绩制作频率分布直方图如下图，现再从这100人中用分层抽样的方法抽取20人，应从间抽取人数为b，则b为（ ）

A．4B．5C．6D．7
【正确答案】C
【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算
【思路】先由频率之和为解得值，计算可得之间的学生人数，根据抽样比可求得.
由题得，所以．
在之间的学生：人，
现再从这人中用分层抽样的方法抽取人，
应从间抽取人数为，故.
故选：C．
6．数列满足，，则（ ）
A．2B．3C．6D．8
【正确答案】C
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项
【思路】根据数列中项的关系式，即可求解.
.
故选：C
7．在等比数列中，，公比，则与的等比中项是（ ）
A．2B．4C．2D．4
【正确答案】D
【知识点】等比数列下标和性质及应用、等比数列通项公式的基本量计算、确定等比中项
【思路】先通过等比数列的通项公式计算，进而可得其等比中项.
解：因为，
所以与的等比中项是，
故选：D.
8．记为等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A．240B．225C．120D．30
【正确答案】A
【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算
【思路】根据等差数列的性质和求和公式可得，，进而可得，结合等差数列性质运算求解即可.
因为数列为等差数列，则，即，
又因为，可得，
则等差数列公差，可得，
所以.
故选：A.
9．一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（ ）
A．5760B．5660C．5642D．5472
【正确答案】D
【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题
【思路】计算出所有情况后减去《大学》和《春秋》相邻的情况即可得.
四书、五经必须分别排在一起，共有种，
若《大学》和《春秋》相邻，则不符合条件，共有种，
则共有种．
故选：D.
第Ⅱ卷
填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分
10．已知数列的前项和满足，且成等差数列，则 ； ．
【正确答案】
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用、利用an与sn关系求通项或项、写出等比数列的通项公式
【思路】根据题意，得到，得到为等比数列，列出方程组，求得，再由等比数列的通项公式，即可求解.
由数列的前项和满足，
当时，，两式相减可得，
又由成等差数列，所以，即，
解得，所以数列是以2为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为.
故；.
11．已知数列为等比数列，、，则
【正确答案】
【知识点】等比数列下标和性质及应用、等比数列通项公式的基本量计算
【思路】根据等比数列性质，，求出，进而得到答案.
因为数列为等比数列，、，
所以，所以，
又，所以，即，
所以.
故−2
12．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．
【正确答案】/0.3
【知识点】计算古典概型问题的概率、实际问题中的组合计数问题
【思路】根据古典概型计算即可
解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；
其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率.
故答案为.
解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为
甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率
故
13．在的展开式中，常数项为 ．
【正确答案】20
【知识点】求指定项的系数
【思路】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.
因为的展开式的通项为，
令，可得，
所以常数项为.
故20.
14．从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有 种．（用数字填写答案）
【正确答案】
【知识点】实际问题中的组合计数问题
【思路】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从人中任选人的选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出.
［方法一］：反面考虑
没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，
故至少有位女生入选，则不同的选法共有种．
故答案为.
［方法二］：正面考虑
若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有种；
若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有种，则不同的选法共有种．
故答案为.
【总结】方法一：根据“正难则反”，先考虑“至少有位女生入选”的反面种数，再利用没有限制的选法种数减去反面种数即可求出，对于正面分类较多的问题是不错的方法；
方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出．
15．3名男生和2名女生排成一排，其中2名女生不相邻的排法共有 种．（请用具体数字作答）
【正确答案】72
【知识点】不相邻排列问题
【思路】利用插空法求解即可.
3名男生和2名女生排成一排，其中2名女生不相邻的排法共有种
故72
三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．已知的展开式中前三项的二项式系数和为.
(1)求；
(2)求展开式中的常数项.
【正确答案】(1)；
(2).
【知识点】求指定项的系数、求指定项的二项式系数
【思路】（1）写出前三项二项式系数，根据和为，列方程求出的值；
（2）利用通项，并令的指数为0，求出常数项．
（1）因为的展开式中前三项的二项式系数分别是，，，
所以，
即，
解得或
（2）的展开式中通项为，
由时，可得，即第7项为常数项，
所以展开式中的常数项为.
17．已知等差数列前项和为（），数列是等比数列，，，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，求.
【正确答案】(1)，；
(2).
【知识点】分组（并项）法求和、写出等比数列的通项公式、裂项相消法求和、利用定义求等差数列通项公式
【思路】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为（），根据等差等比数列通项公式基本量的计算可得结果.
（2）求出，代入求出，再分组求和，利用裂项求和方法和等比数列的求和公式可求得结果.
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为（），
由，，，，
得，解得，，
所以，.
（2）由（1）知，，
因此当为奇数时，，当为偶数时，，
所以
.
18．已知等差数列满足其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列．
（1）求数列、的通项公式；
（2）设的前项和为，求
（3）设，的前n项和为，若恒成立，求实数的最大值．
【正确答案】（1）；；（2）；（3）．
【知识点】判断数列的增减性、错位相减法求和、裂项相消法求和、数列不等式恒成立问题
【思路】(1) 设等差数列的公差为，由已知条件，结合等差数列的通项公式和求和公式可得，从而可求出首项和公差，即可求出通项公式；设等比数列公比为，由已知条件结合等比数列的通项公式即可求出公比，从而可求出的通项公式.
(2)由错位相减法即可求出前项和.
(3)由(1)可知，整理可得，由裂项相消法可得，由恒成立可得恒成立，结合的单调性即可求出实数的最大值.
解：(1)设等差数列的公差为，
，，.
设等比数列公比为（其中），因为，
由，可得，解得或（舍去）；
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得，
则①．
②
由①减去②得，
则，所以的前n项和.
（3）由(1)可知，，
则
恒成立，恒成立，
单调递增，时，，
最大值为.
【总结】方法点睛:
常见数列求和的方法有：公式法；裂项相消法；错位相减法；分组求和法等.
19．已知数列的前项和，，且．
(1)求；
(2)求数列的前项和；
(3)设数列的前项和，且满足，求证：．
【正确答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项
【思路】（1）令，解方程即可求解，
（2）利用，的关系，作差可得等差数列，即可求解，
（3）利用放缩法可得，即可利用累加法求解.
（1）在，中，，
令，可得
，
∴．
（2），①
当时，，②
可得
，
∴，
∴是公差为的等差数列，
∴，
∴．
（3）证明：由（2）可得，
∴，
∴
．