2023-2024学年天津市红桥区高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年天津市红桥区高二（上）期末数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.圆x2+y2−4x+6y=0的圆心坐标是
A. (2,3)B. (−2,3)C. (−2,−3)D. (2,−3)
2.设双曲线x2a2−y29=1(a>0)的离心率为 132，则a的值为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
3.抛物线y2=8x的焦点到直线x− 3y=0的距离是( )
A. 2 3B. 2C. 3D. 1
4.在等差数列{an}中，a2=2，a3=4，则a10=( )
A. 12B. 14C. 16D. 18
5.已知函数f(x)=1x，则f′(−2)=( )
A. 4B. 14C. −4D. −14
6.函数f(x)=x3−3x+1在区间[−3,0]上的最大值和最小值分别是( )
A. 1，−1B. 1，−17C. 3，−17D. 9，−19
7.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为
( )
A. x24−y212=1B. x212−y24=1C. x23−y2=1D. x2−y23=1
8.函数f(x)=2x+x3−2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
9.已知定义在R上的函数f(x)=lnx,x>1|x2−x|,x≤1，若函数k(x)=f(x)−ax恰有2个零点，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,−1)∪{0}∪(1e,+∞)B. (−∞,−1)∪{0}∪(1e,1)
C. (−1,−1e)∪{0}∪(1e,1)D. (−1,−1e)∪{0}∪(1e,+∞)
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.直线x−y+1=0的倾斜角大小为______．
11.已知函数f(x)=csx，则f(x)的导函数f′(x)= ______ ．
12.已知数列{an}的前n项和Sn=2ⁿ−1，则a3= ______ ．
13.圆x2+y2=4在点A(2,0)处的切线方程为______ ．
14.等差数列{an}的首项为1，公差不为0，若a2，a3，a6成等比数列，则公差为______ ．
15.已知函数f(x)=(x−b)lnx+x2在区间[1,e]上单调递增，则实数b的取值范围是______ ．
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的长轴为4 3，短轴为4．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)设直线l：y=x+m与椭圆C交于不同两点A、B，且|AB|=3 2，求直线AB的方程．
17.(本小题10分)
在等比数列{an}中，a1=2，a4=16
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn=1lg 2an ⋅lg2an+1，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn．
18.(本小题10分)
设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0，已知a1=b1=3，b2=a3，b3=4a2+3，n∈N．
(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(Ⅱ)设cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Sn．
19.(本小题10分)
已知函数f(x)=ex，g(x)=ax+2，a∈R，e是自然对数的底数．
(Ⅰ)求曲线f(x)=ex在点(1,f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)设函数h(x)=f(x)−g(x)．
①讨论函数h(x)的单调性；
②若a=1，k为整数，且当x>0时，k−xx+1ℎ′(x)<1恒成立，求k的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
将已知圆化成标准方程并对照圆标准方程的基本概念，即可得到所求圆心坐标．
本题给出圆的一般方程，求圆心的坐标．着重考查了圆的标准方程与一般方程的知识，属于基础题．
【解答】
解：将圆x2+y2−4x+6y=0化成标准方程，
得(x−2)2+(y+3)2=13，
∴圆表示以C(2,−3)为圆心，半径r= 13的圆．
故选D．
2.【答案】C
【解析】解：∵双曲线x2a2−y29=1(a>0)的离心率e= 132，
∴e2=c2a2=a2+b2a2=1+9a2=134
∴a2=4
∴a=2，
故选：C．
由于在双曲线的标准方程中已知了b2=9，故只需利用离心率定义及c2=a2+b2，求出a即可．
本题考查了双曲线的标准方程及其几何性质，属基础题．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查抛物线的性质及点到直线的距离公式，熟练掌握抛物线的性质和点到直线的距离公式是解题的关键，属于基础题．
由抛物线y2=8x得焦点F(2,0)，再利用点到直线的距离公式可得点F(2,0)到直线x− 3y=0的距离．
【解答】
解：由抛物线y2=8x得焦点F(2,0)，
∴点F(2,0)到直线x− 3y=0的距离d=2 12+(− 3)2=1．
故选：D．
4.【答案】D
【解析】解：∵等差数列{an}中，a2=2，a3=4，
∴d=a3−a2=4−2=2，
∴a10=a3+7d=4+14=18
故选：D．
根据所给的等差数列的两项做出等差数列的公差，写出等差数列的第十项的表示式，用第三项加上七倍的公差，代入数值，求出结果．
本题考查等差数列的公差求法，考查等差数列的通项公式，这是一个等差数列基本量的运算，是一个数列中最常出现的基础题．
5.【答案】D
【解析】解：因为f(x)=1x，
所以f′(x)=−1x2，
则f′(−2)=−14．
故选：D．
由已知先对函数求导，然后把x=−2代入即可求解．
本题主要考查了导数的求解，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考点是导数法求函数最值，属于基础题．
求导，用导数研究函数f(x)=x3−3x+1在闭区间[−3,0]上的单调性，利用单调性求函数的最值．
【解答】
解：令f′(x)=3x2−3=0，x=±1，
故函数f(x)=x3−3x+1在[−3,−1]上是增函数，在[−1,0]上是减函数，
又f(−3)=−17，f(−1)=3，f(0)=1．
故最大值、最小值分别为3，−17；
故选：C．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查双曲线的简单性质，双曲线的标准方程，考查计算能力，属于基础题．
根据题意，推出a，b关系，通过c=2，求解a，b，然后得到双曲线的方程．
【解答】
解：∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，
△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，
∴c=2，
∵双曲线的渐近线为y=±bax，
∴tan60∘=ba= 3，
即b2a2=3，c2−a2a2=3，
解得a=1，b= 3，
∴双曲线方程为x2−y23=1．
故选D．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数零点的个数以及零点存在性定理的应用，属于基础题．
根据函数f(x)=2x+x3−2在区间(0,1)内单调递增，f(0)f(1)<0，可得函数在区间(0,1)内有唯一的零点．
【解答】
解：由于函数f(x)=2x+x3−2在区间(0,1)内单调递增，
又f(0)=−1<0，f(1)=1>0，
所以f(0)f(1)<0，
故函数f(x)=2x+x3−2在区间(0,1)内有唯一的零点，
故选：B．
9.【答案】B
【解析】解：作出函数f(x)=lnx,x>1|x2−x|,x≤1的图象，如右图，
考虑直线y=x，y=−x，y=1ex与曲线f(x)相切，
由直线y=ax与曲线y=f(x)的位置关系可得：
当a∈(−∞,−1)∪{0}∪(1e,1)时有两个交点，
即函数y=k(x)恰有两个零点．
故选：B．
作出函数f(x)的图象，求得直线与曲线相切的情况，结合图象即可得到所求范围．
本题考查函数的零点个数问题解法，注意运用分类讨论思想和数形结合思想，考查运算能力，属于中档题．
10.【答案】45°
【解析】解：由直线x−y+1=0变形得：y=x+1
所以该直线的斜率k=1，
设直线的倾斜角为α，即tanα=1，
∵α∈[0,180°)，
∴α=45°．
故答案为：45°．
把已知直线的方程变形后，找出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即直线的斜率等于倾斜角的正切值，得到倾斜角的正切值，由倾斜角的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出倾斜角的度数．
此题考查了直线的倾斜角，以及特殊角的三角函数值．熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系是解本题的关键，同时注意直线倾斜角的范围．
11.【答案】−sinx
【解析】解：由导数的运算法则可知f′(x)=−sinx．
故答案为：−sinx．
直接利用导数运算法则即可得出答案．
本题主要考查了导数的运算，学生应熟练掌握特殊函数的导数，是送分的题．
12.【答案】4
【解析】解：数列{an}的前n项和Sn=2ⁿ−1，
则a3=S3−S2=(23−1)−(22−1)=8−4=4．
故答案为：4．
利用数列前n项和公式和通项公式的关系能求出结果．
本题考查数列前n项和公式和通项公式的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】x−2=0
【解析】解：圆x2+y2=4的圆心为O(0,0)，半径r=2．
因为点A(2,0)与原点O的连线斜率为0，
所以圆O在点A处的切线斜率不存在，方程为x=2，即x−2=0．
故答案为：x−2=0．
根据圆的切线垂直于过切点的半径，结合题意算出圆O在点A处的切线方程．
本题主要考查圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．
14.【答案】−2
【解析】解：等差数列中a1=1，根据题意，a32=a2⋅a6，
即(1+2d)2=(1+d)⋅(1+5d)，
解出d1=0(舍去)，d2=−2．
故答案为：−2．
依题意有，a32=a2⋅a6，设{an}的公差为d，代入可求得d．
本题主要考查等差数列和等比数列，属于中档题．
15.【答案】(−∞,3]
【解析】解：因为f(x)=(x−b)lnx+x2在区间[1,e]上单调递增，
所以f′(x)=lnx+x−bx+2x=lnx−bx+1+2x≥0在[1,e]上恒成立，
若b≤0，x−b>0，
由于x∈[1,e]，则lnx>0，x2>0，
所以f(x)>0恒成立，符合题意，
若b>0，设g(x)=lnx−bx+1+2x，x∈[1,e]，
则g′(x)=1x+bx2+2>0，
所以g(x)在[1,e]上单调递增，
即f′(x)在[1,e]上单调递增，
要使得f′(x)≥0，只需f′(1)≥0，
所以−b+1+2≥0，
所以0综上所述，b的取值范围为(−∞,3]．
故答案为：(−∞,3]．
若f(x)=(x−b)lnx+x2在区间[1,e]上单调递增，等价于f′(x)≥0在[1,e]上恒成立，再对b分类讨论即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．
16.【答案】解：(Ⅰ)因为椭圆C的长轴为4 3，短轴为4，
所以2a=4 3，2b=4，
解得a=2 3，b=2，
则椭圆C的方程为x212+y24=1；
(Ⅱ)联立y=x+mx212+y24=1，消去y并整理得4x2+6mx+3m2−12=0，
因为直线l与椭圆C交于不同两点A、B，
所以Δ>0，
解得−4由韦达定理得x1+x2=−3m2，x1x2=3m2−124，
因为|AB|= 1+k2|x1−x2|= 1+k2⋅ (x1+x2)2−4x1x2
= 1+1⋅ (−3m2)2−4×3m2−124=3 2，
解得m=±2，
则直线AB的方程为y=x±2．
【解析】(Ⅰ)由题意，列出等式求出a和b的值，进而可得椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)将直线l的方程与椭圆C的方程联立，利用根与系数的关系以及弦长公式再进行求解即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)设等比数列{an}的公比为q依题意a1=2，a4=16，得
∴q3=8，q=2，
∴an=2n
(2)由(1)得lg2an=n，lg2an+1=n+1，
bn=1n(n+1)=1n−1n+1
∴Sn=b1+b2+…+bn=(1−12)+(12+13)+…+(1n−1n+1)=1−1n+1=nn+1．
【解析】(1)由“a1=2，a4=16”求得公比q再用通项公式求得通项．
(2)先将bn=1lg 2an ⋅lg2an+1=1n(n+1)=1n−1n+1转化，再用裂项相消法求其前n项和Tn
本题主要考查等比数列的通项公式及前n项和公式及其应用，求和的常用方法有：倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和等．
18.【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
依题意，得3q=3+2d3q2=15+4d，
解得d=3q=3
所以an=3n，bn=3n；
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得cn=3n×3n=n×3n+1，
所以Sn=c1+c2+⋯+cn=1×32+2×33+⋯+n×3n+1①，
3Sn=1×33+2×34+⋯+n×3n+2②，
①−②：得：−2Sn=32+33+34+⋯+3n+1−n×3n+2，
所以Sn=9(1−3n)1−3−n×3n+2=94+2n−14×3n+2．
【解析】(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则3q=3+2d3q2=15+4d，求出d和q的值，进而求出an，bn；
(Ⅱ)利用错位相减法求解．
本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了错位相减法求和，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)由f(x)=ex，得f′(x)=ex，
则切线的斜率k=f′(1)=e，又f(1)=e，
所以曲线f(x)得切线方程为y−e=e(x−1)，即y=ex．
(II)①由题意，得h(x)=f(x)−g(x)=ex−ax+2，则h′(x)=ex−a．
当a≤0时，h′(x)=ex−a≥0恒成立，则h(x)在(−∞,+∞)上单调递增；
当a>0时，则h(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)单调递增．
②由a=1，且k−xx+1h′(x)<1，可得k设H(x)=x+1ex−1+x，则H′(x)=−xex−1(ex−1)2+1=ex(ex−x−2)(ex−1)2，
设G(x)=ex−x−2，x>0，则G′(x)=ex−1>0成立，
所以G(x)=ex−x−2在(0,+∞)上单调递增，且G(1)<0，G(2)>0，
则G(x)在(0,+∞)上存在唯一x0∈(1,2)，使G(x0)=0，
当x∈(0,x0)时，H′(x)<0；当x∈(x0,+∞)时，H′(x)>0，
故H(x)≥Hmin(x0)=x0+1ex0−1+x0，且G(x0)=ex0−x0−2=0，
所以ex0=x0+2，Hmin(x0)=x0+1ex0−1+x0=x0+1x0+2−1+x0=x0+1∈(2,3)．
所以k【解析】(Ⅰ)对f(x)求导，求出切线的斜率k=f′(1)，再求出切线方程；
(Ⅱ)①求出h(x)的解析式，对h(x)求导，再分a≤0和a>0两种情况判断h(x)的单调性即可；
②根据条件，可得k本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，利用导数研究函数的切线方程，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．