2023-2024学年天津市红桥区高三（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年天津市红桥区高三（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知全集U={1,2,3,4}，集合A={1,2}，B={2,3}，则A∩(∁UB)=( )
A. {1}B. {1,2}C. {1,2,4}D. ⌀
2.设a、b∈R，则a>b是a2>b2的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不是充分条件，也不是必要条件
3.已知函数f(x)=2|x|ex−e−x，则函数f(x)的图象的可能是( )
A. B.
C. D.
4.设a=lg2π，b=lg 12π，c=π−2，则( )
A. a>b>cB. b>a>cC. a>c>bD. c>b>a
5.已知数列{an}的通项公式为an=2n+2，从该数列中抽取出一个以原次序组成的首项为4，公比为2的等比数列ak1，ak2，…，akm，…其中k1=1，则数列{kn}的通项公式为( )
A. kn=2n−1B. kn=2n+1C. kn=2n−2D. kn=2n−1
6.下列命题中
①散点图可以直观的判断两个变量是否具有线性相关关系；
②回归直线就是数点图中经过样本数据点最多的那条直线；
③回归分析和验立性检验没有什么区别；
④回归直线一定经过样本中心点．
其中正确的命题个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.分别以正方体各个面的中心为顶点的正八面体的外接球与内切球的表面积之比为( )
A. 4B. 3C. 2D. 3
8.已知圆C：x2+y2−6x+5=0与中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线D的一条渐近线相切，则双曲线D的离心率为( )
A. 3 55B. 3C. 3或 62D. 3 55或32
9.已知函数f(x)=x2,0≤xA. (0,2)B. (2,+∞)C. (2,4)D. (4,+∞)
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.2+4i1−2i= ______ ．
11.已知二项式(x2−3x)6，则其展开式中x3的系数为______．
12.已知A(x1,y1)，B(x2,y2)是抛物线C：x2=8y上的两点，且直线AB经过C的焦点，若y1+y2=12，则|AB|= ______ ．
13.移动支付在中国大规模推广五年之后，成功在10亿移动互联网用户中获得了九成的渗透率，这大约是中国自宽带和手机之后，普及率最高的一项产品，甚至，移动支付被视为新时代中国的四大发明之一.近日在一家大型超市进行了顾客使用移动支付情况的调查.调查人员从年龄在20岁到60岁的顾客中随机抽取了200人，得到如下数据：
从这200人中随机依次抽取2人，已知第1次抽到的人使用移动支付的条件下，第2次抽到的人不使用移动支付的概率为______ ；在随机抽取的200人中对使用移动支付的人群采用分层抽样的方式抽取25人做进一步的问卷调查，再从这25人中随机选出3人颁发参与奖，则这3人中恰有1人的年龄在[40,50)之间的概率是______ ．
14.已知函数f(x)=acsωx+bsinωx(a>0)在x=π6处取得最大值2，f(x)的最小正周期为π，则ω= ______ ；f(x)在[0,π2]上的单调递减区间是______ ．
15.已知a=(1−m,2)，b=(n,1)，m>0，n>0，若存在非零实数λ，使得a=λb，则1m+2n的最小值为______ ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a2+c2−b2=ac，a=3，csA=53．
(1)求B的值;
(2)求b的值;
(3)求sin(2A−B)的值．
17.(本小题12分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AC=3，AB=4，BC=5，点D是线段BC的中点．
(1)求证：AB⊥A1C；
(2)求D点到平面A1B1C的距离．
18.(本小题12分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1+a2+3a4=25，且a3+2，a4，a5−2成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=an⋅ 3an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，离心率为 32，R为椭圆C上任意一点，R不在x轴上，△RF1F2的面积的最大值为 3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P(1,−1)的直线l与椭圆C相交于M，N两点，设点B(0,1)，求证：直线BM，BN的斜率之和kBM+kBN为定值，并求出定值．
20.(本小题12分)
设函数f(x)=lnx−12ax2−bx
(Ⅰ)当a=b=12时，求函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)令F(x)=f(x)+12ax2+bx+ax(0(Ⅲ)当a=0，b=−1时，方程f(x)=mx在区间[1,e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∁UB={1,4}；
∴A∩(∁UB)={1}．
故选：A．
进行补集、交集的运算即可．
考查列举法的定义，以及交集、补集的运算．
2.【答案】D
【解析】解：若a>b，取a=2，b=−3，推不出a2>b2，若a2>b2，比如(−3)2.>22，推不出a>b．
所以a>b是a2>b2的既不充分也不不要条件．
故选D
本题考查的判断充要条件的方法，可根据充要条件的定义进行判断．
在本题解决中用到了不等式的基本性质，及举特例的方法．属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：根据题意，函数f(x)=2|x|ex−e−x，
有f(1)=2e−1e>0，f(−1)=21e−e<0，排除B、C、D．
故选：A．
根据题意，由函数的解析式判断f(1)、f(−1)的符号，分析选项可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数值符号的判断，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
根据对数函数和幂函数的性质求出，a，b，c的取值范围，即可得到结论．
本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础．
【解答】
解：∵lg2π>1，lg 12π<0，0<π−2<1，
即a>1，b<0，0∴a>c>b，
故选：C．
5.【答案】A
【解析】解：由akn是首项为4，公比为2的等比数列，
故akn=4⋅2n−1=2n+1，
又an=2n+2，
故akn=2n+1=2kn+2，即kn=2n+1−22=2n−1．
故选：A．
将akn计算出后，结合an=2n+2，有akn=2kn+2，计算即可得．
本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：对于①，散点图可以直观的判断两个变量是否具有线性相关关系，故①正确；
对于②，回归直线也可能不过任何一个点，故②错误；
对于③，回归分析和验立性检验都是对收集的数据进行分析，但是两者还是有区别的，独立性检验是“粗线条的”，它只能回答是否有关，而回归分析是“细微”的，它不仅回答是否有关，更重要的是它可以告诉你有关的程度，甚至通过一个值就可以预测另一个值，故③错误；
对于④，回归直线一定经过样本中心点，故④正确，
所以正确的命题有2个．
故选：B．
根据散点图的定义可判断①，根据回归直线的性质可判断②④，根据回归分析和验立性检验的区别可判断③．
本题主要考查了回归直线的性质，考查了回归分析和验立性检验的区别，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：如图所示，
不妨设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2 2，各个面的中心分别是I，J，K，L，M，N，
正方体ABCD−A1B1C1D1的中心为O，
分别以正方体各个面的中心为顶点的正八面体为IJKLMN，是由正四棱锥N−JKLM和I−JKLM组成，
∵NI=2 2，∴外接球半径R= 2，内切球半径r等于O到面KLN的距离，
如图，连接AB1，AD1，B1D1，∴KN是△D1AB1的中位线，
由正方体的棱长为2 2，∴OL=OK= 2，AB1=4，则KN=12AB1=2，
同理KN=KL=LN=2，
在三棱锥O−KLN中VN−OKL=VO−KLN，
由等体积法知：13×12× 2× 2× 2=13×12×2×2× 32×r，
解得：r= 63，
∴外接球与内切球的表面积之比为R2r2=3．
故选：B．
由题意知，外接球与内切球的表面积之比等于半径的平方之比，所以需要求外接球与内切球的半径，外接球的半径为正方体棱长的一半，运用等体积法可求内切球半径，然后求表面积之比即可．
本题考查多面体的外接球与内切球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
8.【答案】D
【解析】解：因为C：x2+y2−6x+5=0可化为(x−3)2+y2=4，
则圆C的圆心为(3,0)，半径为2，
当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为x2a2−y2b2=1，则其渐近线方程为bx±ay=0，
由题意得3b b2+a2=2，即5b2=4a2，所以b2a2=45，
所以e=ca= 1+b2a2= 1+45=3 55，
当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为x2b2−y2a2=1，则其渐近线方程为ax±by=0，
由题意得3a b2+a2=2，即5a2=4b2，所以b2a2=54，
则e=ca= 1+b2a2= 1+54=32．
故选：D．
分双曲线的焦点在x轴上和y轴上，由圆心到渐近线的距离等于半径列式求解即可．
本题主要考查双曲线的性质，考查计算能力，属于中档题．
9.【答案】C
【解析】解：因为22=22，42=24，所以y=x2，y=2x函数图象如图，
当0可知不存在实数b，使得方程f(x)−b=0有两个不同的解．
同理当a≥4也不满足．
当2可知存在实数b，使得方程f(x)−b=0有两个不同的解．
综上，要使方程f(x)−b=0有两个不同的解，需2故选：C．
结合y=x2，y=2x函数图象分析得解．
本题考查了指数函数、二次函数的性质，考查了数形结合思想及分类讨论思想，属于中档题．
10.【答案】−65+85i
【解析】解：2+4i1−2i=(2+4i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−65+85i．
故答案为：−65+85i．
根据已知条件，结合复数的四则运算，由即求解．
本题主要考查复数的运算，属于基础题．
11.【答案】−540
【解析】解：(x2−3x)6的展开式的通项公式为：
Tr+1=C6r×(x2)6−r×(−3x)r=(−3)r×C6r×x12−3r，
令12−3r=3，解得r=3，
所以二项式(x2−3x)6展开式中x3的系数为(−3)3×C63=(−27)×20=−540．
故答案为：−540．
利用二项展开式的通项公式即可求解．
本题主要考查二项展开式的通项公式，属于基础题．
12.【答案】16
【解析】解：根据题意及抛物线的几何性质可得：
|AB|=p2+y1+p2+y2=p+y1+y2=4+12=16．
故答案为：16．
根据抛物线的焦点弦长公式即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，属基础题．
13.【答案】75199 1946
【解析】解：设事件A表示“第一次抽到的人使用移动支付”，事件B表示“第2次取到的人不使用移动支付”，
则第1次抽到的人使用移动支付的条件下，第2次抽到的人不使用移动支付的概率为：
P(B|A)=n(AB)n(A)=125×75125×199=75199．
在随机抽取的200人中对使用移动支付的人群采用分层抽样的方式抽取25人做进一步的问卷调查，
则在年龄段[40,50)中抽取的人数为25125×25=5人，
再从这25人中随机选出3人颁发参与奖，
则这3人中恰有1人的年龄在[40,50)之间的概率是：
P=C51C202C253=1946．
故答案为：75199；1946．
根据条件概率的计算公式能求出第1次抽到的人使用移动支付的条件下，第2次抽到的人不使用移动支付的概率；利用古典概型、排列组合能求出这3人中恰有1人的年龄在[40,50)之间的概率．
本题考查古典概型、排列组合、分层抽样、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】2 [π6,π2]
【解析】解：因为f(x)的最小正周期为π，
所以ω=2，f(x)=acs2x+bsin2x，
因为函数在x=π6处取得最大值2，
所以 32b+12a= a2+b2=2，
解得，b= 3，a=1，
所以f(x)=cs2x+ 3sin2x=2sin(2x+π6)，
令π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ，k∈Z，
则π6+kπ≤x≤2π3+kπ，
故函数在[0,π2]上的单调递减区间为[π6,π2].
故答案为：2；[π6,π2].
先由周期求出ω，由已知结合辅助角公式及正弦函数的性质可求出a，b，再由正弦函数单调性即可求解．
本题主要考查了辅助角的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于基础题．
15.【答案】9
【解析】解：要使a=λb，而a=(1−m,2)，b=(n,1)，
所以1×(1−m)=2×n，即m+2n=1，
因为m>0，n>0，则1m+2n=(1m+2n)(m+2n)=1+4+2nm+2mn≥5+2 2nm⋅2mn=9，
当且仅当2nm=2mn，即m=n=13时等号成立．
所以1m+2n的最小值为9．
故答案为：9．
由向量的关系，可得m，n的关系，由“1”的活用及基本不等式的性质，可得则1m+2n的最小值．
本题考查向量的共线的性质的应用，“1”的活用及基本不等式的性质的应用，属于基础题．
16.【答案】解：(1)因为 a2+c2−b2=ac ，
由余弦定理可得 b2=a2+c2−2accsB ，
可得 csB=12 ，因为B∈(0,π)
所以 B=π3 ．
(2)由 csA=53 ，且A∈(0,π)，则 sinA=1−532=23 ，
由(1)知 B=π3 ，又因为 a=3 ，
正弦定理得： bsin B=asin A ，
则 b=94 ．
(3)因为 sin2A=2sinAcsA=459 ， cs2A=2cs2A−1=19 ，
所以 sin(2A−B)=sin2A−π3=12sin2A−32cs2A=45−318 ．

【解析】本题考查利用余弦定理和正弦定理解三角形，三角恒等变换的综合应用，以及由一个三角函数值求其他三角函数值，属于中档题．
(1)根据余弦定理求解;
(2)根据同角三角函数关系求出 sinA ，再用正弦定理求解;
(3)根据(1)(2)中所求数值，求出 sin2A 和 cs2A ，再利用两角差的正弦公式求解．
17.【答案】解：(1)证明：因为在△ABC中，AC=3，AB=4，BC=5，
所以AB⊥AC，
在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AB⊂面ABC，
所以AA1⊥AB，
又AA1∩AC=A，AC⊂面ACC1A1，AA1⊂面ACC1A1，
所以AB⊥面ACC1A1，A1C⊂面ACC1A1，
所以AB⊥A1C.
(2)由(1)知，AA1⊥面ABC，AB⊂面ABC，AC⊂面ABC，
所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，
又AB⊥AC，
如图建立空间直角坐标系A−xyz：

则D(32,2,0,)，A1(0,0,3)，B1(0,4,3)，C(3,0,0)，A1C=(3,0,−3)，A1B1=(0,4,0)，
设平面A1B1C的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅A1C=3x−3z=0n⋅A1B1=4y=0，
解得x=z，y=0，
令z=1，则x=1，y=0，
所以n=(1,0,1)，
又CD=(−32,2,0)，
设点D到平面A1B1C的距离为d，则d=|CD⋅n||n|=32 2=34 2．
【解析】(1)由勾股定理可得AB⊥AC，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥AB，由线面垂直的判定定理可得AB⊥平面ACC1A1，进而可得答案．
(2)建立空间直角坐标系A−xyz，求出平面A1B1C的一个法向量为n=(x,y,z)，则点D到平面A1B1C的距离为d，则d=|CD⋅n||n|，即可得出答案．
本题考查直线与平面的位置关系，点到平面的距离，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题意，n∈N∗
在等差数列{an}中，设公差为d，
由a1+a2+3a4=25，得5a1+10d=25，则a1+2d=a3=5，
又a3+2，a4，a5−2成等比数列，
∴7，5+d，3+2d成等比数列，得(5+d)2=7(3+2d)，即(d−2)2=0，得d=2，
∴an=a3+(n−3)d=2n−1，n∈N∗，
∴数列{an}的通项公式为：an=2n−1(n∈N∗)．
(2)由题意及(1)得，n∈N∗，
在数列{an}中，an=2n−1，
在数列{bn}中，bn=an⋅ 3an+1，
∴bn=(2n−1)⋅ 32n=(2n−1)⋅3n，
∴Tn=1×31+3×32+5×33+⋯+(2n−1)×3n，3Tn=1×32+3×33+⋯+(2n−3)×3n+(2n−1)×3n+1，
两式相减得−2Tn=3+2(32+33+⋯+3n)−(2n−1)⋅3n+1=3+2⋅9(1−3n−1)1−3−(2n−1)⋅3n+1=−6+(2−2n)⋅3n+1，
∴Tn=3+(n−1)⋅3n+1(n∈N∗)．
【解析】(1)设出公差，通过等差和等比关系求出a3和公差d，即可得到数列{an}的通项公式；
(2)表达出数列{bn}的通项公式，得到数列{bn}的前n项和Tn的表达式，利用错位相减法即可得出数列{bn}的前n项和．
本题主要考查了数列和与项的递推关系及等差数列通项公式，还考查了错位相减求和方法的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为椭圆的离心率为 32，所以ca= 32，
设R到F1F2的距离为d，因为|F1F2|=2c，
所以S△RF1F2=12|F1F2|d=cd，易得当d=b时△RF1F2面积取得最大值，
所以bc= 3，因为b2=a2−c2，
所以a2=4，b2=1，所以椭圆C的方程为x24+y2=1；
(2)证明：如图，易知点P在椭圆外，

设直线l的方程为x=my+m+1，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
由x24+y2=1x=my+m+1得(m2+4)y2+(2m2+2m)y+m2+2m−3=0，
所以Δ>0，y1+y2=−2m2+2mm2+4，y1y2=m2+2m−3m2+4，
因为B(0,1)，所以kBM=y1−1x1，kBN=y2−1x2
所以kBM+kBN=y1−1x1+y2−1x2=x2(y1−1)+x1(y2−1)x1x2，
所以 kBM+kBN=(my2+m+1)(y1−1)+(my1+m+1)(y2−1)(my1+m+1)(my2+m+1)
=2my1y2+y1+y2−2m−2m2y1y2+(m2+m)(y1+y2)+m2+2m+1，
所以kBM+kBN=2m(m+3)(m−1)m2+4−2m2+2mm2+4−2m−2m2(m+3)(m−1)m2+4−2m(m+1)(m2+m)m2+4+m2+2m+1=2(−8m−4)8m+4=−2．
【解析】(1)根据题意列出方程求出a，b的值，即可求解椭圆方程；
(2)设出l直线方程，联立椭圆方程，列出表达式利用韦达定理计算即可．
本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．
20.【答案】解：(Ⅰ)依题意，知f(x)的定义域为(0,+∞).(1分)
当a=b=12时，f(x)=lnx−14x2−12x，
f′(x)=1x−12x−12=−(x+2)(x−1)2x.(2分)
令f′(x)=0，解得x=1．
当00，此时f(x)单调递增；
当x>1时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减．(3分)
所以函数f(x)的单调增区间(0,1)，函数f(x)的单调减区间(1,+∞).(4分)
(Ⅱ)F(x)=lnx+ax，x∈(0,3]，
所以k=F′(x0)=x0−ax02≤12，在x0∈(0,3]上恒成立，(6分)
所以a≥(−12x02+x0)max，x0∈(0,3](7分)
当x0=1时，−12x02+x0取得最大值12.所以a≥12.(9分)
(Ⅲ)当a=0，b=−1时，f(x)=lnx+x，
因为方程f(x)=mx在区间[1,e2]内有唯一实数解，
所以lnx+x=mx有唯一实数解．
∴m=1+lnxx，
设g(x)=1+lnxx，则g′(x)=1−lnxx2．
令g′(x)>0，得0g′(x)<0，得x>e，
∴g(x)在区间[1,e]上是增函数，在区间[e,e2]上是减函数，
g(1)=1，g(e2)=1+lne2e2=1+2e2，g(e)=1+1e，
所以m=1+1e，或1≤m<1+2e2．
【解析】(I)先求导数fˊ(x)然后在函数的定义域内解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0，fˊ(x)>0的区间为单调增区间，fˊ(x)<0的区间为单调减区间．
(II)先构造函数F(x)再由以其图象上任意一点P(x0,y0)为切点的切线的斜率k≤12恒成立，知导函数≤12恒成立，再转化为所以a≥(−12,x02+x0)max求解．
(III)先把程f(x)=mx有唯一实数解，转化为m=1+lnxx有唯一实数解，再利用单调函数求解．
本题主要考查函数的单调性、极值、不等式、方程的解等基本知识，同时考查运用导数研究函数性质的方法，分类与整合及化归与转化等数学思想．年龄段人数类型
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60]
使用移动支付
45
40
25
15
不使用移动支付
0
10
20
45