天津市红桥区2024-2025学年高一上册期中联考数学检测试题（含解析）

这是一份天津市红桥区2024-2025学年高一上册期中联考数学检测试题（含解析），共18页。试卷主要包含了 已知，则p是q， 函数，若，则实数a的值为， 函数的值域为等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.
3.本卷共9小题，每小题4分，共36分.
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知，，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知，则p是q（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
6. 如果在区间上为减函数，则取值范围（ ）
A. B. C. D.
7. 函数，若，则实数a的值为（ ）
A. ±1B. -2或±1C. -1D. -2或-1
8. 函数的值域为（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知函数，是定义在R上的函数，且是奇函数，是偶函数，，若对于任意，都有gx1−gx2x1−x2>−2.则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共64分）
注意事项：
1.用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效.
2.本卷共11题，共64分.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
10. 已知，若幂函数为偶函数，且在上单调递减，则α的取值集合是_____________.
11. 若函数偶函数，则_______
12. __________.
13. 若，则的最大值为______．
14. 使得有意义的的集合为________.
15. 已知函数，若对于定义域内任意一个自变量x都有，则a的最大值为________.
三、解答题（本大题共5小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 计算下列各式：
（1）；
（2）.
17. 解下列不等式：
（1）
（2）
18. 已知函数．
（1）求的值；
（2）写出函数的单调递减区间．
19. 已知定义在上的函数为偶函数，且．
（1）求的解析式；
（2）判断并用单调性定义证明在的单调性．
20. 已知，；
（1）解关于x不等式；
（2）若任意的恒成立，试求实数a的取值范围
天津市红桥区2024-2025学年高一上学期期中联考数学检测试题
温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分.考试时间100分钟.祝同学们考试顺利！
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.
3.本卷共9小题，每小题4分，共36分.
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解.
【详解】因为，所以，
则，
故选：D
2. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题进行判断.
【详解】因为“”的否定是“”.
故选：C
3. 已知，，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】利用不等式的性质一一判定即可.
【详解】对于A，若，则，即A错误；
对于B，由，结合糖水不等式可知，
或作差法证，即，即B正确；
对于C、D，取，则满足，，
但，，即C、D错误；
故选：B
4. 已知，则p是q的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.
【详解】因为当时，成立，而当时，不一定成立，
所以p是q的充分不必要条件.
故选：B
5. 已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【正确答案】B
【分析】利用基本不等式计算即可.
【详解】易知，则
，
当且仅当，即时取得等号.
故选：B
6. 如果在区间上为减函数，则的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】
当=时，=，符合题意.当时，由题意可得，求得的范围.综合可得的取值范围.
【详解】当时，，满足在区间上为减函数；
当时，由于的对称轴为，且函数在区间上为减函数，
则，解得.
综上可得，.
故选：B
要研究二次型函数单调区间有关问题，首先要注意二次项系数是否为零.当二次项系数不为零时，利用二次函数的对称轴来研究单调区间.
7. 函数，若，则实数a的值为（ ）
A. ±1B. -2或±1C. -1D. -2或-1
【正确答案】C
【分析】根据分段函数解析式，分段求解，即可得答案.
【详解】当时，令 ，与矛盾，不合题意；
当时，令 ，取 ，符合题意，
故选：C
8. 函数的值域为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】由分段函数解析式，利用换元法可求得时函数的值域为，再由基本不等式可求得当时，函数的值域为，即可得出结论.
【详解】根据题意当时，，
令，可得，所以，因此可得；
由二次函数性质可得当，即时，取得最大值，
此时值域为；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立；
此时的最小值为5，因此的值域为；
综上可得，函数的值域为.
故选：A
关键点点睛：本题关键在于利用分段函数的解析式，由各段的函数性质利用换元法和基本不等式即可求得函数值域.
9. 已知函数，是定义在R上的函数，且是奇函数，是偶函数，，若对于任意，都有gx1−gx2x1−x2>−2.则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】依题意，可得，构造，则原条件等价于在上单调递增，再分类讨论，可得答案．
【详解】是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数，且，①
，②
①②得：，
，
又对于任意，都有，即对于任意，，
令，则在上单调递增，
当时，在上单调递增，满足题意；
当时，是二次函数，其对称轴方程为，
在上单调递增，所以或，
解得或，
综上，，
即的取值范围为,．
故选：B
第Ⅱ卷（非选择题 共64分）
注意事项：
1.用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效.
2.本卷共11题，共64分.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
10. 已知，若幂函数为偶函数，且在上单调递减，则α的取值集合是_____________.
【正确答案】
【分析】首先由幂函数为单调递减函数，确定为负数，再分别代入的取值，判断函数是否为偶函数，即可确定的取值.
【详解】因为幂函数在0,+∞上单调递减，所以，
当时，，定义域为，
又，故为偶函数，满足要求，
当时，，定义域为，又，
故为奇函数，舍去；
当时，，定义域为0,+∞，故不为偶函数，舍去.
故
11. 若函数为偶函数，则_______
【正确答案】1
【分析】根据偶函数的定义，可得一次项系数为0，从而可得结论．
【详解】解：函数
函数为偶函数，
本题考查偶函数的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．
12. __________.
【正确答案】1
【分析】由根式的运算性质求解即可.
【详解】.
故1
13. 若，则的最大值为______．
【正确答案】##0.0625
【详解】因为所以，当且仅当时等号成立，
因，则，故有，
所以，即最大值为.
故答案为:．
14. 使得有意义的的集合为________.
【正确答案】或.
【分析】由根式与分式均有意义建立不等式组求解可得.
【详解】要使式子有意义，则有，
解得，或.
故使得式子有意义的的集合为或.
故或..
15. 已知函数，若对于定义域内任意一个自变量x都有，则a最大值为________.
【正确答案】##0.5
【分析】由已知对的取值进行分类讨论，结合的取值范围求出函数的定义域，结合函数性质分别进行求解即可．
【详解】若，则恒成立，符合题意；
若，①当，即时，，
定义域为，此时显然成立，符合题意；
②当，即时，定义域为,，
则，此时恒成立，符合题意；
③当，即时，定义域为且，
则取，则，
令，当时，，可以取得负值，不符合题意；
若，则函数定义域为且，
令，则，
当且时，，可以取得负值，不符合题意，
综上，，即的最大值为．
故
关键点点睛：对与的关系进行讨论，在时，取，则，时，取，则，利用无限逼近的思想求解.
三、解答题（本大题共5小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 计算下列各式：
（1）；
（2）.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用根式与分数指数幂的互化可化简所求代数式；
（2）利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值.
【小问1详解】
解：原式.
【小问2详解】
解：原式.
17. 解下列不等式：
（1）
（2）
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）直接解二次不等式得到答案.
（2）直接解分式不等式得到答案.
【小问1详解】
，即，
故，
解得.
【小问2详解】
，则，
即，，
解得.
18. 已知函数．
（1）求的值；
（2）写出函数的单调递减区间．
【正确答案】（1）
（2），
【分析】（1）根据分段函数解析式，直接代入相应的表达式进行计算即可．
（2）分，情况讨论，并根据所得解析式直接判断即可．
【小问1详解】
因为，
所以，所以．
【小问2详解】
因为，
当时，，
所以单调递减区间为：;
当时，，
此时为二次函数，开口向下，对称轴为，
所以单调递减区间为：1,2；
因此函数单调递减区间为：，1,2．
19. 已知定义在上的函数为偶函数，且．
（1）求的解析式；
（2）判断并用单调性定义证明在的单调性．
【正确答案】（1）
（2）在单调递减，证明见解析
【分析】（1）利用偶函数的定义和即可求解；
（2）在单调递减，利用函数单调性定义，设，作差，整理变形即可证明.
【小问1详解】
由题意，，∴，∴a＝0，
∵，∴b＝1，∴．
【小问2详解】
在单调递减，证明如下
设，，
∵，∴，，，，
∴，即，∴单调递减．
20. 已知，；
（1）解关于x的不等式；
（2）若任意的恒成立，试求实数a的取值范围.
【正确答案】（1）答案见解析
（2）
【分析】（1）根据条件得到，利用一元二次不等式的解法，对分类讨论即可求解；
（2）原不等式等价于对任意实数恒成立，当时，不等式恒成立；当时，分与两种情况讨论，当时，分和两种情况讨论即可求解.
【小问1详解】
，则，即，
令，解得或，
当时，即时，原不等式的解集为，
当时，即时，原不等式的解集为，
当时，即时，原不等式的解集为.
【小问2详解】
由题知对任意实数恒成立，
当时，由得，满足题意；
当时，当时，不等式成立，
当时，可变形为，
即在上恒成立，
当时，，
当时，即在上恒成立，
所以，解得，
所以满足题意；
当时，当时，不等式成立，
当时，令，，
当，即，，显然不满足题意；
当时，由，得，
即，显然在上不恒成立，
当时，由，得，
即，即在上恒成立，
所以，解得；
所以实数的取值范围为.
方法点睛：一元二次含参不等式的解法（二次项系数不含参数）：
（1）利用十字相乘法等因式分解，不能因式分解则利用求根公式求根；
（2）比较两根的大小，由于根含参数，则需分类讨论，先让两根相等，找分界点，分成：①小于分界点；②等于分界点；③大于分界点来讨论即可