数学必修 第二册6.2 平面向量的运算测试题

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本节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）
第六章 平面向量及其应用
6.2向量的运算
学习目标：
1.理解相反向量的含义，借助相反向量理解向量减法运算的几何意义，培养直观想象的核心素养；
2.掌握平面向量减法运算及运算规则，提升数学抽象的核心素养；
3.能运用向量的加法和减法运算解决相关问题，提升数学运算的核心素养；
学习重难点：
重点：理解并掌握向量减法的三角形法则
难点：向量减法的几何意义及运算律
自主预习：
本节所处教材的第 页.
复习——
向量的概念：
向量的加法：
预习——
相反向量：
向量的减法：
新课导学
学习探究
（一）新知导入
我们知道，数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”．我们能否类似地定义向量的减法呢？
【想一想】1、类比实数X的相反数-X，对于向量a，你能定义“相反向量”-a吗？它有哪些性质？
你认为向量的减法该怎样定义？
（二）向量的减法运算
1.相反向量：
与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
性质：①a和－a互为相反向量，a。
②零向量的相反向量仍是零向量。
③由两个向量的和的定义可知：a＋(－a)＝(－a)+a =0，即任意向量与其相反向量的和是零向量。
④若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0。
2.向量的减法
(1)定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)。
求两个向量差的运算叫做向量的减法.
向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量.
【探究】利用平行四边形法则求a＋b，那么你能结合相反向量的概念，求作出a＋(－b)吗？
(2)几何意义：在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则向量a－b＝eq \(BA,\s\up6(→)).
如图所示
a－b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
记忆口诀：作平移，共起点，两尾连，指被减。
【思考1】若a，b是不共线的向量，则|a＋b|与|a－b|的几何意义是什么？
【思考2】||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，等号何时成立？
（三）典型例题
1.向量减法法则的应用
例1.(1)在△ABC中，eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(CA,\s\up6(→))＝b，则eq \(AB,\s\up6(→))等于( )
A．a＋b B．－a＋(－b) C．a－b D．b－a
(2)如图所示，O为△ABC内一点，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，
求作向量b＋c－a.
【类题通法】求作两个向量的差向量的两种思路
(1)用向量减法的三角形法则作两向量的差的步骤
此步骤可以简记为“作平移，共起点，两尾连，指被减”．
(2)利用相反向量作两向量差的方法
作向量a－b时，先作向量eq \(OA,\s\up6(→))＝a，再作eq \(AB,\s\up6(→))＝－b，则向量eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋(－b)＝a－b.
【巩固练习1】如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
2.向量的加减法运算
例2.(1)向量eq \(MN,\s\up6(→))可以写成：①eq \(MO,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))；②eq \(MO,\s\up6(→))－eq \(ON,\s\up6(→))；③eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(ON,\s\up6(→))；④eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→)).
其中正确的是________(填序号).
(2)化简：①eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))；
②(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→)))－(eq \(DC,\s\up6(→))－eq \(DO,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))).
【类题通法】1.向量减法运算的常用方法
2.向量加减法化简的两种形式
(1)首尾相连且为和；(2)起点相同且为差.
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用.
【巩固练习2】化简下列式子：
(1)eq \(NQ,\s\up6(→))－eq \(PQ,\s\up6(→))－eq \(NM,\s\up6(→))－eq \(MP,\s\up6(→))；
(2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→)))－(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→))).
3.向量加减法的应用
例3.如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AE,\s\up6(→))＝c，试用向量a，b，c表示向量eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→)).
【变式探究1】本例条件不变，试用向量a，b，c表示eq \(BE,\s\up6(→))与eq \(CE,\s\up6(→)).
【变式探究2】 本例中的条件“点B是平行四边形ACDE外一点”若换为“点B是平行四边形ACDE内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？
【类题通法】用向量表示其他向量的方法
(1)解决此类问题要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则.
(2)表示向量时要考虑以下问题：它是某个平行四边形的对角线吗？是否可以找到由起点到终点的恰当途径？它的起点和终点是否是两个有共同起点的向量的终点？
(3)必要时可以直接用向量求和的多边形法则.
【巩固练习3】如图所示，解答下列各题：
(1)用a，d，e表示eq \(DB,\s\up6(→))； (2)用b，c表示eq \(DB,\s\up6(→))；
(3)用a，b，e表示eq \(EC,\s\up6(→))； (4)用c，d表示eq \(EC,\s\up6(→)).
（四）操作演练 素养提升
1.化简eq \(PM,\s\up6(→))－eq \(PN,\s\up6(→))＋eq \(MN,\s\up6(→))所得的结果是( )
A.eq \(MP,\s\up6(→)) B.eq \(NP,\s\up6(→)) C.0 D.eq \(MN,\s\up6(→))
2.在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，若|eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→))|，则四边形ABCD是( )
A．菱形 B．矩形 C．正方形D．不确定
3.eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(CO,\s\up6(→))＝________.
4.若菱形ABCD的边长为2，则|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))|的长度为______.
课堂小结
通过这节课，你学到了什么知识？


在解决问题时，用到了哪些数学思想？



学习评价
【自我评价】 你完成本节导学案的情况为（ ）
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差
【导学案评价】 本节导学案难度如何（ ）
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差
【建议】 你对本节导学案的建议：

课后作业
完成教材：第12页 练习 第1，2，3题
第22 页 习题6.2 第4,7题