人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示课时练习

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\l "_Tc187247853" 2题型二：用基底表示向量 PAGEREF _Tc187247853 \h 3
\l "_Tc187247854" 3题型三：平面向量的坐标表示 PAGEREF _Tc187247854 \h 6
\l "_Tc187247855" 4题型四：平面向量加、减运算的坐标表示 PAGEREF _Tc187247855 \h 8
\l "_Tc187247856" 5题型五：平面向量数乘运算的坐标表示 PAGEREF _Tc187247856 \h 9
\l "_Tc187247857" 6题型六：向量共线的判定 PAGEREF _Tc187247857 \h 10
\l "_Tc187247858" 7题型七：利用向量共线的坐标表示求参数 PAGEREF _Tc187247858 \h 12
\l "_Tc187247859" 8题型八：定比分点坐标公式及应用 PAGEREF _Tc187247859 \h 13
\l "_Tc187247860" 9题型九：数量积的坐标运算 PAGEREF _Tc187247860 \h 14
\l "_Tc187247861" 10题型十：平面向量的模 PAGEREF _Tc187247861 \h 16
\l "_Tc187247862" 11题型十一：平面向量的夹角、垂直问题 PAGEREF _Tc187247862 \h 18
\l "_Tc187247863" 12题型十二：平面向量数量积的综合应用 PAGEREF _Tc187247863 \h 21
题型一：平面向量基本定理的理解
1．（2024·高一课时练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底；
对于B：因为，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；
对于C：设，即，则，所以无解，所以此两个向量不共线，可以作为一组基底；
对于D：设，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；
故选：C.
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期末）设是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】C
【解析】对于A，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，A错误；
对于B，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，B错误；
对于C，，
和共线，不能作为一组基底，C正确；
对于D，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，D错误.
故选：C.
3．（2024·高一课时练习）设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A． 和 B．和
C． 和 D．和
【答案】B
【解析】是平面内所有向量的一组基底，所以不共线；
所以和不共线，和不共线，和不共线；
所以选项A,C,D都可以作为基底；
B中，，
所以和共线，不能作为基底．
故选：B
题型二：用基底表示向量
4．（2024·广东佛山·高一校考期末）如图，在中，，点是的中点．设，，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意在中，，点是的中点，
故
，
故选：A
5．（2024·山东泰安·高一泰安一中校考期末）如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则的值为（ ）

A．2B．3C．D．5
【答案】A
【解析】因为点是的中点，
所以，
又因为
所以，
因为三点共线，
所以，
所以.
故选：A
6．（2024·高一单元测试）在中，是边上一点，且，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】中，是边上一点，且，如图所示，
则，
所以的值为.
故选：D
7．（2024·重庆万州·高一万州外国语学校天子湖校区校考期末）如图，在中，，，和相交于点，则向量等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】过点分别作交于点，作交于点，
已知，，
，则和，
则：且，
即：且，所以，
则：，所以，
解得：，
同理，和，
则：且，
即：且，所以，
则：，即，
所以，即，
得：，
解得：，
四边形是平行四边形，
由向量加法法则，得，
所以.
故选：B.
题型三：平面向量的坐标表示
8．（2024·全国·高一课堂例题）如图，已知，，，，求向量，，，的坐标．

【解析】，，
，
．
9．（2024·福建泉州·高一统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，，E为DC上靠近D的三等分点，G为BC上靠近C的三等分点，且恰为3∶5，若以A为原点，AC为x轴，AD为y轴，，为基底．
(1)求坐标；
(2)求坐标．
【解析】（1）作交于，又，则，
∴，，
∴，,
∵，
∴，
∴，
∴坐标为.
（2）∵，
∴，
∴坐标为.
10．（2024·广东东莞·高一校考阶段练习）如图，斜坐标系中，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，且的夹角为60°，定义向量在斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中完成下列问题：
(1)若，，求；
(2)若，求.
【解析】（1）由题设，，
所以.
（2）由已知，则，
所以.
题型四：平面向量加、减运算的坐标表示
11．（2024·全国·高一随堂练习）已知向量，，，求，并用标准正交基表示.
【解析】因为向量，，，
所以，
所以根据向量坐标概念易知.
12．（2024·全国·高一随堂练习）已知，，求，，的坐标．
【解析】由题意，，
，
.
13．（2024·全国·高一随堂练习）已知，，求，的坐标．
【解析】因为，，则，
.
14．（2024·新疆阿克苏·高一校联考期末）（1）如图所示，已知向量，，，，求作向量，.

（2）已知向量、的坐标分别是、，求，的坐标.
【解析】（1）如图所示，图1为，图2为；
（2），.
题型五：平面向量数乘运算的坐标表示
15．（2024·江苏泰州·高一统考期末）如图，在4×4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量，，满足，则 ．

【答案】7
【解析】建立如图所示直角坐标系，设小方格的边长为单位长度1，
可得，同理可得，
，
将方程组中两式相加,可得.
故答案为：7.
16．（2024·陕西安康·高一校联考期末）已知，，，以、为基底将分解为的形式为 .
【答案】
【解析】由题意可得，
所以，
故答案为：
17．（2024·高一校考课时练习）已知，满足，其中，则=
【答案】
【解析】因为，满足，
所以，
所以，得，
故答案为：
题型六：向量共线的判定
18．（2024·甘肃甘南·高一校考期末）已知非零向其和不共线.
(1)如果，求证：三点共线；
(2)欲使向量与平行，试确定实数的值.
【解析】（1）证明：因为
可得，所以，且为非零向量，
所以与共线，所以三点共线.
（2）因为与平行，且两向量都为非零向量，
所以存在实数使得成立，即，
因为和不共线，所以，解得.
19．（2024·安徽宣城·高一校联考阶段练习）已知，，，且，.
（1）求点E，F的坐标；
（2）求证：.
【解析】（1）设点，
∵，即，
∴解得故．
设点，
∵，即，
∴解得故．
（2）证明：，，故，∴．
20．（2024·高一课时练习）如图所示，在平行四边形ABCD中，A(0，0)，B(3，1)，C(4，3)，D(1，2)，M，N分别为DC，AB的中点，求，的坐标，并判断，是否共线.
【解析】解 由已知可得，，
所以，，
由，所以和共线.
21．（2024·高一课时练习）已知直角坐标平面上四点，，，，求证四边形ABCD是等腰梯形.
【解析】证明：由已知得，，.
∵，所以与共线，
又，.且，
所以与不共线，
∴四边形ABCD是梯形.
∵，，∴，即
故四边形ABCD是等腰梯形.
22．（2024·广东清远·高一校联考期末）如图所示，已知的顶点，，．

(1)求顶点D的坐标；
(2)已知点，判断A，M，C三点的位置关系，并做出证明．
【解析】（1）由平行四边形可得：，又，，，，
所以，
∴D的坐标为；
（2）A，M，C三点共线；
因为，，，
所以，又有公共点，
所以A，M，C三点共线.
题型七：利用向量共线的坐标表示求参数
23．（2024·广东佛山·高一统考期末）在四边形中，若，则 .
【答案】
【解析】因为，，且，
所以，解得，
又因为为四边形，所以与反向共线，则，
故答案为：.
24．（2024·辽宁·高一辽宁实验中学校考阶段练习）已知向量，，若，则 .
【答案】
【解析】由可得，，
即，所以.
又，
所以，所以，，
所以，.
故答案为：.
25．（2024·高一课时练习）若，，三点不能构成三角形，则t= ．
【答案】
【解析】由三点不能构成三角形，即三点共线，且，，
所以且，则，可得.
故答案为：
题型八：定比分点坐标公式及应用
26．（2024·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考期末）已知两点，点在直线上，且满足，则点的坐标为 .
【答案】或/或；
【解析】若点在线段的反向延长线上，又因为，则有，设，则，所以，解得，即；
若点在线段上，又因为，则有设，则，所以，解得，即；
若点在线段的延长线上，又因为，则显然不成立；
故答案为:或.
27．（2024·高一课时练习）已知，，若点分所成的比为，则 ， .
【答案】
【解析】因为点分所成的比为，所以，因为，，，所以，，所以
所以解得
故答案为：；
28．（2024·高一课时练习）已知的三个顶点分别为，，，的中点为D，则的坐标为 ．
【答案】
【解析】由中点坐标公式求出点坐标，再根据平面向量的坐标运算，计算可得.，，由中点坐标公式得，
∴．
故答案为：
29．（2024·高一课时练习）已知数轴上的点，，，，则 .
【答案】
【解析】已知点，，则，又，所以在的两侧，且，所以.
故答案为：.
题型九：数量积的坐标运算
30．（2024·全国·模拟预测）已知、满足、，则在上的投影向量为 ．
【答案】
【解析】因为、，则，，
所以，在上的投影向量为
.
故答案为：.
31．（2024·贵州遵义·高一校联考阶段练习）已知向量，，，则 ．
【答案】
【解析】因为向量，，
则，
所以，，解得.
故答案为：.
32．（2024·上海普陀·高三曹杨二中校考期末）已知，，则在上的数量投影为 ．
【答案】
【解析】，，
则在上的数量投影为.
故答案为：.
33．（2024·上海浦东新·高三统考期末）已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为 ．
【答案】
【解析】由向量，，可得，可得，
所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为：.
34．（2024·黑龙江·高三统考期末）已知，为坐标原点，点（异于点）在直线上，则 .
【答案】
【解析】点（异于点）在直线上，可设，，
可得，，
则，且，
所以，
故答案为：.
35．（2024·辽宁朝阳·高三建平县实验中学校联考阶段练习）已知16个边长为1的小菱形的位置关系如图所示，且每个小菱形的最小内角为60°，图中的A，B，C，D四点均为菱形的顶点，则 .
【答案】
【解析】因为每个小菱形的最小内角为60°，所以每个小菱形都可以分为两个正三角形.
以该图形的对称轴为y轴，过点A作对称轴的垂线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，，
所以，，
所以.
故答案为：
题型十：平面向量的模
36．（2024·全国·高一专题练习）已知向量，满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以，则，
所以，
即．
故选：C．
37．（2024·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考阶段练习）已知向量，，则（ ）
A．3B．4C．D．
【答案】D
【解析】因为，，所以，
所以，
故选：D．
38．（2024·全国·高一假期作业）已知平面向量，满足，且，则（ ）
A．4B．5C．D．2
【答案】B
【解析】设，因为，，
所以，即①．
又因为，所以，
即，即②．
联立①②可得或，
所以或，所以.
故选：B
39．（2024·全国·高一专题练习）已知平面向量，，满足，，且．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则，可得，
所以.
故选:A
40．（2024·安徽滁州·高一统考期末）已知平面向量，，则（ ）
A．1B．2C．D．3
【答案】C
【解析】由题意可得：，
所以.
故选：C.
题型十一：平面向量的夹角、垂直问题
41．（2024·湖北鄂州·高一校联考期末）AOB中，，，，．若，．若，则与的夹角为 ；当与夹角最大时， ．
【答案】 /
【解析】当k＝2时，
，．
，
，
∴，
∴与夹角的余弦值，
∴．
如图所示：
分别延长OA，OB到C，D使．
，
故终点在CD上运动，
又．
即向量，
∴与夹角为∠AMO，
当OAM外接圆与CD相切时∠AMO最大（即M在P点时），
由，
，
，
，
，
易求，
∴，
∴.
故答案为：，
42．（2024·全国·高一专题练习）已知平面向量，，向量与的夹角为，则（ ）
A．2或B．3或C．2或0D．3或
【答案】A
【解析】因为，，
所以，，
所以，
，
又向量与的夹角为，
所以，
所以，
所以或，
故选：A.
43．（2024·全国·高一假期作业）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，
所以.
故选：C.
44．（2024·全国·高一随堂练习）已知向量，，若与的夹角的余弦值为，且，则可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】向量，，若与的夹角的余弦值为，
则有，解得，则有，
设，由，则有，解得，B选项符合.
故选：B
45．（2024·辽宁·高一校联考期末）已知向量，，若，则（ ）
A．0或2B．2C．0或D．
【答案】C
【解析】向量，，则
由，所以，得或．
故选：C.
46．（2024·全国·高一随堂练习）已知向量，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】法一：用坐标表示向量
由题意可知，，
由得，
，
整理得，，
所以．则A对；
法二：因为向量，
所以，
又，
所以，
所以.
故选：A．
47．（2024·河北邢台·高一河北南宫中学校考阶段练习）若，，，则（ ）
A．B．4C．D．2
【答案】C
【解析】因为，所以，解得.
故选：C
题型十二：平面向量数量积的综合应用
48．（2023上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）已知正方形的边长为2，点满足，则 ．
【答案】-1
【解析】建立坐标系如图，正方形的边长为2，
则，，，点满足，
所以，，，所以．
故答案为：
49．（2023山东泰安·高一新泰市第一中学校考阶段练习）在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为1，点M满足，则 ；若点P是线段上的动点（包括端点），则的最小值是 ．
【答案】 / /
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
则
，
，
设，则
，
，
当时，的最小值为
故答案为：；.
50．（2023安徽安庆·高一校考阶段练习）如图，是边长为4的正方形，若，且F为的中点，则 ．
【答案】5
【解析】以为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，.
则，，所以.
故答案为：5.
51．（2023贵州遵义·高一统考期末）等腰中，，，点在上，则的最大值为 .
【答案】/0.5
【解析】如图所示：点在直线上，故设，
，
的最大值为.
故答案为：