人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示课时练习

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示课时练习，共5页。试卷主要包含了故选B，已知向量a＝，b＝，则等内容，欢迎下载使用。
A级——基础过关练
1．(2023年武汉期中)已知向量a＝(1，1)，b＝(8，－6)，则|2a－b|的值为( )
A．12B．10
C．8D．6
【答案】B
【解析】∵a＝(1，1)，b＝(8，－6)，∴2a－b＝(－6，8)，∴|2a－b|＝ eq \r((－6)2＋82)＝10．故选B．
2．已知平面向量a＝(2，1)，b＝(2，4)，则向量a，b夹角的余弦值为( )
A． eq \f(3,5)B． eq \f(4,5)
C．－ eq \f(3,5)D．－ eq \f(4,5)
【答案】B
【解析】∵a＝(2，1)，b＝(2，4)，∴cs 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(8,\r(5)×\r(20))＝ eq \f(4,5)．故选B．
3．在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝ eq \r(3)，E是AB中点，点P在BC边上，若 eq \(DA,\s\up6(→))· eq \(DP,\s\up6(→))＝ eq \r(3)，则 eq \(DE,\s\up6(→))· eq \(DP,\s\up6(→))＝( )
A．2＋ eq \r(3)B．3＋ eq \r(3)
C．1＋ eq \r(3)D．3－ eq \r(3)
【答案】A
【解析】如图，建立平面直角坐标系．由已知可得，A(0，0)，B(2，0)，C(2， eq \r(3))，D(0， eq \r(3))，E(1，0)，设P(2，a)(0≤a≤ eq \r(3))，则 eq \(DA,\s\up6(→))＝(0，－ eq \r(3))， eq \(DP,\s\up6(→))＝(2，a－ eq \r(3))， eq \(DE,\s\up6(→))＝(1，－ eq \r(3))．
所以 eq \(DA,\s\up6(→))· eq \(DP,\s\up6(→))＝－ eq \r(3)(a－ eq \r(3))＝ eq \r(3)，解得a＝ eq \r(3)－1，所以 eq \(DP,\s\up6(→))＝(2，－1)．
所以 eq \(DE,\s\up6(→))· eq \(DP,\s\up6(→))＝1×2＋(－ eq \r(3))×(－1)＝2＋ eq \r(3)．故选A．
4．已知a＝(1，2)，b＝(－2，m)，若a∥b，则|2a＋3b|等于( )
A． eq \r(70)B．2 eq \r(5)
C．3 eq \r(5)D．4 eq \r(5)
【答案】D
【解析】已知a＝(1，2)，b＝(－2，m)，若a∥b，则 eq \f(－2,1)＝ eq \f(m,2)，解得m＝－4．∴2a＋3b＝(－4，4＋3m)＝(－4，－8)，|2a＋3b|＝ eq \r(16＋64)＝4 eq \r(5)．故选D．
5．已知O为坐标原点，向量 eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，2)， eq \(OB,\s\up6(→))＝(4，1)，在x轴上有一点P使得 eq \(AP,\s\up6(→))· eq \(BP,\s\up6(→))有最小值，则点P的坐标是( )
A．(－3，0)B．(2，0)
C．(3，0)D．(4，0)
【答案】C
【解析】设点P的坐标为(x，0)，则 eq \(AP,\s\up6(→))＝(x－2，－2)， eq \(BP,\s\up6(→))＝(x－4，－1)． eq \(AP,\s\up6(→))· eq \(BP,\s\up6(→))＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，所以当x＝3时， eq \(AP,\s\up6(→))· eq \(BP,\s\up6(→))有最小值1，此时点P的坐标为(3，0)．
6．(2023年商丘月考)已知向量a＝(－4，3)，b＝(2，－7)，则a·b＋|a|＝( )
A．29B．－29
C．24D．－24
【答案】D
【解析】向量a＝(－4，3)，b＝(2，－7)，∴a·b＋|a|＝(－4，3)·(2，－7)＋5＝－24．故选D．
7．(多选)(2023年韶关期中)已知向量a＝(1，x)，b＝(x，4)，则( )
A．当x＝2时，a∥bB．当x＝2时，a⊥b
C．当x＝0时，〈a，b〉＝ eq \f(π,2)D．当|a|＝2时，|b|＝3 eq \r(2)
【答案】AC
【解析】x＝2时，b＝2a，∴a∥b，A正确，B错误；x＝0时，a·b＝0，∴a⊥b，〈a，b〉＝ eq \f(π,2)，C正确；|a|＝2时，x2＋1＝4，x2＝3，∴|b|＝ eq \r(x2＋16)＝ eq \r(19)，D错误．故选AC．
8．已知向量a＝(－1，x)，b＝(x＋2，x)，若|a＋b|＝|a－b|，则x＝__________．
【答案】－1或2
【解析】已知向量a＝(－1，x)，b＝(x＋2，x)，因为|a＋b|＝|a－b|，两边平方得到a·b＝0．根据向量数量积的坐标运算公式得到x2－x－2＝0⇒x＝－1或2．
9．已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，若ka＋b与a－3b垂直，则k的值为__________．
【答案】19
【解析】ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)．因为ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0，即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0，解得k＝19．
10．在△ABC中， eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，3)， eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．
解：∵ eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，3)， eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，k)，
∴ eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1，k－3)．
若∠A＝90°，则 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝2×1＋3×k＝0，解得k＝－ eq \f(2,3)；
若∠B＝90°，则 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，解得k＝ eq \f(11,3)；
若∠C＝90°，则 eq \(AC,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，解得k＝ eq \f(3±\r(13),2)．
综上所述，k的值为－ eq \f(2,3)或 eq \f(11,3)或 eq \f(3±\r(13),2)．
B级——能力提升练
11．(2023年山西模拟)已知向量a＝(1， eq \r(2))，b＝(cs θ，sin θ)，其中θ∈(0，2π)．若a·b＝|a|，则tan θ＝( )
A． eq \r(3)B． eq \r(2)
C． eq \f(\r(3),3)D． eq \r(6)
【答案】B
【解析】由a·b＝|a|，得cs θ＋ eq \r(2)sin θ＝ eq \r(12＋(\r(2))2)＝ eq \r(3)，则cs2θ＋2sin2θ＋2 eq \r(2)sinθcs θ＝3cs2θ＋3sin2θ，即2cs2θ＋sin2θ＝2 eq \r(2)sinθcs θ，两边同时除以cs2θ得，tan2θ－2 eq \r(2)tanθ＋2＝0，∴(tan θ－ eq \r(2))2＝0，∴tan θ＝ eq \r(2)．故选B．
12．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则 eq \(EM,\s\up6(→))· eq \(EC,\s\up6(→))的取值范围是( )
A． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))
C． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2)))D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1))
【答案】C
【解析】以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设E(x，0)，0≤x≤1．因为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))，C(1，1)，所以 eq \(EM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x，\f(1,2)))， eq \(EC,\s\up6(→))＝(1－x，1)．所以 eq \(EM,\s\up6(→))· eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x，\f(1,2)))·(1－x，1)＝(1－x)2＋ eq \f(1,2)．因为0≤x≤1，所以 eq \f(1,2)≤(1－x)2＋ eq \f(1,2)≤ eq \f(3,2)，即 eq \(EM,\s\up6(→))· eq \(EC,\s\up6(→))的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2)))．
13．如图，已知点A(1，1)，单位圆上半部分上的点B满足 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))＝0，则向量 eq \(OB,\s\up6(→))的坐标为__________．
【答案】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))
【解析】根据题意可设B(cs θ，sin θ)(0＜θ＜π)， eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，1)， eq \(OB,\s\up6(→))＝(cs θ，sin θ)．由 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))＝0得sin θ＋cs θ＝0，则tan θ＝－1，所以θ＝ eq \f(3π,4)，cs eq \f(3π,4)＝－ eq \f(\r(2),2)，sin eq \f(3π,4)＝ eq \f(\r(2),2)．所以 eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))．
14．已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1， eq \r(3))．若|b|＝2，且b∥a，则向量b的坐标为____________；若|c|＝ eq \r(2)，且(a＋c)⊥(2a－3c)，则a·c＝__________．
【答案】(1， eq \r(3))或(－1，－ eq \r(3)) 2
【解析】令b＝λa＝(λ， eq \r(3)λ)．因为|b|＝2，所以 eq \r(λ2＋3λ2)＝2，解得λ＝±1．所以b＝(1， eq \r(3))或(－1，－ eq \r(3))．因为(a＋c)⊥(2a－3c)，所以(a＋c)·(2a－3c)＝0，即2|a|2－a·c－3|c|2＝0．所以a·c＝2|a|2－3|c|2＝2×4－3×2＝2．
15．(2023年沈阳期中)已知向量a＝(3，2)，b＝(x，－1)．
(1)当(a＋2b)⊥(2a－b)，且x＞0时，求|a＋b|；
(2)当c＝(－8，－1)，a∥(b＋c)时，求向量a与b的夹角α．
解：(1)∵(a＋2b)⊥(2a－b)⇔(a＋2b)·(2a－b)＝0，
a＋2b＝(3＋2x，0)，2a－b＝(6－x，5)，∴(3＋2x)(6－x)＋0×5＝0，
解得x＝6或x＝－ eq \f(3,2)(舍去)．
∴|a＋b|＝ eq \r(92＋12)＝ eq \r(82)．
(2)∵b＋c＝(x－8，－2)，a∥(b＋c)，
∴3×(－2)－2(x－8)＝0，解得x＝5，
∴b＝(5，－1)．
∴cs α＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(3×5＋2×(－1),\r(32＋22)×\r(52＋(－1)2))＝ eq \f(13,13\r(2))＝ eq \f(\r(2),2)，
∴α＝ eq \f(π,4)．