中考数学一轮复习专题24 尺规作图（10个高频考点）（举一反三）（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc13622" 【考点1 尺规作线段或角】 PAGEREF _Tc13622 \h 1
\l "_Tc22982" 【考点2 尺规作三角形】 PAGEREF _Tc22982 \h 2
\l "_Tc5674" 【考点3 尺规作角平分线】 PAGEREF _Tc5674 \h 4
\l "_Tc18998" 【考点4 尺规作垂线或垂直平分线】 PAGEREF _Tc18998 \h 5
\l "_Tc31774" 【考点5 尺规作等腰三角形】 PAGEREF _Tc31774 \h 7
\l "_Tc7984" 【考点6 尺规作圆】 PAGEREF _Tc7984 \h 9
\l "_Tc25287" 【考点7 尺规作圆的切线】 PAGEREF _Tc25287 \h 9
\l "_Tc19471" 【考点8 尺规作正多边形】 PAGEREF _Tc19471 \h 12
\l "_Tc1218" 【考点9 格点作图】 PAGEREF _Tc1218 \h 13
\l "_Tc2808" 【考点10 无刻度直尺作图】 PAGEREF _Tc2808 \h 14
【考点1 尺规作线段或角】
【例1】（2022·江苏扬州·校考二模）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022·广西贵港·中考真题）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知线段m，n．求作，使．
【变式1-2】（2022·广东韶关·校考二模）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上的一点，连接DE．
(1)请用尺规作图法，在CD的延长线上截取线段DF，使；（不要求写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接AF．求证：△AFD≌△DEC．
【变式1-3】（2022·北京西城·校考模拟预测）已知：如图，在中，．
求作：射线，使得 ．
下面是小甲同学设计的尺规作图过程．
作法：如图
①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于，两点；
②以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点；
③以点为圆心，长为半径作弧，与中作的弧在内部交于点；
④作射线所以射线就是所求作的射线．
根据小甲同学设计的尺规作图过程，请使用直尺和圆规，补全图形保留作图痕迹，并完成证明．
【考点2 尺规作三角形】
【例2】（2022·山西吕梁·统考三模）初中阶段有五种基本尺规作图，分别是：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作一个角的平分线；④作一条线段的垂直平分线；⑤过一点作已知直线的垂线．
数学课上，老师出示了如下题目：如图1，已知线段m，n．运用尺规作图画出，使斜边，一条直角边．
(1)如图2是小亮所作的，并保留了作图痕迹．小亮的作图过程用到的基本作图有____________；（填序号）
(2)请你用一种与小亮不同的尺规作图方法再作一个，使满足上述条件．（不写作法，但保留作图痕迹）
【变式2-1】（2022·广西贵港·统考三模）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实，求作△DEF，使△DEF≌△ABC．
【变式2-2】（2022·江苏无锡·模拟预测）已知∠α，线段a，b，请按要求作图并回答问题；
(1)作△ABC，使∠C＝α，AC＝b，BC＝a；
(2)已知∠α＝45°，a＝4，b＝7，求△ABC的面积．
【变式2-3】（2022·福建福州·福建省福州屏东中学校考模拟预测）求证：若为锐角，则．要求：
(1)如图，锐角和线段，用尺规作出一个以线段为直角边，为内角，为的（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)根据（1）中所画图形证明该命题．
【考点3 尺规作角平分线】
【例3】（2022·陕西西安·校考一模）如图，在四边形中，，请用尺规作图法，在四边形的边上求作一点E，使（保留作图痕迹，不写作法）
【变式3-1】（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）尺规作图：如图，已知正方形，在边CD上求作一点P，使．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式3-2】（2022·湖北襄阳·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．
(1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：AD＝AE．
【变式3-3】（2022·山东青岛·统考中考真题）已知：，．
求作：点P，使点P在内部，且．
【考点4 尺规作垂线或垂直平分线】
【例4】（2022·贵州六盘水·统考中考真题）“水城河畔，樱花绽放，凉都宫中，书画成风”的风景，引来市民和游客争相“打卡”留念．已知水城河与南环路之间的某路段平行宽度为200米，为避免交通拥堵，请在水城河与南环路之间设计一条停车带，使得每个停车位到水城河与到凉都宫点的距离相等．
(1)利用尺规作出凉都宫到水城河的距离（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在图中格点处标出三个符合条件的停车位，，；
(3)建立平面直角坐标系，设，，停车位，请写出与之间的关系式，在图中画出停车带，并判断点是否在停车带上．
【变式4-1】（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，已知中，，，．
(1)作的垂直平分线，分别交、于点、；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，求的周长．
【变式4-2】（2022·广西·统考中考真题）如图，在中，BD是它的一条对角线，
(1)求证：；
(2)尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)连接BE，若，求的度数．
【变式4-3】（2022·重庆·统考中考真题）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形中，是边上的一点，试说明的面积与矩形的面积之间的关系．他的思路是：首先过点作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为（只保留作图㾗迹）．
在和中，
∵，
∴．
又，
∴__________________①
∵，
∴__________________②
又__________________③
∴．
同理可得__________________④
∴．
【考点5 尺规作等腰三角形】
【例5】（2014·江苏无锡·统考中考真题）（1）如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E．求证：．（这个比值叫做AE与AB的黄金比．）
（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC．
（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）
【变式5-1】（2011·浙江杭州·中考真题）根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹）；并根据每种情况分别猜想：∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？并举例验证猜想所得结论．
（1）如图①△ABC中，∠C=90°，∠A=24°
①作图：
②猜想：
③验证：
（2）如图②△ABC中，∠C=84°，∠A=24°．
①作图：
②猜想：
③验证：
【变式5-2】（2022·福建莆田·统考一模）阅读下列材料，完成相应任务．
已知：如图，直线，点在直线上．
求作：等边三角形，使其点，分别落在直线，上．
作法：①在直线上取点，连接，向右作等边三角形，使点落在直线，之间；
②在直线上取点（点在点左侧），作交直线于点；
③在射线上截取；
④连接，，．
就是所求作的等边三角形．
(1)使用直尺和圆规，依上述作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)请你根据上述作法，证明所求作的等边三角形．
【变式5-3】（2022·江苏南京·统考一模）如图，已知线段a，h，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形ABC(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)．
(1)△ABC的底边长为a，底边上的高为h；
(2)△ABC的腰长为a，腰上的高为h．
【考点6 尺规作圆】
【例6】（2022·山东青岛·统考一模）已知：．求作：的外接圆内的点P，使，．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
【变式6-2】（2022·福建·统考中考真题）如图，BD是矩形ABCD的对角线．
(1)求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值．
【变式6-3】（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，已知锐角中，．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线；作的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，的半径为5，则________．（如需画草图，请使用图2）
【考点7 尺规作圆的切线】
【例7】（2022·北京海淀·九年级模拟预测）已知：点，，在上，且．
求作：直线，使其过点，并与相切．
作法：①连接；
②分别以点，点为圆心，长为半径作弧，两弧交于外一点；
③作直线．
直线就是所求作直线．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接，，
∵，
∴四边形是菱形，
∵点，，在上，且，
∴______°（_________________）（填推理的依据）．
∴四边形是正方形，
∴，即，
∵为半径，
∴直线为的切线（_________________）（填推理的依据）．
【变式7-1】（2022·北京海淀·九年级模拟预测）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）
已知：和外一点P．
求作：过点P的的切线，PB．
【变式7-2】（2022·北京海淀·九年级二模）探究：如图①，点P在⊙O上，利用直尺（没有刻度）和圆规过点P作⊙O的切线，
小明所在的数学小组经过合作探究，发现了很多作法，精彩纷呈．
作法一：
①作直径PA的垂直平分线交⊙O于点B；
②分别以点B、P为圆心，OP为半径作弧，交于点C；
③作直线PC．
作法二：
①作直径PA的四等分点B、C；
②以点A为圆心，CA为半径作弧，交射线PA于点D；
③分别以点A、P为圆心，PD、PC为半径作弧，两弧交于点E；
④作直线PE．
以上作法是否正确？选一个你认为正确的作法予以证明．
【变式7-3】（2022秋·北京东城·九年级一模）下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在上．
求作：的切线．
作法： ①作射线；
②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点C和点D；
③分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点B；
④作直线．
则直线即为所求作的的切线.
根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明.
证明：连接，．
由作图可知，
， ．
∴ ．
∵ 点A在上，
∴直线是的切线( ) (填写推理依据) ．
【考点8 尺规作正多边形】
【例8】（2022·福建·统考二模）尺规作图特有的魅力使无数人沉湎其中．传说拿破仑曾通过下列尺规作图将圆等分：
①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；
②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，两弧相交于点G；
③连接OG，以OG长为半径，从点A开始，在圆周上依次截取，刚好将圆等分．顺次连接这些等分点构成的多边形面积为_____．
【变式8-1】（2022·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法）
【变式8-2】（2022·山西太原·统考一模）已如：⊙O与⊙O上的一点A
（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（ 要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）
（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由．
【变式8-3】（2022·江苏扬州·校联考一模）如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）
（1）作△ABC的外接圆圆心O；
（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个等边△DFH，使点F，点H分别在边BC和AC上；
（3）在（2）的基础上作出一个正六边形DEFGHI．
【考点9 格点作图】
【例9】（2022·浙江衢州·统考中考真题）如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论．
(1)在图1中画一条线段垂直．
(2)在图2中画一条线段平分．
【变式9-1】（2022·湖北省直辖县级单位·校考二模）如图，在6×7的网格图中，每个小正方形的边长为1， 的顶点均为格点
(1)在图①中，借助网格和无刻度的直尺画出的高；
(2)在图②中，连接点B与格点D．点P是的中点，点Q为上的一动点，当的周长最小时，请利用网格和无刻度的直尺确定点P、Q的位置，并画出．
【变式9-2】（2022·湖北省直辖县级单位·校考二模）图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹，不要求写出作法．
(1)在图1中的线段上找一点D，连结，使；
(2)在图2中的线段上找一点E，连结，使．
【变式9-3】（2022秋·江苏南京·九年级一模）如图，在边长为1的正方形网格纸中，以O为圆心，为半径作圆，点O、A、B均在格点上．仅用无刻度直尺，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）：
(1)在图①中，作的中点M；
(2)在图②中，作，使得．
【考点10 无刻度直尺作图】
【例10】（2022秋·江西南昌·八年级南昌市三模）如图，点D是等边内部一点，且，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．
(1)在图①中上找一点E，使；
(2)若，在图②中边上分别找点M、N，使．
【变式10-1】（2022秋·北京海淀·九年级101中学校考期末）问题：如图，是的直径，点C在内，请仅用无刻度的直尺，作出中边上的高．
小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．
作法：如图，
①延长交于点D，延长交于点E；
②分别连接，并延长相交于点F；
③连接并延长交于点H．
所以线段即为中边上的高．
(1)根据小芸的作法，补全图形；
(2)完成下面的证明．
证明：是的直径，点D，E在上，
______．（____________）（填推理的依据）
，．
，______是△ABC的两条高线．
，所在直线交于点F，
直线也是的高所在直线．
是中边上的高．
【变式10-2】（2022秋·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考期末）如图，和是全等的等边三角形，点A，C，D在一条直线上，请仅用无刻度直尺，完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，以AD为边作一个直角三角形；
(2)在图2中，以AD为边作一个等腰三角形．
【变式10-3】（2022秋·江西南昌·九年级统考期中）如图，点，，，在一条直线上，，线段与线段关于点对称，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．
(1)在图中画出点；
(2)在图中画线段，使，且．