中考数学一轮复习专题07 一元二次方程及其应用（12个高频考点）（强化训练）（2份，原卷版+解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题07 一元二次方程及其应用（12个高频考点）（强化训练）（2份，原卷版+解析版），文件包含中考数学一轮复习专题07一元二次方程及其应用12个高频考点强化训练原卷版doc、中考数学一轮复习专题07一元二次方程及其应用12个高频考点强化训练解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共64页， 欢迎下载使用。
【考点1 一元二次方程的定义】
1．（2022·四川绵阳·三模）下列各项是一元二次方程的是（ ）
A．x﹣x3＝1B．2x﹣1＝aC．x2﹣x+1＝0D．x2﹣＝5
2．（2022·甘肃·民勤县第六中学一模）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0，常数项为0，则m值等于（ ）
A．1B．2C．1或2D．0
3．（2022·江苏·沭阳县马厂实验学校三模）若是关于x的一元二次方程，则m的值为___________
4．（2022·黑龙江绥化·一模）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m2﹣4）x+m+5＝0的两个实数根互为相反数，则m等于 _____．
5．（2022·广东清远·模拟预测）关于x的方程（a2﹣3）x2+ax+1＝0是一元二次方程的条件是_____．
【考点2 一元二次方程的一般形式】
6．（2022·湖南永州·一模）把一元二次方程5x（x-3）=6-2x化成一般形式后常数项是___
7．（2022·浙江杭州·模拟预测）一元二次方程的二次项系数与常数项的乘积为__________．
8．（2022·四川成都·中考模拟）化成一般形式是____________，其中一次项系数是___________
9．（2022·江苏苏州·中考模拟）将一元二次方程化成一般形式为 _____
10．（2022·河南安阳·一模）写一个满足二次项系数为负数且没有实数根的一元二次方程：________．
【考点3 一元二次方程的解】
11．（2022·广东·东莞市粤华学校二模）已知一元二次方程x2+3x+（a2+1）＝0有一个根为x＝﹣1，则a的值为 _____．
12．（2022·江苏淮安·一模）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______．
13．（2022·广东·乳源瑶族自治县教师发展中心三模）若是方程的一个根，则代数式的值是__________.
14．（2022·湖北黄石·一模）若为一元二次方程的根；
(1)则方程的另外一个根______，______；
(2)求的值．
15．（2022·广东中山·一模）对于任意实数k，方程（k2+1）x2﹣2（k+a）2x+k2+4k+b＝0总有一个根是1．
(1)求实数a，b．
(2)当k＝5时，求方程的另一个根．
【考点4 配方法解一元二次方程】
16．（2022·浙江·沈家门第一初级中学八年级阶段练习）已知实数a，b满足，解关于x的一元二次方程．
17．（2022·山西晋中·一模）（1）计算：；
（2）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解： 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
所以， 第六步
任务一：填空：上述小明同学解此一元二次方程的方法是________，依据的一个数学公式是________；第________步开始出现错误；
任务二：请你直接写出该方程的正确解．
18．（2022·甘肃兰州·一模）用配方法解方程：．
19．（2022·广东·珠海市文园中学三模）已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）取，用配方法解这个一元二次方程．
20．（2022·广西·南宁市三美学校九年级阶段练习）解方程．
【考点5 公式法解一元二次方程】
21．（2022·江苏·九年级专题练习）将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x•x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x3+1的值为（ ）
A．1+B．1﹣C．3﹣D．3+
22．（2022·江西·石城县教育局教研室二模）已知正整数x满足是完全平方数，则x的值是_________．
23．（2022·全国·九年级专题练习）若代数式有意义，则x的取值范围是 _____．
24．（2022·四川乐山·三模）解方程：．
25．（2022·福建·福州三中晋安校区九年级阶段练习）解方程：．
【考点6 因式分解法解一元二次方程】
26．（2022·江苏·苏州工业园区金鸡湖学校一模）我们把抛物线上纵坐标是横坐标两倍的点叫做这条抛物线的“二倍点”（原点除外）．
(1)若抛物线上只有唯一的“二倍点”，求b的值及“二倍点”的坐标；
(2)平移抛物线，若所得新抛物线经过原点，且顶点是新抛物线的“二倍点”，求新抛物线的表达式．
27．（2022·广东·广州市华师附中番禺学校三模）已知．
(1)化简；
(2)若是方程的解，求的值．
28．（2022·浙江·舟山市第一初级中学一模）阅读下面的例题，
范例：解方程 ，
解：（1）当 时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）．
（2）当x＜0时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）．
∴原方程的根是，，
请参照例题解方程
29．（2022·浙江杭州·一模）以下是小明在解方程时的解答过程．
解原方程可化为，
解得原方程的解是．
小明的解答是否有错误？如果有错误，请你指出来并写出正确的解答过程．
30．（2022·四川泸州·一模）解方程：(2x﹣1)2＝(3﹣x)2
【考点7 换元法解一元二次方程】
31．（2022·内蒙古呼和浩特·二模）“通过等价变换，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式．例如：解方程x－＝0，就可利用该思维方式，设＝y，将原方程转化为：y2－y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x．这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下列问题：
（1）填空：若2（x2+y2）2+（x2+y2）＝0，则x2+y2的值为 ；
（2）解方程：x2－x+2－8＝0．
32．（2022·广东揭阳·一模）小颖用下面的方法求出方程的解．
请你仿照小颗的方法求出方程的解．
33．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为解得，当时，即，解得：；当时，即解得：，所以原方程的解：
请利用这种方法求方程的解
34．（2022·福建泉州·中考模拟）阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．
当y=1时，x2=1，∴x=±1；
当y=4时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用_______法达到_______的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程(x2+x)2﹣4(x2+x)﹣12=0．
35．（2022·重庆巴蜀中学三模）阅读下列材料：
已知实数m，n满足(2m2+n2+1)(2m2+n2-1)=80，试求2m2+n2的值．
解：设2m2+n2=t，则原方程变为(t+1)(t-1)=80，整理得t2-1=80，t2=81，∴t=±9．
因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2=9．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x，y满足(2x2+2y2+3)(2x2+2y2-3)=27，求x2+y2的值．
（2）若四个连续正整数的积为11880，求这四个连续正整数．
【考点8 根的判别式】
36．（2022·四川·南充市实验中学模拟预测）关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程两根与且，求的值．
37．（2022·北京市三帆中学模拟预测）已知：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)如果为非负整数，且该方程的根都是整数，求该方程的根．
38．（2022·四川成都·三模）若方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜，则m的取值范围为多少？
39．（2022·云南·一模）已知关于的方程
(1)求证：无论取什么实数，这个方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的一边长，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求三角形的周长；
40．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知的一条边BC的长为5，另两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程的两个实数根．
(1)求证：无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)k为何值时，是等腰三角形？并求的周长．
【考点9 根与系数的关系】
41．（2022·宁夏·银川英才学校二模）阅读理解：
材料一：若三个非零实数满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教构成“和谐三数组”．
材料二：若关于的一元二次方程的两根分别为，，则有，．
问题解决：
(1)请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数，并写出理由过程；
(2)若是关于x的方程 (均不为)的两根，是关于的方程 (均不为0)的解．求证：可以构成“和谐三数组”；
(3)若三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数的值．
42．（2022·湖北十堰·三模）已知，关于x的一元二次方程，
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程两根的绝对值相等，求a的值．
43．（2022·江苏扬州·二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅岭点”．
(1)若点是一次函数的图象上的“梅岭点”，则______________；若点是函数的图象上的“梅岭点”，则_____________；
(2)若点是二次函数的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式；
(3)若二次函数（a，b是常数，）的图象过点，且图象上存在两个不同的“梅岭点”，且满足，如果，请直接写出k的取值范围．
44．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m﹣3＝0的两个根为a，b．
(1)若a，b分别为矩形的两条对角线的长，求m的值；
(2)若a，b分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为4，求m的值．
【考点10 配方法的应用】
46．（2022·江苏盐城·三模）已知，，，求代数式的值．
47．（2022·浙江杭州·一模）已知M＝x2﹣3，N＝4（x﹣）．
（1）当x＝﹣1时，求M﹣N的值；
（2）当1＜x＜2时，试比较M，N的大小．
48．（2022·河北·开滦第二中学三模）阅读材料：我们知道：若几个非负数相加得零，则这些数都必同时为零．
例如：①（a﹣1）2+（b+5）2=0，我们可以得：（a﹣1）2=0，（b+5）2=0，∴a=1，b=-5．
②若m2-4m+n2+6n+13=0，求m、n的值．
解：∵m2-4m+n2+6n+13=0，
∴（m2﹣4m+4)+(n2+6n+9)=0(我们将13拆成4和9，等式左边就出现了两个完全平方式）
∴(m﹣2)2+(n+3)2=0，
∴(m﹣2)2=0，(n+3)2=0，
∴ n=2，m=-3．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）a2﹣4a+4+b2=0，则a= ．b= ．
（2）已知x2+2xy+2y2－6y+9=0,求xy的值．
（3）已知a、b（a≠b）是等腰三角形的边长，且满足2a2+b2﹣8a﹣6b+17=0，求三角形的周长．
49．（2022·河北·宽城满族自治县教研室模拟预测）已知两个整式，．
(1)若A与B互为相反数，求a的值；
(2)已知m为常数，若A，B，m相加之和的最小值为1，求m的值．
50．（2022·四川达州·中考真题）选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如
①选取二次项和一次项配方：；
②选取二次项和常数项配方：，
或
③选取一次项和常数项配方：
根据上述材料，解决下面问题：
（1）写出的两种不同形式的配方；
（2）已知，求的值．
【考点11 根据实际问题抽象出一元二次方程】
51．（2022·浙江杭州·二模）如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为x，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
52．（2022·河南·模拟预测）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排共计28场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛?若设应邀请x个队参赛，可列出的方程为（ ）
A． B．
C．D．
53．（2022·四川巴中·一模）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A．B．200+200×2x＝1000
C．200+200×3x＝1000D．
54．（2022·广东深圳·二模）一桶油漆能刷的面积，用它恰好刷完10个同样的正方体形状盒子的全部外表面．设其中一个盒子的棱长为xdm，则可列出方程：______．
55．（2022·山东·武城县教育教学研究中心一模）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为_____．
【考点12 一元二次方程的应用】
56．（2022·安徽·郎溪实验一模）甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m．
(1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？
(2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？
57．（2022·重庆十八中两江实验中学一模）甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长2000米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米，隧道施工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道施工成本为8万元．
（1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？
（2）实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖m米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖m米，若最终每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，求m的值．
58．（2022·重庆市第三十七中学校二模）草莓是大家非常喜欢的水果，3月份是草莓上市的旺季．某水果超市销售草莓，第一周每千克草莓的销售单价比第二周销售单价高10元，该水果超市这两周共销售草莓180千克，且第一周草莓的销量与第二周的销量之比为，该水果超市这两周草莓销售总额为11600元．
(1)第二周草莓销售单价是每千克多少元？
(2)随着草莓的大量上市，3月份第三周，草莓定价与第二周保持一致，且该水果超市推出会员优惠活动，所有的会员均可享受每千克直降a元的优惠，而非会员需要按照原价购买，第三周草莓的销量比第二周增加了20%，其中通过会员优惠活动购买的销量占第三周草莓总销量的，而第三周草莓的销售总额为元，求a的值．
59．（2022·安徽淮南·一模）一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数是多少？
60．（2022·广东茂名·二模）如图，某养猪户想用29米长的围栏设计一个矩形的养猪圈，其中猪圈一边靠墙MN，另外三边用围栏围住，在BC边开个门（宽度为1米），MN的长度为15m，
(1)为了让围成的猪圈（矩形ABCD）面积达到112m2，请你帮忙计算一下猪圈的长与宽分别是多少？
(2)当猪圈的长与宽分别是多少时，猪圈的面积达到最大？方程
换元法得新方程
解新方程
检验
求原方程的解
令，则
，所以