中考数学总复习专题07一元二次方程及其应用(12个高频考点)(强化训练)(全国版)(原卷版+解析)

这是一份中考数学总复习专题07一元二次方程及其应用(12个高频考点)(强化训练)(全国版)(原卷版+解析)，共49页。

【考点1 一元二次方程的定义】
1．（2022·四川绵阳·三模）下列各项是一元二次方程的是（ ）
A．x﹣x3＝1B．2x﹣1＝aC．x2﹣x+1＝0D．x2﹣2x2＝5
2．（2022·甘肃·民勤县第六中学一模）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0，常数项为0，则m值等于（ ）
A．1B．2C．1或2D．0
3．（2022·江苏·沭阳县马厂实验学校三模）若m−2xm2-2+5x+4=0是关于x的一元二次方程，则m的值为___________
4．（2022·黑龙江绥化·一模）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m2﹣4）x+m+5＝0的两个实数根互为相反数，则m等于 _____．
5．（2022·广东清远·模拟预测）关于x的方程（a2﹣3）x2+ax+1＝0是一元二次方程的条件是_____．
【考点2 一元二次方程的一般形式】
6．（2022·湖南永州·一模）把一元二次方程5x（x-3）=6-2x化成一般形式后常数项是___
7．（2022·浙江杭州·模拟预测）一元二次方程−x2+4x=3的二次项系数与常数项的乘积为__________．
8．（2022·四川成都·中考模拟）x−42+5=6x化成一般形式是____________，其中一次项系数是___________
9．（2022·江苏苏州·中考模拟）将一元二次方程2xx−3=1化成一般形式为 _____
10．（2022·河南安阳·一模）写一个满足二次项系数为负数且没有实数根的一元二次方程：________．
【考点3 一元二次方程的解】
11．（2022·广东·东莞市粤华学校二模）已知一元二次方程x2+3x+（a2+1）＝0有一个根为x＝﹣1，则a的值为 _____．
12．（2022·江苏淮安·一模）已知m是一元二次方程x2+x−6=0的一个根，则代数式2m2+2m的值是______．
13．（2022·广东·乳源瑶族自治县教师发展中心三模）若a是方程2x2=x+5的一个根，则代数式6a2−3a的值是__________.
14．（2022·湖北黄石·一模）若α=1+52为一元二次方程x2−x+t=0的根；
(1)则方程的另外一个根β=______，t=______；
(2)求α3−α2+1β3−β2+1的值．
15．（2022·广东中山·一模）对于任意实数k，方程（k2+1）x2﹣2（k+a）2x+k2+4k+b＝0总有一个根是1．
(1)求实数a，b．
(2)当k＝5时，求方程的另一个根．
【考点4 配方法解一元二次方程】
16．（2022·浙江·沈家门第一初级中学八年级阶段练习）已知实数a，b满足a−4+(b+2)2=0，解关于x的一元二次方程x2−ax+b=0．
17．（2022·山西晋中·一模）（1）计算：4×(−3)+|−6|−20+13−2；
（2）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
3x2+8x−3=0
解：x2+83x−1=0 第一步
x2+83x+432−1=0 第二步
x+432−1=0 第三步
x+432=1 第四步
x+43=±1 第五步
所以，x1=−13,x2=−73 第六步
任务一：填空：上述小明同学解此一元二次方程的方法是________，依据的一个数学公式是________；第________步开始出现错误；
任务二：请你直接写出该方程的正确解．
18．（2022·甘肃兰州·一模）用配方法解方程：x2+10=8x−1．
19．（2022·广东·珠海市文园中学三模）已知关于x的一元二次方程(2k−1)x2+2x+1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）取k=−12，用配方法解这个一元二次方程．
20．（2022·广西·南宁市三美学校九年级阶段练习）解方程2x2−4x−5=0．
【考点5 公式法解一元二次方程】
21．（2022·江苏·九年级专题练习）将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x•x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x3+1的值为（ ）
A．1+5B．1﹣5C．3﹣5D．3+5
22．（2022·江西·石城县教育局教研室二模）已知正整数x满足x2+5x+30是完全平方数，则x的值是_________．
23．（2022·全国·九年级专题练习）若代数式x+31|x|−21−2x有意义，则x的取值范围是 _____．
24．（2022·四川乐山·三模）解方程：x2+x=5+5．
25．（2022·福建·福州三中晋安校区九年级阶段练习）解方程：2x2+4x−3=0．
【考点6 因式分解法解一元二次方程】
26．（2022·江苏·苏州工业园区金鸡湖学校一模）我们把抛物线上纵坐标是横坐标两倍的点叫做这条抛物线的“二倍点”（原点除外）．
(1)若抛物线y=x2+bx+4上只有唯一的“二倍点”，求b的值及“二倍点”的坐标；
(2)平移抛物线y=x2+bx+4，若所得新抛物线经过原点，且顶点是新抛物线的“二倍点”，求新抛物线的表达式．
27．（2022·广东·广州市华师附中番禺学校三模）已知A=1−2x+1÷x2−2x+1x+1．
(1)化简A；
(2)若x是方程xx+2=x+2的解，求A的值．
28．（2022·浙江·舟山市第一初级中学一模）阅读下面的例题，
范例：解方程x2−|x|−2=0 ，
解：（1）当x≥0 时，原方程化为x2−x−2=0，解得：x1=2，x2=−1（不合题意，舍去）．
（2）当x＜0时，原方程化为x2+x−2=0，解得：x1=−2，x2=1（不合题意，舍去）．
∴原方程的根是x1=2，x2=−2，
请参照例题解方程x2−|x−1|−1=0
29．（2022·浙江杭州·一模）以下是小明在解方程(x+2)(x−3)=3−x时的解答过程．
解原方程可化为(x+2)(x−3)=−(x−3)，
解得原方程的解是x=−3．
小明的解答是否有错误？如果有错误，请你指出来并写出正确的解答过程．
30．（2022·四川泸州·一模）解方程：(2x﹣1)2＝(3﹣x)2
【考点7 换元法解一元二次方程】
31．（2022·内蒙古呼和浩特·二模）“通过等价变换，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式．例如：解方程x－x＝0，就可利用该思维方式，设x＝y，将原方程转化为：y2－y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x．这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下列问题：
（1）填空：若2（x2+y2）2+（x2+y2）＝0，则x2+y2的值为 ；
（2）解方程：x2－x+2x2−x－8＝0．
32．（2022·广东揭阳·一模）小颖用下面的方法求出方程2x−3=0的解．
请你仿照小颗的方法求出方程x+2x−3=0的解．
33．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）解方程x−12−5x−1+4=0时，我们可以将x−1看成一个整体，设x−1=y，则原方程可化为y2−5y+4=0,解得y1=1,y2=4，当y=1时，即x−1=1，解得：x=2；当y=4时，即x−1=4,解得：x=5，所以原方程的解： x1=2,x2=5
请利用这种方法求方程2x+52−72x+5+12=0的解
34．（2022·福建泉州·中考模拟）阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．
当y=1时，x2=1，∴x=±1；
当y=4时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用_______法达到_______的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程(x2+x)2﹣4(x2+x)﹣12=0．
35．（2022·重庆巴蜀中学三模）阅读下列材料：
已知实数m，n满足(2m2+n2+1)(2m2+n2-1)=80，试求2m2+n2的值．
解：设2m2+n2=t，则原方程变为(t+1)(t-1)=80，整理得t2-1=80，t2=81，∴t=±9．
因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2=9．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x，y满足(2x2+2y2+3)(2x2+2y2-3)=27，求x2+y2的值．
（2）若四个连续正整数的积为11880，求这四个连续正整数．
【考点8 根的判别式】
36．（2022·四川·南充市实验中学模拟预测）关于x的一元二次方程x2−k+2x+2k=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程两根x1、x2与且x12+x22=20，求k的值．
37．（2022·北京市三帆中学模拟预测）已知：关于x的一元二次方程x2−4x+2m=0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求该方程的根．
38．（2022·四川成都·三模）若方程x2+（m﹣4）x+134﹣m＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜214，则m的取值范围为多少？
39．（2022·云南·一模）已知关于x的方程x2−(2k+1)x+4(k−12)=0
(1)求证：无论k取什么实数，这个方程总有实数根；
(2)若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两个根，求三角形ABC的周长；
40．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2−(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根．
(1)求证：无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长．
【考点9 根与系数的关系】
41．（2022·宁夏·银川英才学校二模）阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x，y，z构成“和谐三数组”．
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根分别为x1，x2，则有x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
问题解决：
(1)请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数，并写出理由过程；
(2)若x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c=0 (a，b，c均不为0)的两根，x3是关于x的方程bx+c=0 (b，c均不为0)的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
(3)若A(m，y1)，B(m+1，y2)，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数y=4x的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
42．（2022·湖北十堰·三模）已知，关于x的一元二次方程x2−2a−1x+a2−a=0，
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程两根的绝对值相等，求a的值．
43．（2022·江苏扬州·二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅岭点”．
(1)若点P(3,p)是一次函数y=mx+6的图象上的“梅岭点”，则m=______________；若点P(m,m)是函数y=3x−2的图象上的“梅岭点”，则m=_____________；
(2)若点P(p,−2)是二次函数y=x2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式；
(3)若二次函数y=ax2+bx+c（a，b是常数，a>0）的图象过点(0,2)，且图象上存在两个不同的“梅岭点”Ax1,x1,Bx2,x2，且满足−144．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m﹣3＝0的两个根为a，b．
(1)若a，b分别为矩形的两条对角线的长，求m的值；
(2)若a，b分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为4，求m的值．
【考点10 配方法的应用】
46．（2022·江苏盐城·三模）已知a=12014x+2013，b=12014x+2014，c=12014x+2015，求代数式2a2+b2+c2−ab−bc−ac的值．
47．（2022·浙江杭州·一模）已知M＝x2﹣3，N＝4（x﹣32）．
（1）当x＝﹣1时，求M﹣N的值；
（2）当1＜x＜2时，试比较M，N的大小．
48．（2022·河北·开滦第二中学三模）阅读材料：我们知道：若几个非负数相加得零，则这些数都必同时为零．
例如：①（a﹣1）2+（b+5）2=0，我们可以得：（a﹣1）2=0，（b+5）2=0，∴a=1，b=-5．
②若m2-4m+n2+6n+13=0，求m、n的值．
解：∵m2-4m+n2+6n+13=0，
∴（m2﹣4m+4)+(n2+6n+9)=0(我们将13拆成4和9，等式左边就出现了两个完全平方式）
∴(m﹣2)2+(n+3)2=0，
∴(m﹣2)2=0，(n+3)2=0，
∴ n=2，m=-3．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）a2﹣4a+4+b2=0，则a= ．b= ．
（2）已知x2+2xy+2y2－6y+9=0,求xy的值．
（3）已知a、b（a≠b）是等腰三角形的边长，且满足2a2+b2﹣8a﹣6b+17=0，求三角形的周长．
49．（2022·河北·宽城满族自治县教研室模拟预测）已知两个整式A=2a2+5a，B=−3a−4．
(1)若A与B互为相反数，求a的值；
(2)已知m为常数，若A，B，m相加之和的最小值为1，求m的值．
50．（2022·四川达州·中考真题）选取二次三项式ax2+bx+c(a≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如
①选取二次项和一次项配方：x2−4x+2=(x−2)2−2；
②选取二次项和常数项配方：x2−4x+2=(x−2)2+(22−4)x，
或x2−4x+2=(x+2)2−(4+22)x
③选取一次项和常数项配方：x2−4x+2=(2x−2)2−x2
根据上述材料，解决下面问题：
（1）写出x2−8x+4的两种不同形式的配方；
（2）已知x2+y2+xy−3y+3=0，求xy的值．
【考点11 根据实际问题抽象出一元二次方程】
51．（2022·浙江杭州·二模）如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的13．设观花道的直角边（如图所示）为x，则可列方程为（ ）
A．10+x9+x=30B．10+x9+x=60
C．10−x9−x=30D．10−x9−x=60
52．（2022·河南·模拟预测）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排共计28场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛?若设应邀请x个队参赛，可列出的方程为（ ）
A．x(x+1)=28 B．x(x−1)=28
C．12x(x+1)=28D．12x(x−1)=28
53．（2022·四川巴中·一模）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A．200(1+x)2=1000B．200+200×2x＝1000
C．200+200×3x＝1000D．200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000
54．（2022·广东深圳·二模）一桶油漆能刷1500dm2的面积，用它恰好刷完10个同样的正方体形状盒子的全部外表面．设其中一个盒子的棱长为xdm，则可列出方程：______．
55．（2022·山东·武城县教育教学研究中心一模）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为_____．
【考点12 一元二次方程的应用】
56．（2022·安徽·郎溪实验一模）甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m．
(1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？
(2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？
57．（2022·重庆十八中两江实验中学一模）甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长2000米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米，隧道施工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道施工成本为8万元．
（1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的43，求甲最多施工多少米？
（2）实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖12m米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖14m米，若最终每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，求m的值．
58．（2022·重庆市第三十七中学校二模）草莓是大家非常喜欢的水果，3月份是草莓上市的旺季．某水果超市销售草莓，第一周每千克草莓的销售单价比第二周销售单价高10元，该水果超市这两周共销售草莓180千克，且第一周草莓的销量与第二周的销量之比为4:5，该水果超市这两周草莓销售总额为11600元．
(1)第二周草莓销售单价是每千克多少元？
(2)随着草莓的大量上市，3月份第三周，草莓定价与第二周保持一致，且该水果超市推出会员优惠活动，所有的会员均可享受每千克直降a元的优惠，而非会员需要按照原价购买，第三周草莓的销量比第二周增加了20%，其中通过会员优惠活动购买的销量占第三周草莓总销量的a6，而第三周草莓的销售总额为(6200+100a)元，求a的值．
59．（2022·安徽淮南·一模）一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数是多少？
60．（2022·广东茂名·二模）如图，某养猪户想用29米长的围栏设计一个矩形的养猪圈，其中猪圈一边靠墙MN，另外三边用围栏围住，在BC边开个门（宽度为1米），MN的长度为15m，
(1)为了让围成的猪圈（矩形ABCD）面积达到112m2，请你帮忙计算一下猪圈的长与宽分别是多少？
(2)当猪圈的长与宽分别是多少时，猪圈的面积达到最大？方程
换元法得新方程
解新方程
检验
求原方程的解
2x−3=0
令x=t，则2t−3=0
t=32
t=32>0
x=32，所以x=94
专题07 一元二次方程及其应用（12个高频考点）（强化训练）
【考点1 一元二次方程的定义】
1．（2022·四川绵阳·三模）下列各项是一元二次方程的是（ ）
A．x﹣x3＝1B．2x﹣1＝aC．x2﹣x+1＝0D．x2﹣2x2＝5
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义对四个选项逐一判断即可确定答案．
【详解】解：A 选项方程中未知数x的最高次数为3次，不满足一元二次方程的定义，故本选项不符合题意；
B 选项方程中含有两个未知数，分别是x与a ，且未知数x与a的最高次数均为1次，不满足一元二次方程的定义，故本选项不符合题意；
C 选项方程中只含有一个未知数x，并且未知数x的最高次数为2次，这样的整式方程满足一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
D 选项的方程是分式方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程．熟知一元二次方程定义的内涵是解得此类题目的关键．
2．（2022·甘肃·民勤县第六中学一模）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0，常数项为0，则m值等于（ ）
A．1B．2C．1或2D．0
【答案】B
【分析】由题意知m−1≠0①m2−3m+2=0②，计算求出符合要求的解即可．
【详解】解：由题意知m−1≠0①m2−3m+2=0②
解①得m≠1
解②得m−1m−2=0
令m−1=0或m−2=0
解得m1=1或m2=2
∴m=2
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，因式分解法解一元二次方程．解题的关键在于明确m−1≠0．
3．（2022·江苏·沭阳县马厂实验学校三模）若m−2xm2-2+5x+4=0是关于x的一元二次方程，则m的值为___________
【答案】-2
【分析】据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足三个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】解：由题意，得
m2-2=2，且m-2≠0，
解得m=-2，
故答案为：-2．
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．特别要注意a≠0的条件．
4．（2022·黑龙江绥化·一模）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m2﹣4）x+m+5＝0的两个实数根互为相反数，则m等于 _____．
【答案】-2
【分析】设方程的两个实数根是a，b，根据根与系数的关系及相反数定义得到a+b=−m2−4m−1=0，求出m，再根据一元二次方程的定义以及根的判别式判断即可．
【详解】解：设方程的两个实数根是a，b，
∵一元二次方程（m﹣1）x2+（m2﹣4）x+m+5＝0的两个实数根互为相反数，
由根与系数的关系得：a+b=−m2−4m−1=0，且m﹣1≠0，
∴m＝±2，
由题意，Δ＝（m2﹣4）2﹣4（m﹣1）（m+5）≥0，
当m＝2时，Δ＜0，舍去，
当m＝﹣2时，Δ＞0，符合题意，
即m=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，定义以及根的判别式判断，分情况讨论解决本题是关键.
5．（2022·广东清远·模拟预测）关于x的方程（a2﹣3）x2+ax+1＝0是一元二次方程的条件是_____．
【答案】a≠±3
【分析】根据一元二次方程必须满足两个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0；由这两个条件得到相应的关系式，求解即可．
【详解】∵关于x的方程(a2﹣3)x2+ax+1=0是一元二次方程，
∴a2−3≠0，
∴a≠±3，
故答案为：a≠±3．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义．熟知一元二次方程二次项系数不为0是解题的关键．
【考点2 一元二次方程的一般形式】
6．（2022·湖南永州·一模）把一元二次方程5x（x-3）=6-2x化成一般形式后常数项是___
【答案】-6
【分析】把原方程化为：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中c是常数项，从而可得答案．
【详解】解：5x(x−3)=6−2x,
∴5x2−15x=6−2x,
∴5x2−13x−6=0,
所以一元二次方程的常数项为：−6.
故答案为：−6.
【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0(a≠0) 是解题的关键．
7．（2022·浙江杭州·模拟预测）一元二次方程−x2+4x=3的二次项系数与常数项的乘积为__________．
【答案】3
【分析】先把一元二次方程化为一般式，然后进行求解即可．
【详解】解：把一元二次方程−x2+4x=3化为一般式为：x2−4x+3=0，
∴二次项系数为1，常数项为3，
∴它们的乘积为：1×3=3；
故答案为3．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
8．（2022·四川成都·中考模拟）x−42+5=6x化成一般形式是____________，其中一次项系数是___________
【答案】 x2−14x+21=0 ， -14
【分析】先去括号、移项、合并同类项，得到方程的一般形式；再根据一般形式可得一次项的系数.
【详解】解：x−42+5=6x即为x2−8x+16+5−6x=0，整理得x2−14x+21=0，其中一次项系数是-14.
故答案为x2−14x+21=0；-14.
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，解题时要特别注意a≠0的条件.
9．（2022·江苏苏州·中考模拟）将一元二次方程2xx−3=1化成一般形式为 _____
【答案】2x2−6x−1=0
【详解】试题分析：直接去括号，得2x2−6x=1，再将常数项移往左边，化成一般式ax2+bx+c=0即可.
考点：一元二次方程的一般形式.
10．（2022·河南安阳·一模）写一个满足二次项系数为负数且没有实数根的一元二次方程：________．
【答案】−x2−4x−6=0（答案不唯一）
【分析】根据关于x一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0) ，可令a=−1 ，再利用根的判别式小于0即可写出．
【详解】解：一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0(a≠0)，
令a=−1，b=−4 ，c=−6 ，
∴Δ=b2−4ac=16−24=−8＜0 ，
∴满足条件的一元二次方程为：−x2−4x−6=0，
故答案为：−x2−4x−6=0（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程解的情况之间的关系是解题的关键．
【考点3 一元二次方程的解】
11．（2022·广东·东莞市粤华学校二模）已知一元二次方程x2+3x+（a2+1）＝0有一个根为x＝﹣1，则a的值为 _____．
【答案】±1
【分析】把x=−1代入方程，然后解关于a的方程即可．
【详解】将x=-1代入原式得：
−12+3×−1+a2+1=0
移项合并得：a2=1 ，
解得：a=±1 ．
故答案为：±1 ．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是把方程的解代入原方程进行计算求解．
12．（2022·江苏淮安·一模）已知m是一元二次方程x2+x−6=0的一个根，则代数式2m2+2m的值是______．
【答案】12
【分析】利用一元二次方程的解的定义得到m2+m=6即可求解．
【详解】∵m为一元二次方程x2+x−6=0的一个根．
∴m2+m-6=0，
∴m2+m=6，
即2m2+2m=12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13．（2022·广东·乳源瑶族自治县教师发展中心三模）若a是方程2x2=x+5的一个根，则代数式6a2−3a的值是__________.
【答案】15
【分析】利用a是方程2x2=x+5的一个根，得到2a2−a=5，代入6a2−3a即可．
【详解】解：∵a是方程2x2=x+5的一个根，
∴2a2=a+5，
∴2a2−a=5，
∴6a2−3a=32a2−a=3×5=15，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了方程解的定义以及整体代入求值，其中利用方程解的定义求得2a2−a=5是解题的关键．
14．（2022·湖北黄石·一模）若α=1+52为一元二次方程x2−x+t=0的根；
(1)则方程的另外一个根β=______，t=______；
(2)求α3−α2+1β3−β2+1的值．
【答案】(1)1−52，−1
(2)1
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）根据α,β是为一元二次方程x2−x−1=0的根，可得α3−α2=α，β3−β2=β，代入代数式化简，进而根据一元二次方程根与系数的关系代入求解即可．
(1)
解：∵α=1+52为一元二次方程x2−x+t=0的根，设方程的另外一个根为β，
∴β+α=1
∴β=1−1+52=1−52
∴t=α⋅β=1+52×1−52=−1
故答案为：1−52，−1；
(2)
∵α,β是为一元二次方程x2−x−1=0的根
∴α2−α−1=0，β2−β−1=0
∴α2−α=1，β2−β=1，
∵α≠0，β≠0，
∴α3−α2=α，β3−β2=β，
∴ α3−α2+1β3−β2+1
=α+1β+1
=αβ+α+β+1
∵ α+β=1，αβ=−1，
∴原式=1−1+1=1
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的意义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
15．（2022·广东中山·一模）对于任意实数k，方程（k2+1）x2﹣2（k+a）2x+k2+4k+b＝0总有一个根是1．
(1)求实数a，b．
(2)当k＝5时，求方程的另一个根．
【答案】(1)a＝1，b＝1
(2)方程的另一个根是2313
【分析】（1）根据一元二次方程根的意义，将x=1代入原方程，根据题意对于任意实数k都成立，则令含k的系数为0，即可求得a的值，进而求得b的值，
（2）将k＝5，a＝1，b＝1代入原方程，解一元二次方程求解即可
(1)
由题意得对于任意实数k，均有（k2+1）﹣2（k+a）2+k2+4k+b＝0，
即4k（1﹣a）+1+b﹣2a2＝0对于任意实数k恒成立，
∴1﹣a＝0，即a＝1，
则b＝1；
(2)
把k＝5，a＝1，b＝1代入原方程得：
26x2﹣72x+46＝0，
13x2﹣36x+23＝0，
（x﹣1）（13x﹣23）＝0，
x1＝1，x2＝2313．
∴方程的另一个根是2313．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，因式分解法解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．
【考点4 配方法解一元二次方程】
16．（2022·浙江·沈家门第一初级中学八年级阶段练习）已知实数a，b满足a−4+(b+2)2=0，解关于x的一元二次方程x2−ax+b=0．
【答案】x1=2+6，x2=2−6
【分析】先根据a−4+(b+2)2=0，得出a=4，b=−2，得出一元二次方程x2−4x−2=0，解方程即可．
【详解】解：∵a−4≥0，(b+2)2≥0，且a−4+(b+2)2=0，
∴a－4＝0，b+2=0，
∴a=4，b=−2，
∴x2−4x−2=0，
x2−4x=2，
x2−4x+4=6，
(x−2)2=6，
∴x1=2+6，x2=2−6．
【点睛】本题主要考查了二次根式的非负性，二次方的非负性，一元二次方程的解法，根据题意得出a=4，b=−2，是解题的关键．
17．（2022·山西晋中·一模）（1）计算：4×(−3)+|−6|−20+13−2；
（2）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
3x2+8x−3=0
解：x2+83x−1=0 第一步
x2+83x+432−1=0 第二步
x+432−1=0 第三步
x+432=1 第四步
x+43=±1 第五步
所以，x1=−13,x2=−73 第六步
任务一：填空：上述小明同学解此一元二次方程的方法是________，依据的一个数学公式是________；第________步开始出现错误；
任务二：请你直接写出该方程的正确解．
【答案】（1）2；（2）任务一：配方法；(a+b)2=a2+2ab+b2，二；任务二，x1=−3，x2=13
【分析】（1）先分别根据有理数的乘法、绝对值的意义、零指数幂和负指数幂计算，然后根据有理数的混合运算法则计算即可得到结果；
（2）根据配方法解一元二次方程的步骤进行判断和计算即可．
【详解】（1）解：4×(−3)+|−6|−20+(13)−2
=−12+6−1+9
=2；
（2）解：任务一：由题意可知，上述小明同学解此一元二次方程的方法是配方法，依据的一个数学公式是完全平方公式，
在第二步配方时，根据等式的基本性质，方程两边都应加上(43)2，
∴第二步开始出现错误；
任务二：解：3x2+8x−3=0，
∴x2+83x−1=0，
∴x2+83x+(43)2−1=(43)2，
∴(x+43)2=259，
∴x+43=±53，
∴x1=−3，x2=13．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算、配方法解一元二次方程，熟练掌握运算法则和步骤是解题的关键．
18．（2022·甘肃兰州·一模）用配方法解方程：x2+10=8x−1．
【答案】x1=4+5，x2=4−5
【分析】根据配方法求解即可．
【详解】解：将方程化简成一般式：x2−8x+11=0，
配方得：x2−8x+−42−−42+11=0，
∴x−42=5，
∴x−4=±5，
∴x1=4+5，x2=4−5．
【点睛】本题考查解一元二次方程中的配方法，解题的关键是熟练掌握配方法．
19．（2022·广东·珠海市文园中学三模）已知关于x的一元二次方程(2k−1)x2+2x+1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）取k=−12，用配方法解这个一元二次方程．
【答案】（１）k≤1且k≠12；（２）x1=1+32，x2=1−32．
【分析】（1）根据(2k−1)x2+2x+1=0有实数根，必须满足下列条件：①二次项系数不为零；②在有实数根的前提下必须满足Δ=b2−4ac≥0；
（2）把k=−12代入(2k−1)x2+2x+1=0，再解方程即可．
【详解】解：（1）∵(2k−1)x2+2x+1=0有实数根，
∴Δ=b2−4ac≥0；
∴4−42k−1≥0，
解得：k≤1，
∵2k−1≠0，
∴k≠12，
∴k的取值范围为k≤1且k≠12；
（2）把k=−12代入(2k−1)x2+2x+1=0，得−2x2+2x+1=0，
移项得：−2x2+2x=−1，
系数化为1得：x2−x=12，
配方得：x−122=34，
解得：x−12=±32，
∴x1=1+32，x2=1−32．
【点睛】本题考查了根的判别式、解一元二次方程−配方法，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
20．（2022·广西·南宁市三美学校九年级阶段练习）解方程2x2−4x−5=0．
【答案】x1=1+142，x2=1−142
【分析】利用配方法求解即可．
【详解】解：2x2−4x−5=0
移项，得：2x2−4x=5
配方，得：x2−2x+1=52+1，即x−12=72
直接开平方，得：x−1=±142
∴x1=1+142，x2=1−142
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【考点5 公式法解一元二次方程】
21．（2022·江苏·九年级专题练习）将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x•x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x3+1的值为（ ）
A．1+5B．1﹣5C．3﹣5D．3+5
【答案】D
【分析】用一元二次方程求根公式得x＝1±52，利用x2＝x+1，得x2+x+1＝（x+1）+x+1＝2x+2，代入即可求得．
【详解】解：x2﹣x﹣1＝0，
∵a=1,b=−1,c=−1，
∴△=b2−4ac=−12+4=5，
∴x＝1±52，且x2＝x+1，
∵x＞0，
∴x＝1−52，
∴x3+1＝x•x2+1
＝x（x+1）+1
＝x2+x+1
＝（x+1）+x+1
＝2x+2，
∴x3+1=2x+2=2⋅5+12+2=5+3．
故选：D．
【点睛】本题考查了整体降次的思想方法，但降次后得到的是x的代数式，还要利用一元二次方程求根公式求出x的值，代入化简后的2x+2中计算出结果．
22．（2022·江西·石城县教育局教研室二模）已知正整数x满足x2+5x+30是完全平方数，则x的值是_________．
【答案】1或21##21或1
【分析】设x2+5x+30=n2，利用求根公式得出4n2−95也是完全平方数，再由95=1×95或95=5×19，2n+k>2n−k，列方程求出n的值，再代入求根公式计算x的值即可；
【详解】解：设x2+5x+30=n2，∵方程x2+5x+30−n2=0有正整数解，
∴方程的根为：x=−5+4n2−952（负根舍去），
∵方程的根为整数，∴4n2−95也是完全平方数，
设4n2−95=k2，则4n2−k2=95，2n+k2n−k=95，
∵95=1×95或95=5×19，2n+k>2n−k，
∴2n+k=952n−k=1或2n+k=192n−k=5，解得：n=24或n=6，
当n=24时，代入x=−5+4n2−952得：x=21，
当n=6时，代入x=−5+4n2−952得：x=1，
故答案为：21或1；
【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，整数的运算规律，利用根是整数判断4n2−95也是完全平方数是解题关键．
23．（2022·全国·九年级专题练习）若代数式x+31|x|−21−2x有意义，则x的取值范围是 _____．
【答案】﹣3≤x≤12且x≠−4+25．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0；分母中有字母，分母不为0．
【详解】解：若代数式x+3|x|−21−2x有意义，
必有x+3≥0①x−21−2x≠0②1−2x≥0③，
解①得x≥−3
解②移项得x≠21−2x
两边平方得整理得x2+8x−4≠0
解得x≠−8±452=−4∓25
③x≤12
∴解集为﹣3≤x≤12且x≠−4+25．
故答案为：﹣3≤x≤12且x≠−4+25．
【点睛】本题考查了二次根式的概念：式子a（a≥0）叫二次根式，a（a≥0）是一个非负数．注意：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义；当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．
24．（2022·四川乐山·三模）解方程：x2+x=5+5．
【答案】x1=5，x2=−1−5
【分析】将原方程化为一般式，再给出a，b，c的值，用公式法求解即可．
【详解】解：化为一般式得：x2+x−5−5=0．
∵a＝1，b＝1，c＝−5−5，
∴Δ=b2−4ac=12−4×1×(−5−5)=1+20+45=(25+1)2>0，
∴原方程有两个不相等得实数根，
∴x=−b±b2−4ac2a=−1±(25+1)22=−1±(25+1)2，
∴x1=5，x2=−1−5．
【点睛】本题考查一元二次方程得解法，掌握配方法和公式法是解题得关键．公式法运用的结论是：当Δ=b2−4ac>0时，方程有两个不相等得实数根，x=−b±b2−4ac2a；当Δ=b2−4ac=0时，方程有两个相等得实数根，x1=x2=−b2a；当Δ=b2−4ac<0时，方程无解．
25．（2022·福建·福州三中晋安校区九年级阶段练习）解方程：2x2+4x−3=0．
【答案】x1=−2+102，x2=−2−102
【分析】先计算判别式的值，然后根据求根公式解方程．
【详解】解：2x2+4x−3=0
△=42−4×2×−3=40，
x=−4±402×2=−2±102，
∴x1=−2+102，x2=−2−102．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣公式法．解题的关键是掌握一元二次方程的求根公式．
【考点6 因式分解法解一元二次方程】
26．（2022·江苏·苏州工业园区金鸡湖学校一模）我们把抛物线上纵坐标是横坐标两倍的点叫做这条抛物线的“二倍点”（原点除外）．
(1)若抛物线y=x2+bx+4上只有唯一的“二倍点”，求b的值及“二倍点”的坐标；
(2)平移抛物线y=x2+bx+4，若所得新抛物线经过原点，且顶点是新抛物线的“二倍点”，求新抛物线的表达式．
【答案】(1)b=6时，“二倍点”的坐标为(−2,−4)，b=−2|时，“二倍点”的坐标为(2,4)
(2)y=x2+4x
【分析】（1）由题意可得“二倍点”在直线y=2x上，令x2+bx+4=2x，根据Δ=0求解．
（2）设新抛物线解析式为y=(x−ℎ)2+2ℎ，由抛物线经过原点求解．
【详解】（1）解：由题意得“二倍点”在直线y=2x上，
令x2+bx+4=2x，整理得x2+(b−2)x+4=0，
∴Δ=(b−2)2−16，
当Δ=0时，方程x2+(b−2)x+4=0有两个相等实数根，则抛物线y=x2+bx+4上只有唯一的“二倍点”，
∴(b−2)2−16=0，
解得b=6或b=−2．
当b=6时，x2+4x+4=0，
解得x1=x2=−2，
将x=−2代入y=2x中得y=−4，
当b=−2时，x2−4x+4=0，
解得x1=x2=2，
将x=21代入y=2x中得y=4，
∴b=6时，“二倍点”的坐标为(−2,−4)，b=−2时，“二倍点”的坐标为(2,4)．
（2）解：∵顶点是新抛物线的“二倍点”，
∴设平移后解析式为y=(x−ℎ)2+2ℎ，
将(0,0)代入y=(x−ℎ)2+2ℎ得0=ℎ2+2ℎ，
解得ℎ=0（舍）或ℎ=−2，
∴y=(x+2)2−4=x2+4x．
【点睛】本题考查了新定义问题，二次函数的平移，二次函数与方程的关系，解题关键是掌握二次函数图象与性质．
27．（2022·广东·广州市华师附中番禺学校三模）已知A=1−2x+1÷x2−2x+1x+1．
(1)化简A；
(2)若x是方程xx+2=x+2的解，求A的值．
【答案】(1)1x−1
(2)−13
【分析】（1）A括号内两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（2）利用因式分解法求出方程的解，代入A中计算即可．
（1）
A=x+1x+1−2x+1÷x−12x+1=x−1x+1·x+1x−12=1x−1；
（2）
方程移项得：xx+2−x+2=0，
因式分解得：x−1x+2=0，
解得：x=1或x=-2，
当x=1时，原式无意义；
当x=-2时，原式=−13．
【点睛】本题考查了分式化简和解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解方程是解题的关键．
28．（2022·浙江·舟山市第一初级中学一模）阅读下面的例题，
范例：解方程x2−|x|−2=0 ，
解：（1）当x≥0 时，原方程化为x2−x−2=0，解得：x1=2，x2=−1（不合题意，舍去）．
（2）当x＜0时，原方程化为x2+x−2=0，解得：x1=−2，x2=1（不合题意，舍去）．
∴原方程的根是x1=2，x2=−2，
请参照例题解方程x2−|x−1|−1=0
【答案】x1=1，x2=−2，
【分析】根据题意分两种情况，解方程即可求得．
【详解】解：x2−|x−1|−1=0，
（1）当x≥1时，原方程化为x2−x=0，解得：x1=1，x2=0（不合题意，舍去）．
（2）当x<1时，原方程化为x2+x−2=0，解得：x1=−2，x2=1（不合题意，舍去）．
故原方程的根是x1=1，x2=−2．
【点睛】本题考查了绝对值方程及一元二次方程的解法，熟练掌握和运用绝对值方程及一元二次方程的解法是解决本题的关键．
29．（2022·浙江杭州·一模）以下是小明在解方程(x+2)(x−3)=3−x时的解答过程．
解原方程可化为(x+2)(x−3)=−(x−3)，
解得原方程的解是x=−3．
小明的解答是否有错误？如果有错误，请你指出来并写出正确的解答过程．
【答案】小明的解答有错误，忽略了x−3=0的情况，正确的解答见解析
【分析】有错误，忽略了x-3=0的情况，写出正确的解答过程即可．
【详解】小明的解答有错误，忽略了x−3=0的情况，正确的解答为：
将方程，可化为：(x+2)(x−3)=−(x−3)，
移项，得：(x+2)(x−3)+(x+3)=0，
分解因式，得：(x−3)(x+3)=0，
所以x−3=0或x+3=0，
解之，得：x1=3,x2=−3．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解本题的关键．
30．（2022·四川泸州·一模）解方程：(2x﹣1)2＝(3﹣x)2
【答案】x1=−2,x2=43
【分析】先移项，再利用平方差公式分解后得到两个一元一次方程，求解即可．
【详解】解：(2x−1)2=(3−x)2
(2x−1)2−(3−x)2=0
(2x−1+3−x)(2x−1−3+x)=0
(x+2)(3x−4)=0
x+2=0或3x−4=0
x1=−2, x2=43．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，此题难度不大，解题的关键是选择适当的解题方法．
【考点7 换元法解一元二次方程】
31．（2022·内蒙古呼和浩特·二模）“通过等价变换，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式．例如：解方程x－x＝0，就可利用该思维方式，设x＝y，将原方程转化为：y2－y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x．这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下列问题：
（1）填空：若2（x2+y2）2+（x2+y2）＝0，则x2+y2的值为 ；
（2）解方程：x2－x+2x2−x－8＝0．
【答案】（1）0；（2）x1=1+172，x2=1−172
【分析】（1）设x2+y2=mm≥0，则原方程可以转变成2m2+m=0，求出这个一元二次方程即可得到答案；
（2）设x2−x=tt≥0，则原方程可以转变成t2+2t−8=0，求出t，再求出x即可.
【详解】解：（1）设x2+y2=mm≥0，则原方程可以转变成2m2+m=0
∴2mm+1=0
解得m=0或m=−1（舍去）
∴m=0
∴x2+y2=m=0
（2）设x2−x=tt≥0，则原方程可以转变成t2+2t−8=0
∴t+4t−2=0
解得t=2或t=−4（舍去）
∴t=2
∴x2−x=t=2
∴x2−x=4
∴x2−x+14=174即x−122=174
解得x=12±172
∴x1=1+172，x2=1−172
【点睛】本题主要考查了用换元法解方程，解题的关键在于能够利用非负性去掉增根，以及熟练掌握解一元二次方程的方法.
32．（2022·广东揭阳·一模）小颖用下面的方法求出方程2x−3=0的解．
请你仿照小颗的方法求出方程x+2x−3=0的解．
【答案】x=1
【分析】结合题中给出的方法，利用换元法，令x=t，则t2+2t−3=0，将方程求出t（注意t>0），即可求出x．
【详解】解：令x=t，则t2+2t−3=0，
∴(t−1)(t+3)=0
∴t－1=0或t+3=0
∴t=1或t=－3，
检验：t=1>0，符合题意；t=－3<0，不符合题意，
∴x=1，
∴x=1．
【点睛】本题主要考查的是利用换元法解一元二次方程，注意求解的取值范围．
33．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）解方程x−12−5x−1+4=0时，我们可以将x−1看成一个整体，设x−1=y，则原方程可化为y2−5y+4=0,解得y1=1,y2=4，当y=1时，即x−1=1，解得：x=2；当y=4时，即x−1=4,解得：x=5，所以原方程的解： x1=2,x2=5
请利用这种方法求方程2x+52−72x+5+12=0的解
【答案】x1＝−1，x2＝−12
【分析】先设2x＋5＝y，则方程即可变形为y2−7y＋12＝0，解方程即可求得y即（2x＋5）的值．
【详解】解：设2x＋5＝y，则原方程可化为y2−7y＋12＝0，
所以 （y−3）（y−4）＝0
解得y1＝3，y2＝4．
当y＝3时，即2x＋5＝3，
解得x＝−1；
当y＝4时，即2x＋5＝4，
解得x＝−12，
所以原方程的解为：x1＝−1，x2＝−12．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程．我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
34．（2022·福建泉州·中考模拟）阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．
当y=1时，x2=1，∴x=±1；
当y=4时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用_______法达到_______的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程(x2+x)2﹣4(x2+x)﹣12=0．
【答案】（1）换元，降次；（2）x1=﹣3，x2=2
【分析】（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程．
（2）利用题中给出的方法先把x2+x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程．
【详解】解：（1）换元，降次
（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，
解得y1=6，y2=﹣2．
由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．
由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，
b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．
所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．
【点睛】本题应用了换元法，把关于x的方程转化为关于y的方程，这样书写简便且形象直观，并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便．
35．（2022·重庆巴蜀中学三模）阅读下列材料：
已知实数m，n满足(2m2+n2+1)(2m2+n2-1)=80，试求2m2+n2的值．
解：设2m2+n2=t，则原方程变为(t+1)(t-1)=80，整理得t2-1=80，t2=81，∴t=±9．
因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2=9．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x，y满足(2x2+2y2+3)(2x2+2y2-3)=27，求x2+y2的值．
（2）若四个连续正整数的积为11880，求这四个连续正整数．
【答案】（1）3；（2）9，10，11，12
【分析】（1）设2x2+2y2=t，则原方程化为（t+3）（t-3）=27，求出t，再求出x2+y2即可；
（2）设四个连续正整数为k-1，k，k+1，k+2（k≥2且k为整数），并同理利用换元法解方程即可．
【详解】解：（1）设2x2+2y2=t，则原方程变为(t+3)(t-3)=27，
整理得t2-9=27，t2=36，t=±6
∵2x2+2y2≥0，
∴2x2+2y2=6，
∴x2+y2=3；
（2）设四个连续正整数为k-1，k，k+1，k+2（k≥2且k为整数），由题意得：
(k-1)k(k+1)(k+2)=11880，
∴(k-1)(k+2)·k(k+1)=11880，
∴(k2+k-2)(k2+k)=11880，
令a=k2+k.则(a-2)a=11880，a2-2a-11880=0 ，
∴a1=110，a2= -108（舍），
则k2+k=110，解得k1=10，k2= -11（舍），
综上四个连续正整数为9，10，11，12.
【点睛】本题考查了解一元二次方程、解高次方程和分解因式等知识点，能正确进行换元是解此题的关键．
【考点8 根的判别式】
36．（2022·四川·南充市实验中学模拟预测）关于x的一元二次方程x2−k+2x+2k=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程两根x1、x2与且x12+x22=20，求k的值．
【答案】(1)见解析
(2)k=4 或k=−4
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出Δ≥0 ，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系，可以得到x1+x2=k+2 ，x1x2=2k ，再将它们代入x12+x22=x1+x22−2x1x2=20，即可求出k的值．
【详解】（1）解：由方程x2−k+2x+2k=0，
∵Δ=k+22−8k
=k2−4k+4
=k−22≥0，即Δ≥0，
∴ 无论k取何值时，方程总有两个实数根；
（2）解：∵x1+x2=k+2，x1⋅x2=2k，
又x12+x22=x1+x22−2x1⋅x2 ，
把x1+x2=k+2，x1⋅x2=2k代入上式：x12+x22=k+22−4k
∵x12+x22=20，
∴k+22−4k=20 整理得：k2=16，
解得：k=4 或k=−4．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式（Δ=b2−4ac）和根与系数的关系，关键知识点：Δ＞0等价于方程有两个不相等的实数根；Δ=0等价于方程有两个相等的实数根；Δ＜0等价于方程没有实根；韦达定理：x1+x2=−ba，x1x2=ca．
37．（2022·北京市三帆中学模拟预测）已知：关于x的一元二次方程x2−4x+2m=0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求该方程的根．
【答案】(1)m<2
(2)x1=0，x2=4
【分析】（1）利用根的判别式的意义得到Δ=(−4)2−4×2m>0，然后解不等式即可；
（2）在（1）中m的范围内可得到m为0或1，则方程变为x2−4x=0或x2−4x+2=0，然后解方程即可．
（1）
解：根据题意得Δ=(−4)2−4×2m=16−8m>0，
解得m<2．
故m的取值范围为m<2；
（2）
解：由（1）知m<2，
∵m为非负整数，
∴m为0或1，
当m=0时，方程为x2−4x=0，
解得x1=0，x2=4，
当m=1时，方程为x2−4x+2=0，
解得x3=2−2，x4=2+2，
∵该方程的根都是整数，
∴x3=2−2，x4=2+2不合题意，舍去，
∴该方程的根为x1=0，x2=4．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根的判别式Δ=b2−4ac，解题的关键是掌握“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根”．
38．（2022·四川成都·三模）若方程x2+（m﹣4）x+134﹣m＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜214，则m的取值范围为多少？
【答案】﹣2＜m＜1或3＜m＜7
【分析】由方程有两个不相等实数根结合根的判别式即可得出关于m的不等式，解不等式即可得出m的取值范围，结合根与系数的关系可得出关于m的不等式，解不等式可得出答案．
【详解】解：∵方程x2+（m﹣4）x+134﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＝(m﹣4)2﹣4×134−m＞0，
整理得：m2−4m+3>0，
即(m−3)(m−1)>0，
根据乘法法则得：m−3>0m−1>0或m−3<0m−1<0，
解前一不等式组得：m＞3；解后一不等式组得：m＞1，
∴原不等式的解集为：m＞3或m＜1；
由题意得x1+x8＝−ba＝（4﹣m）＞﹣3，
解得m＜7；
∵x1x2＝ca=134−m<214，
解得m＞﹣2．
综上所述，﹣2＜m＜1或3＜m＜7．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，根据题意得出关于m的不等式是解题的关键
39．（2022·云南·一模）已知关于x的方程x2−(2k+1)x+4(k−12)=0
(1)求证：无论k取什么实数，这个方程总有实数根；
(2)若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两个根，求三角形ABC的周长；
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可；
（2）用因式分解法解方程x2−(2k+1)x+4(k−12)=0可得x1=2，x2=2k−1；然后分类讨论即可；
【详解】（1）证明：∵Δ=−(2k+1)2−4×4(k−12)=(2k−3)2≥0
∴无论k取什么实数，这个方程总有实数根
（2）解：原方程可化为：(x−2)(x−2k+1)=0
∴x−2=0或x−2k+1=0
∴x1=2，x2=2k−1
当x1=x2=2时，三角形ABC的三边长为：2、2、4，不存在此三角形；
当x1≠x2时，，三角形ABC的三边长为：2、4、4；
此时，三角形ABC的周长为：2+4+4=10
故三角形ABC的周长为10
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法、等腰三角形的性质；熟练掌握一元二次方程的解法和分类讨论思想是解题的关键．
40．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2−(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根．
(1)求证：无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长．
【答案】(1)见解析；
(2)当k等于4或3时，△ABC是等腰三角形；当k=4时，△ABC的周长为16，当k=3时，△ABC的周长为14．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式求得Δ﹥0 即可证明；
（2）由（1）可得BC边为腰，先解方程，再分类讨论即可求出k值和三角形周长．
【详解】（1）证明：∵ Δ=(2k+3)2−4(k2+3k+2)=4k2+12k+9−4k2−12k−8=1＞0
∴无论k为何值，原方程总有两个不相等的实数根．
（2）解方程x2−（2k+3）x+k2+3k+2=0，得x1=k+1，x2=k+2．
当x1=k+1=5时，k=4，则x2=k+2=6，
此时等腰△ABC的周长为：5+5+6=16；
当x2=k+2=5时，k=3，则x1=k+1=4，
此时等腰△ABC的周长为：5+5+4=14；
综上，当k=4时，等腰△ABC的周长为16，当k=3时，等腰△ABC的周长为14．
【点睛】本题考查了根的判别式，解一元二次方程以及等腰三角形的判定，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
【考点9 根与系数的关系】
41．（2022·宁夏·银川英才学校二模）阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x，y，z构成“和谐三数组”．
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根分别为x1，x2，则有x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
问题解决：
(1)请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数，并写出理由过程；
(2)若x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c=0 (a，b，c均不为0)的两根，x3是关于x的方程bx+c=0 (b，c均不为0)的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
(3)若A(m，y1)，B(m+1，y2)，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数y=4x的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
【答案】(1)12，13，15，理由见解析
(2)见解析
(3)−2或4或2
【分析】（1）根据“和谐三数组”写成一组即可得出结论；
（2）先根据材料2，得出1x1+1x2=−bc，再求出一元一次方程的解，进而得出1x3=−bc，即可得出结论；
（3）先用m表示出y1，y2，y3，进而表示出它们的倒数，再根据“和谐三数组”分三种情况，建立方程求解即可得出结论．
【详解】（1）根据题意得，能构成“和谐三数组”的实数：12，13，15，
理由：12的倒数为2，13的倒数为3，15的倒数为5，2+3=5
∴12，13，15，能构成“和谐三数组”，
（2）证明：∵x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c均不为0)的两根，
∴x1+x2=−ba,x1⋅x2=ca，
∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=−bc，
∵x3是关于x的方程bx+c=0 (b，c均不为0)的解，
∴x3=−cb，
∴1x3=−bc，
∴1x1+1x2=1x3，
∴x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）∵A（m,y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三个点均在反比例函数y=4x的图象上，
∴y1=4m,y2=4m+1,y3=4m+3，
∴1y1=m4,1y2=m+14,1y3=m+34，
∵A（m,y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，
∴①1y1+1y2=1y3，
即m4+m+14=m+34，
解得m=2，
②1y2+1y3=1y1，
∴m+14+m+34=m4，
∴m=−4，
③1y3+1y1=1y2，
∴m+34+m4=m+14，
∴m=−2，
即满足条件的实数m的值为2或−4或−2．
【点睛】此题主要考查了新定义的理解和运用，一元二次方程根与系数的关系，一元一次方程的解的定义，反比例函数图象上点的坐标特征，利用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
42．（2022·湖北十堰·三模）已知，关于x的一元二次方程x2−2a−1x+a2−a=0，
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程两根的绝对值相等，求a的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)12
【分析】（1）只需证明Δ>0即可；
（2）利用根与系数的关系列出两根之和的表达式，因为两根互为相反数，故由两根之和等于0即可求出a的值．
(1)
解：∵ Δ=−(2a−1)2−4(a2−a)=1>0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
(2)
解：∵ x1≠x2，且x1=x2，
∴ x1=−x2，即x1+x2=0，
∴ 2a−1=0，
解得a=12．
【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式，一元二次方程根与系数的关系，牢记x1+x2=−ba是解决本题的关键．
43．（2022·江苏扬州·二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅岭点”．
(1)若点P(3,p)是一次函数y=mx+6的图象上的“梅岭点”，则m=______________；若点P(m,m)是函数y=3x−2的图象上的“梅岭点”，则m=_____________；
(2)若点P(p,−2)是二次函数y=x2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式；
(3)若二次函数y=ax2+bx+c（a，b是常数，a>0）的图象过点(0,2)，且图象上存在两个不同的“梅岭点”Ax1,x1,Bx2,x2，且满足−1【答案】(1)−1，3或−1；
(2)y=x2+5x+4；
(3)k<−379
【分析】（1）根据“梅岭点”的定义，P(3,p)的横纵坐标相等，即p=3m+6=3；P(m,m)的横纵坐标相等，即m=3m−2，分别求解即可；
（2）由题意，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x的唯一交点为P(−2,−2)，即x2+bx+c=x有两个相等的根-2，方程x2+(b−1)x+c=0可写为(x+2)2=0，对比两个方程的系数，即可求出b，c;
（3）先由“梅岭点”的定义证明x1,x2是方程ax2+(b−1)x+2=0的两个根，利用根与系数的关系得出x1+x2=1−ba，x1⋅x2=2a，进而利用x1−x2=2推出k=−b2+2b+2=−4a2−8a+3=−4(a+1)2+7，再由−1（1）
解：∵点P(3,p)是一次函数y=mx+6的图象上的“梅岭点”，
∴p=3m+6=3，
解得m=−1；
∵点P(m,m)是函数y=3x−2的图象上的“梅岭点”，
∴m=3m−2，
整理得m2−2m−3=0，
解得m1=3，m2=−1，
经检验，m1=3，m2=−1是m=3m−2的根，
∴m=3或−1，
故答案为：−1；3或−1；
（2）
解：∵点P(p,−2)是二次函数y=x2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，
∴P(−2,−2)，
即抛物线y=x2+bx+c与直线y=x的唯一交点为P(−2,−2)，
∴方程x2+bx+c=x的根为x1=x2=−2，
即方程x2+(b−1)x+c=0可写为(x+2)2=0，
∴x2+(b−1)x+c=x2+4x+4，
∴b=5，c=4，
∴二次函数的表达式为y=x2+5x+4；
（3）
解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a，b是常数，a>0）的图象过点(0,2)，
∴c=2，
∴y=ax2+bx+2，
∵ y=ax2+bx+2图象上存在两个不同的“梅岭点”Ax1,x1,Bx2,x2，
∴x1=ax12+bx1+2，x2=ax22+bx2+2，
∴ax12+(b−1)x1+2=0，ax22+(b−1)x2+2=0，
∴x1,x2是方程ax2+(b−1)x+2=0的两个根，
∴x1+x2=1−ba，x1⋅x2=2a，
∵x1−x2=2，
∴(x1−x2)2=4，
∴(x1+x2)2−4x1x2=(1−ba)2−4×2a=4，
∴b2−2b+1−8a=4a2，
∴k=−b2+2b+2=−4a2−8a+3=−4(a+1)2+7，
∵x1−x2=2，
∴x1−x2=2或x2−x1=2，
∵−1∴−3∴−3∴−3<2a<3，
∵a>0，
∴a>23，
∴−4(a+1)2+7<−4×(23+1)2+7=−379，
∴k<−379．
【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系、方程的根与系数的关系、解不等式等知识点，熟练运用数形结合思想是解题的关键．
44．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m﹣3＝0的两个根为a，b．
(1)若a，b分别为矩形的两条对角线的长，求m的值；
(2)若a，b分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为4，求m的值．
【答案】(1)m＝12
(2)m＝11
【分析】（1）根据矩形的对角线相等可得a=b，进而根据一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得a·b＝m-3，根据菱形的性质列出一元一次方程，解方程求解即可
【详解】（1）∵a，b分别为矩形的两条对角线的长
∴a＝b
∴Δ＝(﹣6)2－4(m-3)＝0
m＝12
（2）根据根与系数关系 得：a·b＝m-3
∵S菱形＝12a·b＝4
∴12(m-3)＝4
∴m＝11
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系是解题的关键．
45．（2022·湖北黄石·一模）阅读材料：
材料1：若一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个根为x1，x2则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
材料2：已知实数m，n满足m2−m−1=0，n2−n−1=0，且m≠n，求nm+mn的值．
解：由题知m，n是方程x2−x−1=0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n=1，mn=−1，所以nm+mn=m2+n2mn=m+n2−2mnmn=1+2−1=−3
根据上述材料解决以下问题：
(1)材料理解：一元二次方程5x2+10x−1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=___________，x1x2=____________．
(2)类比探究：已知实数m，n满足7m2−7m−1=0，7n2−7n−1=0，且m≠n，求m2n+mn2的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t分别满足7s2+7s+1=0，t2+7t+7=0，且st≠1．求2st+7s+2t的值．
【答案】(1)−2；−15；
(2)−17；
(3)-1
【分析】（1）直接根据根与系数的关系可得答案；
（2）由题意得出m、n可看作方程7x2−7x−1=0，据此知m+n=1，mn=−17，将其代入计算可得；
（3）把t2+7t+7=0变形为1+7⋅1t+7⋅1t2=0，据此可得实数s和1t可看作方程7x2+7x+1=0的两根，继而知s+1t=−1，s⋅1t=17，进一步代入计算可得．
【详解】（1）x1+x2=−105=−2，x1x2=−15；
故答案为−2；−15；
（2）∵7m2−7m−1=0，7n2−7n−1=0，且m≠n，
∴m、n可看作方程7x2−7x−1=0，
∴m+n=1，mn=−17，
∴ m2n+mn2=mn(m+n)=−17×1=−17；
（3）把t2+7t+7=0变形为1+7⋅1t+7⋅1t2=0，
实数s和1t可看作方程7x2+7x+1=0的两根，
∴ s+1t=−1，s⋅1t=17，
∴ 2st+7s+2t
=2s+7⋅st+2t
=2(s+1t)+7⋅st
=2×−1+7×17
=−1．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则．
【考点10 配方法的应用】
46．（2022·江苏盐城·三模）已知a=12014x+2013，b=12014x+2014，c=12014x+2015，求代数式2a2+b2+c2−ab−bc−ac的值．
【答案】6
【分析】由题意求出a−b，a−c，b−c的值，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值．
【详解】解：∵a=12014x+2013，b=12014x+2014，c=12014x+2015，
∴a−b=−1，a−c=−2，b−c=−1，
则原式=a2−2ab+b2+a2−2ac+c2+b2−2bc+c2 =(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2=1+4+1=6．
【点睛】本题考查了配方法的应用，得出2a2+b2+c2−ab−bc−ac =(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2是解题的关键．
47．（2022·浙江杭州·一模）已知M＝x2﹣3，N＝4（x﹣32）．
（1）当x＝﹣1时，求M﹣N的值；
（2）当1＜x＜2时，试比较M，N的大小．
【答案】（1）8；（2）M【分析】（1）根据整式的加减混合运算法则把原式化简，代入计算即可；
（2）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答．
【详解】（1）M﹣N＝（x2﹣3）﹣（4x﹣6）
＝x2﹣3﹣4x+6
＝x2﹣4x+3，
当x＝﹣1时，原式＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）+3＝8；
（2）M﹣N＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∵1＜x＜2
∴﹣1＜x﹣2＜0，
∴0＜（x﹣2）2＜1，
∴（x﹣2）2﹣1＜0，
∴M＜N．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
48．（2022·河北·开滦第二中学三模）阅读材料：我们知道：若几个非负数相加得零，则这些数都必同时为零．
例如：①（a﹣1）2+（b+5）2=0，我们可以得：（a﹣1）2=0，（b+5）2=0，∴a=1，b=-5．
②若m2-4m+n2+6n+13=0，求m、n的值．
解：∵m2-4m+n2+6n+13=0，
∴（m2﹣4m+4)+(n2+6n+9)=0(我们将13拆成4和9，等式左边就出现了两个完全平方式）
∴(m﹣2)2+(n+3)2=0，
∴(m﹣2)2=0，(n+3)2=0，
∴ n=2，m=-3．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）a2﹣4a+4+b2=0，则a= ．b= ．
（2）已知x2+2xy+2y2－6y+9=0,求xy的值．
（3）已知a、b（a≠b）是等腰三角形的边长，且满足2a2+b2﹣8a﹣6b+17=0，求三角形的周长．
【答案】（1）a= 2 ，b= 0；（2）xy=-27；（3）当a为腰时，周长为7，当b为腰时，周长为8.
【分析】（1）由题意给出的运算公式即可解答
（2）根据完全平方公式，再根据非负数的性质进行解答即可
（3）同（2）根据完全平方公式求出a,b的值，再根据情况分类讨论等腰三角形的腰长即可解答
【详解】（1）a2﹣4a+4+b2=0，则a= 2 ．b= 0 ．
（2）解:∵x2+2xy+2y2－6y+9=0,
∴x2+2xy+y2+y2－6y+9=0
∴(x+y)2+(y－3)2=0
∴x+y=0, y－3 =0
∴ y=3，x=-y=-3,
∴ xy=(-3)3=-27
（3）∵2a2+b2﹣8a﹣6b+17=0，
∴2a2﹣8a+8+b2﹣6b+9=0
∴2(a2﹣4a+4)+b2﹣6b+9=0
∴2(a﹣2)2+(b-3)2=0
∴ a﹣2=0, b-3 =0
∴ a=2，b=3,
当a为腰时，周长为7，
当b为腰时，周长为8.
【点睛】此题考查配方法的应用，利用完全平方公式是解题关键
49．（2022·河北·宽城满族自治县教研室模拟预测）已知两个整式A=2a2+5a，B=−3a−4．
(1)若A与B互为相反数，求a的值；
(2)已知m为常数，若A，B，m相加之和的最小值为1，求m的值．
【答案】(1)-2或1
(2)112
【分析】（1）根据相反数的定义得到A+B=2a2+2a-4=0，解方程得出结果；
（2）列式子结合配方法得到A+B+m=2a2+2a-4+m=2a+122+m−92，得到m−92=1求出m值．
(1)
解：∵A与B互为相反数，
∴A+B= 2a2+5a+（−3a−4）
= 2a2+5a−3a−4
= 2a2+2a-4=0，
解得a1=-2，a2=1；
(2)
∵A+B+m=2a2+2a-4+m=2a+122+m−92 ≥1，
∴m−92=1 ，
m=112
故m值为112．
【点睛】本题考查配方法及利用因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法解出方程是解决问题的关键．
50．（2022·四川达州·中考真题）选取二次三项式ax2+bx+c(a≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如
①选取二次项和一次项配方：x2−4x+2=(x−2)2−2；
②选取二次项和常数项配方：x2−4x+2=(x−2)2+(22−4)x，
或x2−4x+2=(x+2)2−(4+22)x
③选取一次项和常数项配方：x2−4x+2=(2x−2)2−x2
根据上述材料，解决下面问题：
（1）写出x2−8x+4的两种不同形式的配方；
（2）已知x2+y2+xy−3y+3=0，求xy的值．
【答案】解：（1），
或x2−8x+4=x2−4x+4−8x+4x=(x−2)2−4x．
（2）∵x2+y2+xy−3y+3=0，
∴x2+xy+y24+3y24−3y+3=0，即(x+y2)2+34(y−2)2=0．
∴{x+y2=0y−2=0，解得{x=−1y=2．
∴xy=(−1)2=1．
【详解】试题分析：（1）根据配方法的步骤根据二次项系数为1，常数项是一次项系数的一半的平方进行配方和二次项和常数项在一起进行配方即可．（答案不唯一）
（2）根据配方法的步骤把x2+y2+xy−3y+3=0变形为(x+y2)2+34(y−2)2=0，再根据偶次幂的非负性质得到{x+y2=0y−2=0，求出x，y的值，即可得出答案．
【考点11 根据实际问题抽象出一元二次方程】
51．（2022·浙江杭州·二模）如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的13．设观花道的直角边（如图所示）为x，则可列方程为（ ）
A．10+x9+x=30B．10+x9+x=60
C．10−x9−x=30D．10−x9−x=60
【答案】D
【分析】直接利用直角三角形面积求法列出方程即可．
【详解】解：由题意可得：10−x9−x=10×91−13，
即10−x9−x=60，故D正确．
故选：D
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程，难度不大．
52．（2022·河南·模拟预测）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排共计28场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛?若设应邀请x个队参赛，可列出的方程为（ ）
A．x(x+1)=28 B．x(x−1)=28
C．12x(x+1)=28D．12x(x−1)=28
【答案】D
【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=28，把相关数值代入即可．
【详解】每支球队都需要与其他球队赛x−1场，但两个队之间只有1场比赛，
∴可列方程：12x(x−1)=28，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意两队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．
53．（2022·四川巴中·一模）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A．200(1+x)2=1000B．200+200×2x＝1000
C．200+200×3x＝1000D．200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000
【答案】D
【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，利用等量关系：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可．
【详解】解：∵该超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为x，
∴该超市二月份的营业额为200（1+x）万元，三月份的营业额为200(1+x)2万元，
又∵第一季度的总营业额共1000万元，
∴200+200(1+x)+200(1+x)2=1000，
即200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．
54．（2022·广东深圳·二模）一桶油漆能刷1500dm2的面积，用它恰好刷完10个同样的正方体形状盒子的全部外表面．设其中一个盒子的棱长为xdm，则可列出方程：______．
【答案】10×6x2=1500
【分析】正方体盒子的外表面是由6个边长相等的正方形围成的，设正方体的棱长是xdm，根据题意得出方程即可求解．
【详解】解：设正方体的棱长是xdm，
则10×6x2=1500，
故答案为：10×6x2=1500
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
55．（2022·山东·武城县教育教学研究中心一模）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为_____．
【答案】x（x﹣12）＝864．
【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵长为x步，宽比长少12步，
∴宽为（x﹣12）步．
依题意，得：x（x﹣12）＝864．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【考点12 一元二次方程的应用】
56．（2022·安徽·郎溪实验一模）甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m．
(1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？
(2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？
【答案】(1)7分钟
(2)15分钟
【分析】（1）根据题意先设n分钟后第1次相遇，利用数列求和知识得到关于n的方程，解此方程即可得甲、乙开始运动后几分钟相遇；
（2）先设n分钟后第2次相遇，依路程关系得到一个关于n的方程，解方程即得第2次相遇是在开始后多少分钟．
（1）
解：设n分钟后第1次相遇，依题意，有nn+32+5n＝70，
整理得n2+13n﹣140＝0，
解得n＝7，n＝﹣20（不符合题意，舍去）
第1次相遇是在开始后7分钟．
答：甲、乙开始运动后7分钟第一次同时到达同一位置；
（2）
解：设n分钟后第2次相遇，依题意，有nn+32 +5n＝3×70，
整理得n2+13n﹣420＝0，
解得n＝15，n＝﹣28（不符合题意，舍去）
故第2次相遇是在开始后15分钟．
答：开始运动后15分钟第二次同时到达同一位置．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，设恰当未知数，列出方程是解题的关键．
57．（2022·重庆十八中两江实验中学一模）甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长2000米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米，隧道施工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道施工成本为8万元．
（1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的43，求甲最多施工多少米？
（2）实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖12m米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖14m米，若最终每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，求m的值．
【答案】（1）1000米；（2）4
【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（2000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的43，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（2000-x）米，
依题意，得：8（2000-x）≥43×6x，
解得：x≤1000．
答：甲最多施工1000米．
（2）依题意，得：（6+m）（6+12m）+8（6-14m）=6×（6+8）+11m-8，
整理，得：m2-8m+16=0，
解得：m1=m2=4．
答：m的值为4．
【点睛】考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
58．（2022·重庆市第三十七中学校二模）草莓是大家非常喜欢的水果，3月份是草莓上市的旺季．某水果超市销售草莓，第一周每千克草莓的销售单价比第二周销售单价高10元，该水果超市这两周共销售草莓180千克，且第一周草莓的销量与第二周的销量之比为4:5，该水果超市这两周草莓销售总额为11600元．
(1)第二周草莓销售单价是每千克多少元？
(2)随着草莓的大量上市，3月份第三周，草莓定价与第二周保持一致，且该水果超市推出会员优惠活动，所有的会员均可享受每千克直降a元的优惠，而非会员需要按照原价购买，第三周草莓的销量比第二周增加了20%，其中通过会员优惠活动购买的销量占第三周草莓总销量的a6，而第三周草莓的销售总额为(6200+100a)元，求a的值．
【答案】(1)60；
(2)5．
【分析】（1）设第一周草莓销售单价是每千克x元，第二周草莓销售单价是每千克y元，然后根据题意，列出关于x,y的二元一次方程组，求解即可；
（2）根据第三周草莓的销售总额为(6200+100a)元，列出关于a的一元二次方程，然后求解即可．
【详解】（1）解：设第一周草莓销售单价是每千克x元，第二周草莓销售单价是每千克y元，
根据题意，得x−y=10180×49×x+180×59×y=11600，
解得x=70y=60，
答：第二周草莓销售单价是每千克60元；
（2）解：根据题意，3月份第三周的销售单价是60元/千克，
3月份第三周的销售量为180×59×(1+20%)=120千克，
其中会员购买的销量为：120×a6=20a千克，非会员购买的销量为：(120−20a)千克；
∵第三周草莓的销售总额为(6200+100a)元，
∴ 20a×(60−a)+(120−20a)×60=6200+100a，
整理，得a2+5a−50=0，
∴a=5或a=−10（不符合题意，舍去），
∴a的值为5．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用，解答此题的关键是根据题意准确列出二元一次方程组和一元二次方程．
59．（2022·安徽淮南·一模）一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数是多少？
【答案】这个两位数是36或25.
【分析】设个位数字为x，那么十位数字是（x-3），这个两位数是[10（x-3）+x]，然后根据个位数字的平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解．
【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为(x-3)，
由题意，得x2=10(x-3)+x.
解得x1=6，x2=5.
当x=6时，x-3=3；当x=5时，x-3=2.
答：这个两位数是36或25.
60．（2022·广东茂名·二模）如图，某养猪户想用29米长的围栏设计一个矩形的养猪圈，其中猪圈一边靠墙MN，另外三边用围栏围住，在BC边开个门（宽度为1米），MN的长度为15m，
(1)为了让围成的猪圈（矩形ABCD）面积达到112m2，请你帮忙计算一下猪圈的长与宽分别是多少？
(2)当猪圈的长与宽分别是多少时，猪圈的面积达到最大？
【答案】(1)长是14米，宽是8米
(2)猪圈的长是15米，宽是152米时，猪圈的面积最大，为2252米
【分析】（1）设猪圈的长为30−2xm，则宽为xm，其中x≥152，根据S矩形ABCD=30−2xx=112，计算求出满足要求的x的值，进而可得结果；
（2）由（1）可知S矩形ABCD=30−2xx=−2x2+30x=−2x−152+2252，根据二次函数的性质可确定最大值时的x值，进而可得结果．
（1）解：设猪圈的长为30−2xm，则宽为xm，其中x≥152，
∴矩形ABCD的面积S矩形ABCD=30−2xx=112，
∴x−7x−8=0，
解得x=7（不合题意，舍去），或x=8，
∴30−2x=30−2×8=14，
∴猪圈的长为14m，宽为8m．
（2）解：由（1）可知S矩形ABCD=30−2xx=−2x2+30x=−2x−1522+2252，
∵−2<0，
∴当x=152时，S矩形ABCD最大，
∴30−2x=30−2×152=15，
∴猪圈的长为15m，宽为152m时，猪圈的面积最大，最大值为2252m2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值等知识．解题的关键在于根据题意列等式. 方程
换元法得新方程
解新方程
检验
求原方程的解
2x−3=0
令x=t，则2t−3=0
t=32
t=32>0
x=32，所以x=94