2025届高中数学二轮复习 提优点2 极值点偏移（课件+练习）

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类型二　比(差)值换元
要证x1＋x2>2，只需证x2>2－x1，因为x11，下面证明g(x1)＝g(x2)>g(2－x1).即证g(x1)>g(2－x1)，设t(x)＝g(2－x)－g(x)，x∈(0，1)，则t′(x)＝－g′(2－x)－g′(x)，t′(x)＝－2ln(2－x)－2ln x＝－2ln[(2－x)x]>0，故t(x)在(0，1)上单调递增，故t(x)2，且h(x)在(2，＋∞)上单调递增，所以只需证h(x2)>h(4－x1).因为h(x1)＝h(x2)，所以即证h(x1)>h(4－x1).令F(x)＝h(x)－h(4－x)＝x－ln(x－1)－(4－x)＋ln(3－x)＝2x－4－ln(x－1)＋ln(3－x)，x∈(1，2)，
所以F(x)在(1，2)上单调递减，则F(x)>F(2)＝0，所以h(x1)>h(4－x1)，即h(x2)>h(4－x1)，故x1＋x2>4.
因为x>0，ex>0，所以k′(x)>0，故函数k(x)在(0，＋∞)上单调递增，故k(x)>1＋(0－1)×e0＝0，所以m′(x)>0，故函数m(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以m(x)>0＋2＋(0－2)×e0＝0，即当x>0时，x＋2＋(x－2)ex>0.原不等式得证.
1.已知函数f(x)＝xln x－x，两相异正实数x1，x2满足f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2.
f′(x)＝ln x，当x∈(0，1)时，f(x)单调递减；当x>1时，f(x)单调递增，且f(1)＝－1，如图所示，不妨设x12－x1，只需要证f(2－x1)