2025届高中数学二轮复习 板块三 数列 提优点8　数列中的放缩问题（课件+练习）

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类型一　先求和再放缩证明不等式
类型二　先放缩通项再求和证明不等式
类型三　通项放缩与求值
对于数列和的不等式，若和易求，一般先求和，再放缩证明.
(2024·沈阳模拟)已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋nan＝(n－1)·2n＋1＋2.(1)求{an}的通项公式；
由题意可知，当n＝1时，a1＝2；当n≥2时，由a1＋2a2＋…＋nan＝(n－1)·2n＋1＋2得，a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)·2n＋2，两式作差可得，nan＝(n－1)·2n＋1－(n－2)·2n＝n·2n，∴an＝2n，a1＝2也适合该式，故an＝2n.
此类不等式一般另一端为常数，求和以后常利用去项放缩或利用函数的单调性放缩.
若数列和的不等式不易求和，一般先适当放缩通项，然后累加求和.
(2024·丽水调研)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，2Sn＝n2＋n(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；
因为2Sn＝n2＋n，①当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)2＋n－1，②所以①－②得到2an＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，即an＝n，又a1＝1，满足an＝n，所以an＝n.
此类题型关键是如何放缩数列的通项，需要熟悉常见的放缩技巧及结论.
(1)通项放缩确定新数列；(2)先放缩再求和式子的应用.
1.通项放缩确定新数列注意解相关不等式；2.先放缩再求和式子的应用，应注意考虑所得式子的性质.
2.(2024·重庆诊断)已知数列{an}满足a1＝1，a2n＋1＝a2n＋1，a2n＝2a2n－1.(1)求数列{an}的通项公式；
将a2n＝2a2n－1代入a2n＋1＝a2n＋1中，得a2n＋1＝2a2n－1＋1.下面构造等比数列：令a2n＋1－k＝2(a2n－1－k)，得a2n＋1＝2a2n－1－k，则－k＝1，则k＝－1，∴a2n＋1＋1＝2(a2n－1＋1)，故数列{a2n－1＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，