2025届高中数学二轮复习 创新点1 以高等数学知识为背景的导数问题（课件+练习）

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1.导数解答题与高等数学知识交汇命题，考查考生的知识迁移能力、现场学习能力与现场运用能力，逐渐成为命题的热点，难度较大，一般作为压轴题出现；2.常见的高等数学知识除了前面学习过的泰勒公式与洛必达法则、还有拉格朗日中值定理、罗尔中值定理、柯西中值定理、伯努利不等式、微积分、帕德近似等.
题型一　拉格朗日中值定理、罗尔中值定理、柯西中值定理
题型三　微积分、洛必达法则
题型一　拉格朗日中值定理、罗尔中值定理、柯西中值定理
令bn＝2ln(n＋1)－2ln n，n∈N*，则an>bn，所以a1＋a2＋a3＋…＋an>b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2ln 2－2ln 1＋2ln 3－2ln 2＋…＋2ln(n＋1)－2ln n＝2ln(n＋1)，所以Sn>2ln(n＋1).
罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日中值定理、柯西中值定理.罗尔定理描述如下：如果R上的函数f(x)满足以下条件：①在闭区间[a，b]上连续，②在开区间(a，b)内可导，③f(a)＝f(b)，则至少存在一个ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝0.据此，解决以下问题：(1)证明方程4ax3＋3bx2＋2cx－(a＋b＋c)＝0在(0，1)内至少有一个实根，其中a，b，c∈R；
设F(x)＝ax4＋bx3＋cx2－(a＋b＋c)x，x∈[0，1]，则F′(x)＝4ax3＋3bx2＋2cx－(a＋b＋c)，所以函数F(x)在[0，1]上连续，在区间(0，1)上可导，又F(0)＝0，F(1)＝a＋b＋c－a－b－c＝0，故F(0)＝F(1)，所以由罗尔中值定理可得至少存在一个x0∈(0，1)，使得F′(x0)＝0，所以4ax＋3bx＋2cx0－(a＋b＋c)＝0，所以方程4ax3＋3bx2＋2cx－(a＋b＋c)＝0在(0，1)内至少有一个实根.
(2)已知函数f(x)＝ex－ax2－(e－a－1)x－1，a∈R在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围.
因为函数f(x)＝ex－ax2－(e－a－1)x－1，a∈R在区间(0，1)内有零点，不妨设其零点为x1，则f(x1)＝0，x1∈(0，1)，由f(x)＝ex－ax2－(e－a－1)x－1可得f′(x)＝ex－2ax－(e－a－1)，所以函数f(x)在[0，x1]上连续，在(0，x1)上可导，又f(0)＝e0－0－0－1＝0，f(x1)＝0，由罗尔中值定理可得至少存在一个x2∈(0，x1)，使得f′(x2)＝0，因为函数f(x)在[x1，1]上连续，在(x1，1)上可导，
又f(1)＝e－a－e＋a＋1－1＝0，f(x1)＝0，由罗尔中值定理可得至少存在一个x3∈(x1，1)，使得f′(x3)＝0，所以方程ex－2ax－(e－a－1)＝0在(0，1)上至少有两个不等的实数根，设g(x)＝ex－2ax－(e－a－1)，x∈(0，1)，则g′(x)＝ex－2a，
(1)求实数a，b的值；
(2)设h(x)＝f(x)－R(x)，证明：xh(x)≥0；
(2)比较f(x)与R(x)的大小；
(2)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋xln x，其中a，b∈R.①证明：对任意两个不相等的正数x1，x2，曲线y＝f(x)在(x1，f(x1))和(x2，f(x2))处的切线均不重合；
由函数f(x)＝ax2＋bx＋xln x，可得f′(x)＝2ax＋ln x＋b＋1，不妨设0