2025届高中数学二轮复习 板块二 三角函数与平面向量 微专题17　与平面向量有关的最值、范围问题（课件+练习）

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1.与平面向量有关的最值问题在高考中经常出现，多以小题形式考查，难度中档； 2.主要考查向量模、夹角、数量积、系数的最值或范围．
以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
热点一　向量模的最值、范围
热点二　向量数量积的最值、范围
热点三　向量夹角的最值、范围
热点四　向量系数的最值、范围
向量的模指的是有向线段的长度，可以利用坐标表示，也可以借助“形”，结合平面几何知识求解.如果直接求模不易，可以将向量用基底向量表示再求.
模的范围或最值常见方法(1)通过|a|2＝a2转化为实数问题；(2)数形结合；(3)坐标法.
(1)已知e为单位向量，向量a满足(a－e)·(a－5e)＝0，则|a＋e|的最大值为A.4 B.5 C.6 D.7
可设e＝(1，0)，a＝(x，y)，则(a－e)·(a－5e)＝(x－1，y)·(x－5，y)＝x2－6x＋5＋y2＝0，即(x－3)2＋y2＝4，则1≤x≤5，－2≤y≤2，
数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解；(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解；(3)运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基底表示后，再运算.
如图，以BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线建立y轴，建立平面直角坐标系，
结合图形求解运算量较小，建立坐标系将数量积用某个变量表示，转化为函数的值域问题，其中选择的变量要有可操作性.
求向量夹角的取值范围、最值，往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，要注意变量之间的关系.
解答本题的关键是确定动点B的轨迹后，数形结合求解，把两向量夹角的最值问题转化为直线与圆的位置关系问题.
此类问题一般要利用共线向量定理或平面向量基本定理寻找系数之间的关系，然后利用函数的性质或基本不等式求解.
作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，
3.已知p：向量a＝(－1，1)与b＝(m，2)的夹角为锐角.若p是假命题，则实数m的取值范围是A.(－2，2) B.(－∞，－2)∪(－2，2)C.{－2}∪[2，＋∞) D.[2，＋∞)
如图所示，建立直角坐标系.由题意设A(a，0)，B(0，b)，其中0≤|a|≤2，0≤|b|≤2，由|AB|＝2，得a2＋b2＝4，令a＝2cs θ，b＝2sin θ，所以A(2cs θ，0)，B(0，2sin θ)，