2025届高中数学二轮复习 板块二 三角函数与平面向量 微专题16　平面向量的基本运算及应用（课件+练习）

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1.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积、夹角及模的运算，难度中低档； 2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的线性运算及其几何意义，难度中低档.
2.(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝ A.－2 B.－1 C.1 D.2
法一　因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，即b2＝4a·b.因为a＝(0，1)，b＝(2，x)，所以b2＝4＋x2，a·b＝x，得4＋x2＝4x，所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故选D.法二　因为a＝(0，1)，b＝(2，x)，所以b－4a＝(2，x)－4(0，1)＝(2，x)－(0，4)＝(2，x－4).因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以2×2＋x(x－4)＝0，所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故选D.
由(b－2a)⊥b，得(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0，所以b2＝2a·b.将|a＋2b|＝2的两边同时平方，得a2＋4a·b＋4b2＝4，即1＋2b2＋4b2＝1＋6|b|2＝4，
热点一　平面向量的线性运算
热点二　平面向量的数量积
热点三　平面向量的综合应用
1.平面向量加减运算求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”；对平面向量减法抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化.2.在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比.
在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化.
1.数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算和数量积的几何意义.2.可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知的向量模和夹角进行计算.
1.由向量的运算求其夹角时要注意夹角的范围是[0，π].2.利用基底计算数量积时，要注意选择恰当的基底，常用已知的向量作基底.
(1)(多选)(2024·连云港调研)设a，b，c是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是A.若|a＋b|＝|a－b|，则a⊥b B.若|a|＝|b|，则(a＋b)⊥(a－b)C.若a·c＝b·c，则a－b不与c垂直 D.(b·c)a－(a·c)b不与c垂直
a，b，c是三个非零向量，对于A，|a＋b|＝|a－b|两边平方得(a＋b)2＝(a－b)2，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，故a·b＝0，则a⊥b，故A正确；对于B，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，因为|a|＝|b|，所以(a＋b)·(a－b)＝0，故(a＋b)⊥(a－b)，故B正确；
对于C，a·c＝b·c，故a·c－b·c＝(a－b)·c＝0，又a与b不共线，有a≠b，则a－b与c垂直，故C错误；对于D，[(b·c)a－(a·c)b]·c＝(b·c)(a·c)－(a·c)(b·c)＝0，故(b·c)a－(a·c)b与c垂直，故D错误.
三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，如向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.
对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.
a⊥b⇔x2＋x＋2x＝0⇔x＝0或x＝－3，所以x＝－3是a⊥b的充分条件，x＝0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确.
不妨设|MN|＝2c，以MN为x轴，MN的中点O为原点，过点O且垂直于MN的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
如图，延长APn交BC于点D，
8.(2024·广州模拟)已知向量a，b不共线，向量a＋b平分a与b的夹角，则下列结论一定正确的是A.a·b＝0B.(a＋b)⊥(a－b)C.向量a，b在a＋b上的投影向量相等D.|a＋b|＝|a－b|
如图，连接AE，由题意知△ABD≌△BCE≌△CAF，且D，E，F分别为BE，CF，AD的中点.