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数学3.2.2 双曲线的几何性质获奖教案及反思
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这是一份数学3.2.2 双曲线的几何性质获奖教案及反思，共10页。教案主要包含了设计意图等内容，欢迎下载使用。
学习重难点
教材分析
本节课是通过研究双曲线的标准方程来探究双曲线的简单几何性质，是本单元的重点内容之一，利用曲线方程研究曲线的性质，是解析几何的主要任务目的，通过本节课的学习，既让学生了解了双曲线的几何性质，又让学生初步体会了利用曲线方程来研究其性质的过程.
学情分析
学生已经学习了双曲线定义和标准方程，有亲历体验和探究的兴趣，具有一定的动手操作，归纳猜想，逻辑推理的能力．
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
（一）创设情境，生成问题
情境与问题
前面,我们借助于椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性质.那么,如何借助与双曲线的标准方程来研究双曲线的几何性质呢？
【设计意图】引导启发学生得出结果.
（二）调动思维，探究新知
下面以为例,探究双曲线的几何性质.
1．范围
将双曲线的标准方程化为.
因为，所以由双曲线的标准方程知道，双曲线上的点的横坐标满足，即．于是有
x≤－a或x ≥a．
这说明,双曲线的两支分别位于直线x=-a的左侧与直线x=a的右侧,如图所示.
2.对称性
在双曲线的标准方程中，将y换成－y，方程依然成立．这说明双曲线关于x轴对称．
同理可知，双曲线关于y轴对称，也关于坐标原点对称．x轴与y轴都叫做双曲线的对称轴，坐标原点叫做双曲线的对称中心（简称中心）．
3.顶点
在双曲线的标准方程中，令，得到．因此，双曲线与x轴有两个交点和．
双曲线和它的对称轴的交点叫做双曲线的顶点．因此和是双曲线的顶点．
令，得到，这个方程没有实数解，说明双曲线和y轴没有交点．但是，我们也将点与画出来．
线段，分别叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为和．a和b分别表示双曲线的半实轴长和半虚轴长．
显然,双曲线的焦点、顶点与实轴都在同一个坐标轴上．
4．渐近线
经过分别作y轴的平行线x = －a ，x = a，经过分别作x轴的平行线y = －b ，y = b．这四条直线围成一个矩形．矩形的两条对角线所在的方程为
．
观察左图可以看出,双曲线的两支向外延伸时，分别与这两条直线逐渐接近但又永不相交,我们把这两条直线称为双曲线 的渐近线.
双曲线的标准方程可以写成
，
可以看到，当|x|无限增大时，y的值无限接近于的值．这说明双曲线的两支曲线与两条直线无限接近（但不能相交）．
5．离心率
双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，记作e．即
．
因为，所以双曲线的离心率．
由
可以看到，e越大，的值越大，即渐近线的斜率的绝对值越大，这是双曲线的“张口”就越大．因此，离心率e的值可以刻画出双曲线“张口”的大小．
探究与发现
为什么冷却塔的塔身大多是双曲线的形状？
冷却塔做成双曲线形的是为了提高冷却的效率，底部有最大的圆周，可以最大限度地进入冷空气，冷空气到达最细部位时，接触热水，这时首先由于管径变小，空气流速加快，可以尽快的带走热水中的热量，其次由于管径变小，冷空气的体积也受到压缩，故压力也有增加，而压力增加流体的含热能力会随之增加，于是在细腰部冷空气可以最大限度的吸收热水的热量从而使热水冷却。到了最上部，管径再次扩大，已携带了大量热量的空气由于速度减慢，压力减小，又将所含的热量释放出来形成白色的水蒸气.
【设计意图】双曲线的范围和对称性易于直观判断，运用代数方法进行界定可以帮助学生习得几何问题代数化的思想方法，培养学生科学严谨的科学精神.
（五）巩固知识，典例练习
【典例1】求双曲线4y²-16x²=64的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程.
解: 将方程化成标准方程为
因此双曲线的焦点在y轴上且故．
所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦点为，顶点坐标为，离心率为，
渐近线方程为 ．
【典例2】求满足下列条件的双曲线的标准方程.
（1）一个焦点的坐标为(10,0),一条渐近线的方程为3x-4y=0；
（2）焦距为12,离心率为．
解: （1）由题设可知，双曲线的焦点在x轴上,渐近线的方程为
于是有
解得
因此，所求的双曲线的标准方程为
（2）由已知条件知，于是焦点在x轴上时．
双曲线的标准方程为．
焦点在y轴上时．
双曲线的标准方程为．
【典例3】用“描点法”画出双曲线的图形.
分析：由于双曲线具有对称性,一般只需先画出双曲线在第一象限内的图形,然后利用对称性,画出全部图形.
解: 当y≥0时,双曲线的方程可以变形为,在[4,+∞)上,选取几个整数作为x的值,计算出对应的y值,列表
以表中的x值为横坐标,对应的y值为纵坐标,在直角坐标系中依次描出相应的点(x,y),用光滑的曲线顺次链接各点,得到双曲线在第一象限内的图形.然后利用双曲线的对称性,画出全部图形.
温馨提示
我们可以利用双曲线的顶点和渐近线,画出大致图像.具体步骤如下：
（1）由a²=16,得a=4,则得到双曲线的两个顶点A1(-4,0)、A2(4,0)；
（2）由b²=9,得b=3,则得到双曲线的另外两个顶点B1(0,-3),B2(0,3) ；
（3）作出由直线x=±4、y=±3所围成的矩形,画出矩形两条对角线所在的直线,即双曲线的两条渐近线；
（4）依据双曲线经过实轴端点,且逐渐接近渐近线这一特点,画出大致图像.
【典例4】已知A、B两个哨所相距 1600m,在A哨所听到炮弹爆炸声比在B哨所晚3s.求炮弹爆炸点所有可能位置构成的曲线的方程(声速为 340 m/s).
根据题意,由A、B两处听到爆炸声的时间差可算出A、B两处与爆炸点的距离差,它是一个定值. 因此,爆炸点所有可能的位置都在某双曲线上,又因为爆炸点距离A处比距离B处远,所以爆炸点应在该双曲线中靠近B处的一支上.
如图所示,建立平面直角坐标系,使A、B两点在x轴上,且坐标原点为线段 AB 的中点.
设爆炸点M的坐标为(x,y),则|MA|-|MB|=340×3=1020，于是有 2a=1020,a=510,a²=260100.
因为 |AB|=1600，
所以 2c=1600,c=800，
b²=c²-a²=379900.
又|MA|-|MB|=1020>0,故爆炸点M在双曲线的右支上,
从而x≥510.因此，所求曲线方程为
探究与发现
能否用一根无弹性细绳、一把直尺、几颗图钉和一支笔画出双曲线？
【设计意图】例1强调先将双曲线化为标准方程并要规范解题步骤，例2应强调先确定双曲线的焦点位置再求出相应的量，例3强化学生作图的能力，例4给出解决双曲线应用题的方法.
（四）巩固练习，提升素养
【巩固1】已知双曲线的焦点为（6，0），渐近线方程为，求双曲线的标准方程．
解 由已知条件知双曲线的焦点在y轴．所以有
解得 ．
故所求的双曲线方程为
．
【巩固2】已知双曲线的两个顶点坐标为（0，－4），（0，4）离心率为，求双曲线的标准方程及其渐近线方程．
解 由已知条件知，焦点在y轴上．因此
．
故 ．
因此双曲线的标准方程为
．
双曲线的渐近线方程为
即
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）巩固练习，提升素养
1. 求下列双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标,离心率与渐近线方程.
（1）x²-9y²=81；（2） 9x²-4y²=-36.
2．求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上，实轴长为8，虚半轴长为3；
（2）焦点在y轴上，焦距是16，；
（3）顶点在x轴上，两顶点的距离是8，；
（4）渐近线方程为其中一个焦点的坐标为(0，-13)．
3．求以椭圆的焦点为顶点、以椭圆的顶点为焦点的双曲线的标准方程.
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（六）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节3.2.2；
(2)书面作业： P76习题3.2的3，4，5.
（八）教学反思
知识
能力与素养
理解标准方程所表示的双曲线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质．
学生的数学思维能力得到提高．
重点
难点
双曲线的性质．
双曲线离心率、渐近线概念．
x
4
5
6
7
8
y
0
2.25
3.35
4.31
5.2
学习重难点
教材分析
本节课是通过研究双曲线的标准方程来探究双曲线的简单几何性质，是本单元的重点内容之一，利用曲线方程研究曲线的性质，是解析几何的主要任务目的，通过本节课的学习，既让学生了解了双曲线的几何性质，又让学生初步体会了利用曲线方程来研究其性质的过程.
学情分析
学生已经学习了双曲线定义和标准方程，有亲历体验和探究的兴趣，具有一定的动手操作，归纳猜想，逻辑推理的能力．
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
（一）创设情境，生成问题
情境与问题
前面,我们借助于椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性质.那么,如何借助与双曲线的标准方程来研究双曲线的几何性质呢？
【设计意图】引导启发学生得出结果.
（二）调动思维，探究新知
下面以为例,探究双曲线的几何性质.
1．范围
将双曲线的标准方程化为.
因为，所以由双曲线的标准方程知道，双曲线上的点的横坐标满足，即．于是有
x≤－a或x ≥a．
这说明,双曲线的两支分别位于直线x=-a的左侧与直线x=a的右侧,如图所示.
2.对称性
在双曲线的标准方程中，将y换成－y，方程依然成立．这说明双曲线关于x轴对称．
同理可知，双曲线关于y轴对称，也关于坐标原点对称．x轴与y轴都叫做双曲线的对称轴，坐标原点叫做双曲线的对称中心（简称中心）．
3.顶点
在双曲线的标准方程中，令，得到．因此，双曲线与x轴有两个交点和．
双曲线和它的对称轴的交点叫做双曲线的顶点．因此和是双曲线的顶点．
令，得到，这个方程没有实数解，说明双曲线和y轴没有交点．但是，我们也将点与画出来．
线段，分别叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为和．a和b分别表示双曲线的半实轴长和半虚轴长．
显然,双曲线的焦点、顶点与实轴都在同一个坐标轴上．
4．渐近线
经过分别作y轴的平行线x = －a ，x = a，经过分别作x轴的平行线y = －b ，y = b．这四条直线围成一个矩形．矩形的两条对角线所在的方程为
．
观察左图可以看出,双曲线的两支向外延伸时，分别与这两条直线逐渐接近但又永不相交,我们把这两条直线称为双曲线 的渐近线.
双曲线的标准方程可以写成
，
可以看到，当|x|无限增大时，y的值无限接近于的值．这说明双曲线的两支曲线与两条直线无限接近（但不能相交）．
5．离心率
双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，记作e．即
．
因为，所以双曲线的离心率．
由
可以看到，e越大，的值越大，即渐近线的斜率的绝对值越大，这是双曲线的“张口”就越大．因此，离心率e的值可以刻画出双曲线“张口”的大小．
探究与发现
为什么冷却塔的塔身大多是双曲线的形状？
冷却塔做成双曲线形的是为了提高冷却的效率，底部有最大的圆周，可以最大限度地进入冷空气，冷空气到达最细部位时，接触热水，这时首先由于管径变小，空气流速加快，可以尽快的带走热水中的热量，其次由于管径变小，冷空气的体积也受到压缩，故压力也有增加，而压力增加流体的含热能力会随之增加，于是在细腰部冷空气可以最大限度的吸收热水的热量从而使热水冷却。到了最上部，管径再次扩大，已携带了大量热量的空气由于速度减慢，压力减小，又将所含的热量释放出来形成白色的水蒸气.
【设计意图】双曲线的范围和对称性易于直观判断，运用代数方法进行界定可以帮助学生习得几何问题代数化的思想方法，培养学生科学严谨的科学精神.
（五）巩固知识，典例练习
【典例1】求双曲线4y²-16x²=64的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程.
解: 将方程化成标准方程为
因此双曲线的焦点在y轴上且故．
所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦点为，顶点坐标为，离心率为，
渐近线方程为 ．
【典例2】求满足下列条件的双曲线的标准方程.
（1）一个焦点的坐标为(10,0),一条渐近线的方程为3x-4y=0；
（2）焦距为12,离心率为．
解: （1）由题设可知，双曲线的焦点在x轴上,渐近线的方程为
于是有
解得
因此，所求的双曲线的标准方程为
（2）由已知条件知，于是焦点在x轴上时．
双曲线的标准方程为．
焦点在y轴上时．
双曲线的标准方程为．
【典例3】用“描点法”画出双曲线的图形.
分析：由于双曲线具有对称性,一般只需先画出双曲线在第一象限内的图形,然后利用对称性,画出全部图形.
解: 当y≥0时,双曲线的方程可以变形为,在[4,+∞)上,选取几个整数作为x的值,计算出对应的y值,列表
以表中的x值为横坐标,对应的y值为纵坐标,在直角坐标系中依次描出相应的点(x,y),用光滑的曲线顺次链接各点,得到双曲线在第一象限内的图形.然后利用双曲线的对称性,画出全部图形.
温馨提示
我们可以利用双曲线的顶点和渐近线,画出大致图像.具体步骤如下：
（1）由a²=16,得a=4,则得到双曲线的两个顶点A1(-4,0)、A2(4,0)；
（2）由b²=9,得b=3,则得到双曲线的另外两个顶点B1(0,-3),B2(0,3) ；
（3）作出由直线x=±4、y=±3所围成的矩形,画出矩形两条对角线所在的直线,即双曲线的两条渐近线；
（4）依据双曲线经过实轴端点,且逐渐接近渐近线这一特点,画出大致图像.
【典例4】已知A、B两个哨所相距 1600m,在A哨所听到炮弹爆炸声比在B哨所晚3s.求炮弹爆炸点所有可能位置构成的曲线的方程(声速为 340 m/s).
根据题意,由A、B两处听到爆炸声的时间差可算出A、B两处与爆炸点的距离差,它是一个定值. 因此,爆炸点所有可能的位置都在某双曲线上,又因为爆炸点距离A处比距离B处远,所以爆炸点应在该双曲线中靠近B处的一支上.
如图所示,建立平面直角坐标系,使A、B两点在x轴上,且坐标原点为线段 AB 的中点.
设爆炸点M的坐标为(x,y),则|MA|-|MB|=340×3=1020，于是有 2a=1020,a=510,a²=260100.
因为 |AB|=1600，
所以 2c=1600,c=800，
b²=c²-a²=379900.
又|MA|-|MB|=1020>0,故爆炸点M在双曲线的右支上,
从而x≥510.因此，所求曲线方程为
探究与发现
能否用一根无弹性细绳、一把直尺、几颗图钉和一支笔画出双曲线？
【设计意图】例1强调先将双曲线化为标准方程并要规范解题步骤，例2应强调先确定双曲线的焦点位置再求出相应的量，例3强化学生作图的能力，例4给出解决双曲线应用题的方法.
（四）巩固练习，提升素养
【巩固1】已知双曲线的焦点为（6，0），渐近线方程为，求双曲线的标准方程．
解 由已知条件知双曲线的焦点在y轴．所以有
解得 ．
故所求的双曲线方程为
．
【巩固2】已知双曲线的两个顶点坐标为（0，－4），（0，4）离心率为，求双曲线的标准方程及其渐近线方程．
解 由已知条件知，焦点在y轴上．因此
．
故 ．
因此双曲线的标准方程为
．
双曲线的渐近线方程为
即
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）巩固练习，提升素养
1. 求下列双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标,离心率与渐近线方程.
（1）x²-9y²=81；（2） 9x²-4y²=-36.
2．求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上，实轴长为8，虚半轴长为3；
（2）焦点在y轴上，焦距是16，；
（3）顶点在x轴上，两顶点的距离是8，；
（4）渐近线方程为其中一个焦点的坐标为(0，-13)．
3．求以椭圆的焦点为顶点、以椭圆的顶点为焦点的双曲线的标准方程.
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（六）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节3.2.2；
(2)书面作业： P76习题3.2的3，4，5.
（八）教学反思
知识
能力与素养
理解标准方程所表示的双曲线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质．
学生的数学思维能力得到提高．
重点
难点
双曲线的性质．
双曲线离心率、渐近线概念．
x
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5.2
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