高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3.2 对数的运算课时作业

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1．lg242＋lg243＋lg244等于( )
A．1 B．2 C．24 D.eq \f(1,2)
答案 A
解析 lg242＋lg243＋lg244＝lg24(2×3×4)＝lg2424＝1.
2．化简eq \r(lg232－4lg23＋4)＋lg2eq \f(1,3)得( )
A．2 B．2－2lg23 C．－2 D．2lg23－2
答案 B
解析 eq \r(lg232－4lg23＋4)＝eq \r(lg23－22)＝2－lg23.∴原式＝2－lg23＋lg23－1＝2－2lg23.
3．0.25－eq \f(1,2)＋lg23·lg34的值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．1 D.eq \f(7,4)
答案 D
解析 原式＝eq \f(1,4)－eq \f(1,2)＋eq \f(lg 3,lg 2)×eq \f(lg 4,lg 3)＝eq \f(1,4)－eq \f(1,2)＋eq \f(lg 3,lg 2)×eq \f(2lg 2,lg 3)＝eq \f(7,4).
4.eq \f(lg89,lg23)的值是( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,2) C． 1 D．2
答案 A
解析 方法一 将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，即eq \f(lg89,lg23)＝eq \f(\f(lg 9,lg 8),\f(lg 3,lg 2))＝eq \f(2lg 3,3lg 2)·eq \f(lg 2,lg 3)＝eq \f(2,3).
方法二 将分子利用换底公式转化为以2为底的对数，即eq \f(lg89,lg23)＝eq \f(\f(lg29,lg28),lg23)＝eq \f(2lg23,3lg23)＝eq \f(2,3).
5.设lg83＝p，lg35＝q，则lg 5等于( )
A．p2＋q2 B.eq \f(1,5)(3p＋2q) C.eq \f(3pq,1＋3pq) D．pq
答案 C
解析 ∵lg83＝eq \f(lg 3,lg 8)＝eq \f(lg 3,3lg 2)＝p，∴lg 3＝3plg 2.
∵lg35＝eq \f(lg 5,lg 3)＝q，∴lg 5＝qlg 3＝3pqlg 2＝3pq(1－lg 5)，∴lg 5＝eq \f(3pq,1＋3pq).
多选题
6.已知x，y为正实数，则( )
A.2lg x＋lg y＝2lg x·2lg y B.2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y C.2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D.2lg(xy)＝2lg x·2lg y
答案 AD
解析 2lg x·2lg y＝2lg x＋lg y＝2lg(xy)，故选AD.
7.若实数a，b满足2a＝5b＝10，则下列关系正确的有( )
A.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1 B.eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝lg 20 C.eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝2 D.eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \f(1,2)
答案 AB
解析 a＝lg210，b＝lg510，eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,lg210)＋eq \f(1,lg510)＝lg 2＋lg 5＝1，故A正确.
eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(2,lg210)＋eq \f(1,lg510)＝lg 4＋lg 5＝lg 20，故B正确.
eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \f(1,lg210)＋eq \f(2,lg510)＝lg 2＋lg 25＝lg 50，故C，D不正确.故选AB.
填空题
8.若lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则eq \f(x,y)＝________.
答案 4
解析 因为lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，y>0，,x－2y>0，,xy＝x－2y2.))由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0，所以x＝y或x＝4y.又x>0，y>0且x－2y>0，所以舍去x＝y，故x＝4y，则eq \f(x,y)＝4.
9.已知函数f(x)＝eq \f(1,3x＋1)，则f(lg23)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg4\f(1,9)))＝________.
答案 1
解析 ∵lg23＋lg4eq \f(1,9)＝lg23－lg23＝0，f(－x)＋f(x)＝eq \f(1,3－x＋1)＋eq \f(1,3x＋1)＝eq \f(3x,3x＋1)＋eq \f(1,3x＋1)＝1.
∴f(lg23)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg4\f(1,9)))＝1.
10.已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝0，则abc的值为________．
答案 1
解析 方法一 设ax＝by＝cz＝t(t>0)，则x＝lgat，y＝lgbt，z＝lgct，
∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝eq \f(1,lgat)＋eq \f(1,lgbt)＋eq \f(1,lgct)＝lgta＋lgtb＋lgtc＝lgt(abc)＝0，∴abc＝t0＝1，即abc＝1.
方法二 令ax＝by＝cz＝t，∵a，b，c是不等于1的正数，xyz≠0，∴t>0且t≠1，∴x＝eq \f(lg t,lg a)，y＝eq \f(lg t,lg b)，z＝eq \f(lg t,lg c)，∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝eq \f(lg a,lg t)＋eq \f(lg b,lg t)＋eq \f(lg c,lg t)＝eq \f(lg a＋lg b＋lg c,lg t)，∵eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝0，且lg t≠0，∴lg a＋lg b＋lg c＝lg(abc)＝0，∴abc＝1.
解答题
11.(1)设3a＝4b＝36，求eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)的值；
(2)已知2x＝3y＝5z，且eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝1，求x，y，z.
解析 (1)方法一 由3a＝4b＝36，得a＝lg336，b＝lg436，
由换底公式得eq \f(1,a)＝lg363，eq \f(1,b)＝lg364，∴eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝2lg363＋lg364＝lg3636＝1.
方法二 由3a＝4b＝36，两边取以6为底数的对数，得
alg63＝blg64＝lg636＝2，∴eq \f(2,a)＝lg63，eq \f(1,b)＝eq \f(1,2)lg64＝lg62，∴eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝lg63＋lg62＝lg66＝1.
(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，∴x＝lg2k，y＝lg3k，z＝lg5k，∴eq \f(1,x)＝lgk2，eq \f(1,y)＝lgk3，eq \f(1,z)＝lgk5，
由eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝1，得lgk2＋lgk3＋lgk5＝lgk30＝1，∴k＝30，∴x＝lg230＝1＋lg215，
y＝lg330＝1＋lg310，z＝lg530＝1＋lg56.
12.已知lgax＋3lgxa－lgxy＝3(a>1)，若设x＝at.
(1)试用a，t表示y；
(2)若当01)，所以lgay＝(lgax)2－3lgax＋3.
当x＝at时，lgax＝lgaat＝t，所以lgay＝t2－3t＋3.所以y＝(t≠0)．
(2)y＝，因为01，所以当t＝eq \f(3,2)时，ymin＝＝8.
所以a＝16，此时x＝＝64.