2025年中考数学二轮复习：矩形 专题练习题汇编（含答案解析）

这是一份2025年中考数学二轮复习：矩形 专题练习题汇编（含答案解析），共35页。试卷主要包含了矩形的性质等内容，欢迎下载使用。
1．矩形的性质：
（1）角：四个角都是直角；
（2）对角线：对角线相等且互相平分；
（3）四个等腰三角形面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB （如图）
（4）直角三角形斜中线等于斜边一半；
有直角求长度可以用勾股或者相似；
（5）折叠问题，对应的角相等，对应边相等，注意平行线有等腰三角形，折痕和对应点的连线垂直。
矩形特有的条件：直角和对角线相等。
1．（2024•黄岩区校级模拟）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，垂直平分于点，则的长为
A．B．C．4D．2
2．（2024•丽水一模）如图，在矩形中，与交于点，点是上一点，连结交对角线于．若，则下列结论错误的是
A．B．C．D．
3．（2024•浙江校级模拟）如图，在矩形中，，，分别是，的中点．若，则
A．B．C．D．3
4．（2024•下城区校级模拟）如图，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，．若，，则图中阴影部分的面积为
A．2B．3C．5D．6
5．（2024•萧山区二模）如图，在矩形中，对角线，交于点，是上一点，沿折叠，点恰好落在点处，则的度数为
A．B．C．D．
6．（2024•台州一模）如图，在矩形中，，先以点为圆心，长为半径画弧交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧交边于点；最后以点为圆心，长为半径画弧交边于点．求的长，只需要知道
A．线段的长B．线段的长C．线段的长D．线段的长
7．（2024•杭州二模）如图，在矩形中，，，是边上的中点，以为圆心，长为半径画弧，交边于点，连结交对角线于点，则的值是
A．B．C．D．
8．（2024•丽水一模）如图，在矩形中，，，①在边上取一点，连结，②以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点，；③类比②以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点，．连结，当恰好经过点时，的长是 ．
9．（2024•上城区二模）如图，矩形，点、分别是，上一点，连接，令，已知，，，则 ．
10．（2024•钱塘区三模）如图，在矩形中，点为上一点，连结，作的平分线交于点，连结交于点．若，，则的值为
A．B．C．D．
11．（2024•拱墅区校级模拟）如图，在矩形中，点在边上，与关于直线对称，点的对称点在边上，为中点，连结分别与，交于，两点．若，，则的长为 ，的值为 ．
12．（2024•嘉兴二模）用两对全等的直角三角形和一个矩形拼成如图所示的（无缝隙且不重叠），和的面积相等，连结，若，，则的值是
A．B．C．D．
13．（2024•浙江模拟）如图所示，矩形由两直角边之比皆为的三对直角三角形纸片甲、乙、丙拼接而成，它们之间互不重叠也无缝隙，则矩形与矩形的面积之比为 ．
14．（2024•西湖区校级二模）如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，连接，，，，下列选项中的结论错误的是
A．
B．无论点在何位置，总有
C．若，则线段的最小值为8
D．若，的最大值为23
15．（2024•拱墅区一模）如图，在矩形中，，点是的中点，点在上，，点、在线段上．若 是等腰三角形且底角与相等，则的值为
A．6或2B．3或
C．2或3D．6或
16．（2024•柯桥区二模）如图，在矩形中，，，，，，分别是边，，，上的动点，若，当四边形为矩形时，则的取值范围是 ．
17．（2024•镇海区一模）如图，已知矩形，过点作交的延长线于点，若，则 ．
18．（2024•婺城区模拟）如图，在矩形中，是上一点，且，过点作于点．
（1）求证：．
（2）已知，．求的长．
19．（2024•拱墅区校级模拟）如图，在矩形中，，分别是，边上的点，且．
（1）求证：；
（2）当时，，，求四边形的面积．
20．（2024•镇海区校级四模）如图，在矩形中，为边的一点，的中垂线分别交矩形两边，于点，，交于点，，连结，．
（1）判断的形状，并说明理由．
（2）若，求，的长．
21．（2024•临安区二模）如图，在矩形中，为边上一点，连结，．若，过点作于点．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
22．（2024•龙湾区二模）如图，在矩形中，，分别过点，作，交于点，，连结，．
（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）分别取，的中点，，连结，．若，求四边形的面积．
二．矩形的判定
（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形；
（2）有三个角是直角；
（3）对角线相等的平行四边形．
23．（2024•下城区校级三模）如图，已知、为平行四边形的对角线上的两点，且，
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形为矩形．
24．（2024•镇海区一模）如图，已知和均是等边三角形，点在上，延长交于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当点在线段上什么位置时，四边形是矩形？请说明理由．
答案解析
一．矩形的性质
1．矩形的性质：
（1）角：四个角都是直角；
（2）对角线：对角线相等且互相平分；
（3）四个等腰三角形面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB （如图）
（4）直角三角形斜中线等于斜边一半；
有直角求长度可以用勾股或者相似；
（5）折叠问题，对应的角相等，对应边相等，注意平行线有等腰三角形，折痕和对应点的连线垂直。
矩形特有的条件：直角和对角线相等。
1．（2024•黄岩区校级模拟）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，垂直平分于点，则的长为
A．B．C．4D．2
【解答】解：四边形是矩形，
，
垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选：．
2．（2024•丽水一模）如图，在矩形中，与交于点，点是上一点，连结交对角线于．若，则下列结论错误的是
A．B．C．D．
【解答】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，故不符合题意；
，，
，故不符合题意；
，，
，
又，
，故不符合题意；
，，
，
，故符合题意；
故选：．
3．（2024•浙江校级模拟）如图，在矩形中，，，分别是，的中点．若，则
A．B．C．D．3
【解答】解：连接，，，过作交于点，
四边形是矩形，
，，是的中点，
，
且，
，
，
，，
，
，
，，
，
，，
四边形是矩形，
，且，
为的中点，
，
，即 且，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
， 且，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
故选：．
4．（2024•下城区校级模拟）如图，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，．若，，则图中阴影部分的面积为
A．2B．3C．5D．6
【解答】解：四边形是矩形，
，，
．
，
，则，
，
，故．
故选：．
5．（2024•萧山区二模）如图，在矩形中，对角线，交于点，是上一点，沿折叠，点恰好落在点处，则的度数为
A．B．C．D．
【解答】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
根据折叠的性质得，，
，
是等边三角形，
，
，
，
故选：．
6．（2024•台州一模）如图，在矩形中，，先以点为圆心，长为半径画弧交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧交边于点；最后以点为圆心，长为半径画弧交边于点．求的长，只需要知道
A．线段的长B．线段的长C．线段的长D．线段的长
【解答】解：四边形是矩形，
，，
，，，
设，，
，
，
，
求的长，只需要知道线段的长，
故选：．
7．（2024•杭州二模）如图，在矩形中，，，是边上的中点，以为圆心，长为半径画弧，交边于点，连结交对角线于点，则的值是
A．B．C．D．
【解答】解：延长交的延长线于，
是边上的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
8．（2024•丽水一模）如图，在矩形中，，，①在边上取一点，连结，②以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点，；③类比②以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点，．连结，当恰好经过点时，的长是 3 ．
【解答】解：如图，连接、、、、，
由题意可得，，，，
，，
是的垂直平分线，
，，
是的垂直平分线，
四边形关于直线对称，
，
四边形为矩形，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
又，
，
，
同理可证，
，
设，则，
在中，，
解得，
，
故答案为：3．
9．（2024•上城区二模）如图，矩形，点、分别是，上一点，连接，令，已知，，，则 ．
【解答】解：在矩形中，，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
10．（2024•钱塘区三模）如图，在矩形中，点为上一点，连结，作的平分线交于点，连结交于点．若，，则的值为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，延长，交的延长线于，延长，交的延长线于，
中，，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
平分，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
11．（2024•拱墅区校级模拟）如图，在矩形中，点在边上，与关于直线对称，点的对称点在边上，为中点，连结分别与，交于，两点．若，，则的长为 2 ，的值为 ．
【解答】解：，
，
，
，
又，
，
，
为中点，
．
连接，，
由翻折可得，，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形，
，，
，
平分，
，
，
．
，，，
，
，
设，
则，，
，
，
，
即，
解得（舍或，
，
．
故答案为：2；．
12．（2024•嘉兴二模）用两对全等的直角三角形和一个矩形拼成如图所示的（无缝隙且不重叠），和的面积相等，连结，若，，则的值是
A．B．C．D．
【解答】解：如图，由题意知，，四边形为矩形，
，，，，，，
设，，，
，
则，，
和的面积相等，
，
①，
，，
，
，
，
，
，
，②，
结合①②可得，
，
故选：．
13．（2024•浙江模拟）如图所示，矩形由两直角边之比皆为的三对直角三角形纸片甲、乙、丙拼接而成，它们之间互不重叠也无缝隙，则矩形与矩形的面积之比为 ．
【解答】解：设，，
依题意得：、，
甲、乙、丙三角形的两条直角边之比皆为，
，，
，
，
，
又，
，
，
，，，
，，，
，
，
．
14．（2024•西湖区校级二模）如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，连接，，，，下列选项中的结论错误的是
A．
B．无论点在何位置，总有
C．若，则线段的最小值为8
D．若，的最大值为23
【解答】解：在矩形中，，，
，
又点在矩形内部，
，
故选项正确，不符合题意；
过点作于，的延长线交于，，的延长线交于，如图1所示：
设，，，，
四边形为矩形，，，
，，
四边形，四边形，四边形，四边形均为矩形，
由勾股定理得：，，，，
，，
，
故选项正确，不符合题意；
以为直径作圆，圆心为，连接交于点，如图2所示：
则，
，即，
点在矩形内部的半圆上运动，
根据点与圆的位置关系得：当点与点重合时，为最小，最小值为的长，
在中，，，由勾股定理得：，
，
即线段的最小值为8，
故选项正确，不符合题意；
四边形为矩形，
，
，
，
，
在矩形内部，以为一边作等边，以点为圆心，以为半径作，延长到，使，如图3所示：
，，，的直径为20
又，
，
点在优弧上运动，为的弦，
根据“直径是圆内最大的弦”得：当为的直径时为最大，最大值为20，
故选项不正确，符合题意．
故选：．
15．（2024•拱墅区一模）如图，在矩形中，，点是的中点，点在上，，点、在线段上．若 是等腰三角形且底角与相等，则的值为
A．6或2B．3或C．2或3D．6或
【解答】解：分两种情况：
①为等腰的底边时，作于，如图所示：
则，
四边形是矩形，
，，，
，，
点是的中点，
，
，
，
，即，
解得：，
，
，
，
，
是等腰三角形且底角与相等，，
，，
，
，
，
，
；
②为等腰的腰时，作于，如图所示：
由①得：，，
设，则，
在中，，
解得：，即；
综上所述，的长为6或．
故选：．
16．（2024•柯桥区二模）如图，在矩形中，，，，，，分别是边，，，上的动点，若，当四边形为矩形时，则的取值范围是 或 ．
【解答】解：当四边形为矩形时，
，，，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，且，
设，则，
，
，
整理得，，
，，
，
①，
解得：或，
②，
解得：（负解集舍去），
综上所述：或．
故答案为：或．
17．（2024•镇海区一模）如图，已知矩形，过点作交的延长线于点，若，则 ．
【解答】解：四边形是矩形，
，，，
由勾股定理得：，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：（负值舍去），
，即，
，
，
，
故答案为：．
18．（2024•婺城区模拟）如图，在矩形中，是上一点，且，过点作于点．
（1）求证：．
（2）已知，．求的长．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：四边形是矩形，，，
，，，
，
，
，
由（1）知：，
，
，
即的长是1．
19．（2024•拱墅区校级模拟）如图，在矩形中，，分别是，边上的点，且．
（1）求证：；
（2）当时，，，求四边形的面积．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，，，，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，
设与交于点，
，，
，
，
．
20．（2024•镇海区校级四模）如图，在矩形中，为边的一点，的中垂线分别交矩形两边，于点，，交于点，，连结，．
（1）判断的形状，并说明理由．
（2）若，求，的长．
【解答】解：（1）为等腰直角三角形，理由如下：
是的中垂线，
，
为等腰三角形，
四边形为矩形，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形；
（2），
，，
由（1）可知：，
，
，
在中，由勾股定理得：，
由（1）可知：为等腰直角三角形，
又是的中垂线，
，，
，
又，
，
，
即，
，
．
21．（2024•临安区二模）如图，在矩形中，为边上一点，连结，．若，过点作于点．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
在与中，
，
；
（2）解：，
设，，
，
，
，
，
解得：，
．
22．（2024•龙湾区二模）如图，在矩形中，，分别过点，作，交于点，，连结，．
（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）分别取，的中点，，连结，．若，求四边形的面积．
【解答】（1）证明：矩形，
，，
，
，，
，，
，
，
，
四边形为平行四边形．
（2）解：矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的中点，
；
同理可得：，
四边形的面积为．
二．矩形的判定
（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形；
（2）有三个角是直角；
（3）对角线相等的平行四边形．
23．（2024•下城区校级三模）如图，已知、为平行四边形的对角线上的两点，且，
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形为矩形．
【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
；
（2）如图，由（1）可知，，
，．
，
，
四边形为平行四边形．
又，
平行四边形为矩形．
24．（2024•镇海区一模）如图，已知和均是等边三角形，点在上，延长交于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当点在线段上什么位置时，四边形是矩形？请说明理由．
【解答】（1）证明：和均是等边三角形，
，
，，
四边形是平行四边形；
（2）解：当点在线段的中点位置时，四边形是矩形，理由如下：
由（1）可知，，四边形是平行四边形，
，
是等边三角形，点是线段的中点，
，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形．