2025年中考数学二轮复习：圆的切线证明专题练习题汇编（含答案解析）

展开

这是一份2025年中考数学二轮复习：圆的切线证明专题练习题汇编（含答案解析），共26页。试卷主要包含了如图，为的直径，弦，平分，等内容，欢迎下载使用。
1．如图，中，，以为直径的与，分别交于点和点，过点作，垂足为．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求半径．
2．如图，AB为的直径，将AB绕点A 逆时针旋转一定角度后得到的交于点E，连接交于点D，已知F为CE的中点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
3．如图，在中，，是线段延长线上的一点，，垂足为，交线段于点，点在线段上，经过、两点，交于点．
(1)求证：是的切线
(2)若，的半径为，求的长．
4．如图，是的直径，点为上一点，连接，点在的延长线上，点在上，过点作的垂线分别交的延长线于点，交于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：．
5．如图，在中，，以为直径的与相交于点D，过点D作，交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若的直径为5，，求的长．
6．如图，为的直径，弦，平分，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径长．
7．如图所示，已知是圆O的直径，圆O过的中点D，且．
(1)求证：是圆O的切线；
(2)若，，求圆O的半径．
8．如图，内接于，交于点D，交于点E，交于点F，连接，，，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若的半径为3，求的长．
9．如图，为的直径，C是上一点，D在的延长线上，．
(1)求证：是切线；
(2)若，，求的半径．
10．如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作，垂足为点H．
(1)求证：是的切线；
(2)延长交于E，连接，交于点F，若，的半径为3，求的长度（结果保留）．
11．如图，是的直径，点C在上，，与相交于点E，与相交于点F，平分．
(1)求证∶是的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
12．如图，是的直径，，E是的中点，连结并延长到点F，使．连结交于点D，连结，．
(1)求证：直线是的切线．
(2)若，求的长．
13．如图，在中，以为直径的分别与，相交于点D，E，且，过D作，垂足为F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
14．如图，已知是的外接圆，是的直径，是的延长线上的点，弦交于点．，．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，，求的半径．
15．如图，在半径为5的半圆中，是它的直径，点是半圆上异于点，过点作且，点是半径的中点，的延长线交于点，交的延长线于点．
(1)求证：平分；
(2)求证：是的切线；
(3)若，半圆内（包含边界）存在点，使，求的取值范围．
参考答案：
1．(1)证明见解析；
(2)的半径为．
【详解】（1）证明：连接，，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：过点作，垂足为，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
设的半径为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的半径为．
2．(1)详见解析
(2)图中阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：如图，连、DE，
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∵AB绕点A 逆时针旋转一定角度后得到的交于点E，连接交于点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵F为CE的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，连AD，，，
∵AB为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，为等边三角形，
∴，
∵，
∴，也为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴图中阴影部分的面积．
3．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，又是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
4．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又点在上，
是的切线；
（2）证明：由（1）可得：是的切线，
，
，
，
，
又，
，
，
，
又，
，
．
5．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：如图，连接
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴是的切线
（2）解：如图，连接
∵是的直径
∴
∵，
∴
由勾股定理，得
∴
∴
6．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接，如图：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：连接，
∵，，，
∴，
∵，，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
在中，，
即，
解得：（负值舍去），
∴，
∴的半径长为．
7．(1)见解析
(2)圆O的半径为
【详解】（1）证明：连接，
∵D是的中点，O为的中点，
∴．
又∵，
∴
∴
∴，
∵为圆O的半径，
∴是圆O的切线．
（2）解：连接，
∵是圆O的直径，
∴
∴是直角三角形．
∵，，
∴
∴ ．
∵，
∴，
∴，
∵
∴是等边三角形，
∴，
即圆O的半径为．
8．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：如图，连接，延长交于点，连接，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
是的半径，点在上，
直线是的切线；
（2）解：如图，连接，，
由（1）可得：，
，
的长为：
．
9．(1)见解析
(2)2
【详解】（1）证明：连接，
∵为直径，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得，
答：的半径是2．
10．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接，
如图所示：
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
在中，∵，
∴，
由①②得：，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）解：如图，
∵，
∴，
设，
∴，
∵，
∴中，，
∴，
∴，
∴，
∴的长度．
11．(1)见详解
(2)
【详解】（1）证明：连接，
，
平分，
，
∵
，
，
∵是的直径
，
，
，
是半径，
是的切线；
（2）解：，
∵
平分，
，
∴为等边三角形
∴
∵
∴
∴，
．
12．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴直线是的切线；
（2）由（1）知，，
设的半径为r，则，，
在中，由勾股定理得，
即，解得，
即，，
∵为直径，
∴，
∴，
即，
解得．
13．(1)详见解析
(2)的半径为5
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵，为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则有，
∴，
∴，
则的半径为5．
14．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)9
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
则，
∵，
，
在和中，
∴，
∴，
；
（2）证明：由（1）得，
，
又，
∵，
∴，
，
∵，即，
是的切线；
（3）解：，，
垂直平分，
∴．
又，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，即的半径为9．
15．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
平分；
（2）证明：连接，如图所示：
．，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（3）解：由（1）可知，
设，则，
，
，
，
在中，，即，解得，
，
是等边三角形，
由（2）可知，
，
，
的运动轨迹是以的长为直径，以的中点为圆心的圆，
在半圆内（包含边界），
，，
四边形是菱形，
，
，
连接，，如图所示：
．是等边三角形，
，
在中，，则，
，则由勾股定理可得，
，
，
，
，
．