中考数学二轮复习专题《矩形、菱形、正方形》练习卷 (含答案)

中考数学二轮复习专题

《矩形、菱形、正方形》练习卷

一              、选择题

1.下列命题中，假命题是(　　)

A.有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形

B.有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形

C.有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形

D.有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形

2.在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD.如果再增加条件AC＝BD，此四边形一定是(　　)

A.正方形                      B.矩形                         C.菱形                        D.都有可能

3.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为(  )

①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD.

A.①③                                     B.②③          C.③④                                     D.①②③

4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的一半长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF，则可以得到四边形AEDF的形状(　　)

A.仅仅只是平行四边形　  　B.是矩形   　　C.是菱形　   　D.无法判断

5.四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2＋b2＋c2＋d2＝ab＋bc＋cd＋ad，则此四边形一定是(  )

A.平行四边形                                      B.矩形         C.菱形                      D.正方形

6.一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为(      )平方厘米

A.50                                   B.50或40    C.50或40或30                                   D.50或30或20

7.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为(       )

A.1.5                     B.2﹣2                       C.2﹣2              D.4

8.如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E，F分别是BC，CD边上的动点，满足BE＝CF.则AE＋AF的最小值为(　　)

A.         B.2         C.2+2         D.2

二              、填空题

9.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝120°，则∠AOE＝　   　.

10.如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝50°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，

则∠DHO＝　   　.

11.如图，点O是矩形ABCD的对称中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为            .

12.如图，▱ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合，若△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为         ．

13.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD、BC边上的点．若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为        ．

14.如图，将边长为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形A′B′C′D′，则图中阴影部分面积为　   　平方单位.

三              、解答题

15.准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．

(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；

(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．

16.如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．

(1)求证：OE＝OF；

(2)若BC＝2，求AB的长．

17.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD边上的点，BE，AF交于点O，且AE＝DF．

(1)求证：△ABE≌△DAF；

(2)若BO＝4，DE＝2，求正方形ABCD的面积．

18.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，点D为边BC上的一动点(点D不与B、C重合)，以AD为边作正方形ADEF(A、D、E、F按逆时针排列)，连接CF.

求证：CF＋CD＝AC.

19.如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于点Q.

(1)如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；

(2)如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想.

20.如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．

(1)证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；

(2)当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大(或最小)值．

参考答案

1.C.

2.B.

3.A

4.C

5.C

6.C

7.B.

8.D.

9.答案为：60°.

10.答案为：25°.

11.答案为：2.

12.答案为：3．

13.答案为：3．

14.答案为：6﹣2.

15.证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD，

∴∠ABD＝∠CDB，

∴∠EBD＝∠FDB，

∴EB∥DF，

∵ED∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．

(2)∵四边形BFDE为菱形，

∴BE＝ED，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠ABE＝30°，

∵∠A＝90°，AB＝2，

∴AE＝，BF＝BE＝2AE＝，

∴菱形BFDE的面积为：×2＝.

16.证明：(1)在矩形ABCD中，AB∥CD，

∴∠BAC＝∠FCO，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF(AAS)，

∴OE＝OF；

(2)解：如图，连接OB，

∵BE＝BF，OE＝OF，

∴BO⊥EF，

∴在Rt△BEO中，∠BEF＋∠ABO＝90°，

由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA＝OB＝OC，

∴∠BAC＝∠ABO，

又∵∠BEF＝2∠BAC，即2∠BAC＋∠BAC＝90°，解得∠BAC＝30°，

∵BC＝2，

∴AC＝2BC＝4，

∴AB＝6．

17.证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°，

又AE＝DF，

∴△ABE≌△DAF；

(2)∵△ABE≌△DAF，

∴∠FAD＝∠ABE，

又∠FAD＋∠BAO＝90°，

∴∠ABO＋∠BAO＝90°，

∴△ABO∽△EAB，

∴AB：BE＝BO：AB，即AB：6＝4：AB，

∴AB2＝24，

所以正方形ABCD面积是24．

18.解：∵正方形ADEF，

∴AF＝AD，∠DAF＝90°

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB＝AC，BC＝AC，∠BAC＝90°

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAF﹣∠DAC，

即∠BAD＝∠CAF

∵在△BAD和△CAF中，

AB＝AC，∠BAD＝∠CAF，AD＝AF，

∴△BAD≌△CAF(SAS)

∴CF＝BD。

∴CF＋CD＝BD＋CD＝BC＝AC

19.解：(1)PB＝PQ.证明：连接PD，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB＝∠ACD，∠BCD＝90°，BC＝CD，

又∵PC＝PC，

∴△DCP≌△BCP(SAS)，

∴PD＝PB，∠PBC＝∠PDC，

∵∠PBC＋∠PQC＝180°，∠PQD＋∠PQC＝180°，

∴∠PBC＝∠PQD，

∴∠PDC＝∠PQD，

∴PQ＝PD，

∴PB＝PQ

(2)PB＝PQ.证明：连接PD，

同(1)可证△DCP≌△BCP，

∴PD＝PB，∠PBC＝∠PDC，

∵∠PBC＝∠Q，

∴∠PDC＝∠Q，

∴PD＝PQ，

∴PB＝PQ.

20.证明：(1)连接AC，如下图所示，             

∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，

∠1＋∠EAC＝60°，∠3＋∠EAC＝60°，

∴∠1＝∠3，

∵∠BAD＝120°，

∴∠ABC＝60°，

∴△ABC和△ACD为等边三角形，

∴∠4＝60°，AC＝AB，             

∴在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF(ASA)．

∴BE＝CF；

(2)解：四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化．

理由：由(1)得△ABE≌△ACF，则S△ABE＝S△ACF，

故S四边形AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△AEC＋S△ABE＝S△ABC，是定值，

作AH⊥BC于H点，则BH＝2，

S四边形AECF＝S△ABC＝BC•AH＝4，

由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．

故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，

又S△CEF＝S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大．

∴S△CEF＝S四边形AECF﹣S△AEF＝4﹣×2×3＝．

答：最大值是．