初中数学24.1.1 圆复习练习题

这是一份初中数学24.1.1 圆复习练习题，共24页。

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得和都是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得，即可解答；
（2）连接交于点，利用菱形的性质可得，，，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，最后根据图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积，进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：连接，

和底边相切于点，
，
，，
，
，，
和都是等边三角形，
，，
，
四边形是菱形；
（2）解：连接交于点，

四边形是菱形，
，，，
在中，，
，
，
图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积
，
图中阴影部分的面积为．
（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，线段与相切于点B，交于点M，其延长线交于点C，连接，，D为上一点且的中点为M，连接，．
(1)求的度数；
(2)四边形是否是菱形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由；
(3)若，求的长．
【答案】(1)
(2)是菱形，证明见解析
(3)的长为．
【分析】（1）如图，连接，证明，而，可得，再结合等腰三角形的性质可得答案；
（2）先证明，即，而，求解，可得，证明，可得，再证明，可得，从而可得结论；
（3）如图，连接，，交于，证明为等边三角形，可得，证明，，求解，再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，连接，

∵线段与相切于点B，
∴，而，
∴，
∵，
∴；
（2）四边形是菱形，理由如下：
∵的中点为M，，
∴，即，而，
∴，
∴，
∵的中点为M，为直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（3）如图，连接，，交于，

∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵菱形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴的长为．
1．（2023上·江苏泰州·九年级统考期中）如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角的扇形．
(1)求阴影部分面积；
(2)用所裁剪的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径．
【答案】(1)；
(2)该圆锥的底面圆的半径是．
【分析】本题考查了扇形的面积计算，圆锥的底面圆的半径．
（1）是圆O的直径，求出求得，进而利用扇形的面积公式可得阴影部分的面积；
（2）求出的长度，即圆锥底面圆的周长，继而可得出底面圆的半径．
【详解】（1）解：连接，

∵，
∴是圆O的直径，
∴点A、O、B三点共线，
∴，
又∵，
∴，
∵圆的直径为2，
则，
故．
∴；
（2）解：的长，
则，
解得：．
故该圆锥的底面圆的半径是．
2．（2023上·江苏盐城·九年级统考期中）如图，在中，经过两点的与边交于点，圆心在上，过点作交于点，连接交于点．
(1)求证：与相切；
(2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留）．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）先求出，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，又根据等腰三角形的性质可得，从而可得，即，最后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）先根据圆周角定理可得，再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可得，最后根据图中阴影部分的面积等于求解即可得．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
在中，，
，
，
又∵，
，
，即，
，
又∵为的半径，
与相切．
（2）解：，
，
，
，
在中，，
则图中阴影部分的面积为
，
答：图中阴影部分的面积为．
3．（2023上·江苏徐州·九年级月考）如图，中，为的直径，点B为延长线上一点，是的切线，A为切点，且，
(1)求的度数；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)的度数为
(2)阴影部分的面积为
【分析】（1）根据切线的性质证明，进而求得的度数；
（2）根据阴影部分的面积扇形的面积三角形的面积即可解决问题．
【详解】（1）解：连接，

是的切线，点A为切点，
，
又，，
，
设，则在中，有：，
解得：，
∴的度数为；
（2）解：，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
∴阴影部分的面积扇形的面积三角形的面积，
，
阴影部分的面积为．
4．（2023上·福建福州·九年级福建省福州第十九中学校联考期中）如图，在正方形中有一点，连接、，旋转到的位置．
(1)若正方形的边长是，．则阴影部分面积为___________；
(2)若，求的长．
【答案】(1)；(2)9
【分析】（1）根据题意， ，根据公式计算即可．
（2）连接，根据题意， ，根据勾股定理计算即可．
【详解】（1）如图，∵正方形，旋转到的位置，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：如图所示，连接，
根据题意， ，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得．
5．（2022上·湖北武汉·九年级统考期末）如图，C是圆O被直径分成的半圆上一点，过点C作圆O的切线交AB的延长线于点P，连接．
(1)若，求的度数
(2)在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积（结果保留和根号）．
【答案】(1)的度数是；
(2)阴影部分的面积是．
【分析】本题考查圆的切线性质，直角三角形性质等知识．
（1）由是半圆O的直径，是半圆O的切线，可得，即得，可得，从而，可得的度数；
（2），可得，，即得，再利用阴影部分的面积等于半圆减去即可解题．
【详解】（1）解：∵是半圆O的直径，
∴，
∵是半圆O的切线，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：的度数是；
（2）解：由（1）知，
∵，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积是-2=2π-2，
答：阴影部分的面积是．
6．（2023上·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，是的内接三角形，是的直径，是的弦，且，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析；；(2)．
【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理及弓形面积计算，
()由圆周角定理得出，得出，由得出 ，由圆周角定理得出 ，即可得出结论；
()连接，，可证明，，得到，利用勾股定理可求得，再由分割法可求得阴影部分的面积；
熟练掌握圆周角定理及分割法计算弓形面积是解题的关键．
【详解】（1）证明:∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴ ；
（2）如图，连接，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
，
．
7．（2023上·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交射线于点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)
【分析】（1）如图1，连接，则，由平分，可得，则，，则，进而结论得证；
（2）由线段是的直径，可得，由，，，可得，则；
（3）证明是等边三角形，则，，，，，如图1，连接，，，由，，可得，，则是等边三角形，，，根据计算求解即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，且，
∴直线是的切线．
（2）证明：∵线段是的直径，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
（3）解：∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，平分，
∴，
如图1，连接，，，
∵，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
8．（2023上·江苏南通·九年级校联考期中）如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，连结，若，，，求、与弧围成阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）先判断出，再用圆周角定理和等角的余角相等，即可得出结论；
（2）先判断出，再判断出是等边三角形，得到，进而由勾股定理得到，最后根据阴影部分面积为，得到答案．
【详解】（1）证明：四边形是的内接四边形，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
∴，
，
∵，
∴是等边三角形，
，，
∵，，
∴
∴，
，与围成阴影部分的面积为：
．
9．（2023上·河北石家庄·九年级石家庄市第四十中学校考期中）已知，在半圆中，直径，点C，D在半圆O上运动，弦．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，若，求图中阴影部分（弦、直径、弧围成的图形）的面积；
(3)如图3，取的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：
①点M的运动路径的总长______；
②点M到的距离的最小值是______．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)①；②
【分析】（1）先根据圆周角定理证明，再证明即可；
（2）过D作于H连接，先证明，再求出的长，再根据即可；
（3）根据题意，结合垂径定理与勾股定理得出在以为圆心、为半径的弧上运动，从而，当与重合或者与重合时，点M到的距离的最小值，求出运动轨迹所对的圆心角，根据弧长公式求解即可；再利用特殊直角三角形三边关系求出最短距离即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴．
即，
在和中，
，
∴；
（2）解：过D作于H连接，如图：
∵半圆O中，直径，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：①连接、，如图所示：

是中点，
是弦的中垂线，
在中，，，，则，
，
在以为圆心、为半径的弧上运动，如图所示：

从而，当与重合或者与重合时，，
，
故答案为：；
②当与A重合或者与B重合时，点M到的距离取得最小值，
在中，，，，
则点M到的距离的最小值为，
故答案为：．
10．（2023上·江苏盐城·九年级月考）如图，已知中，，以为直径的交于点，与相切，交于点，连接，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若以、的长为方程两个实数根，求的值；
(3)求图中以线段、和所围成图形的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)．
【分析】（）连接，，可证得是的中位线，进一步得出结论；
（）在 中求得，在 中求得，根据根与系数的关系求得的值；
（）连接，， 作，求得等边三角形的面积，的面积，扇形的面积，进而求得结果．
【详解】（1）解：，理由如下，如图，连接，，

∵是的直径,
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴
∴；
（2）在中，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
在中，，
∴，
（3）连接，，作于，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴线段、和所围成图形的面积为：．
11．（2023上·山西阳泉·九年级月考）综合与实践
【问题情境】
在一块长，宽的矩形荒地上，建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．方案一：如图1．花园四周小路的宽度相等；方案二：如图2．矩形中每个角上的扇形相同．
【数学思考】
（1）求方案一中小路的宽度，设小路的宽度为米，请列出方程，并解答；
（2）求方案二中扇形的半径；（其中，结果保留根号）
【知识迁移】
（3）你还有其他的设计方案吗？请在图3中画出你的设计草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明．
【答案】（1）小路的宽度为2m；（2）扇形的半径为；（3）设计方案说明见解析
【分析】（1）利用矩形的面积公式列方程，解答即可；
（2）花园中每个角上的扇形相同，和在一起正好是一个圆，根据圆的面积公式列方程，进行解答，从而求出半径；
（3）答案不唯一，发挥想象，符合要求即可．
【详解】（1）设小路的宽度为，则，
解得或（舍去）.
答：小路的宽度为；
（2）四个角上的四个扇形可合并成一个圆，设这个圆的半径为.
故有，
解得，
答：扇形的半径为；
（3）设计方案如图，在正方形的边上取点，

则，
证明：和正方形等底等高，的边上高等于的长，
，
故．
12．（2022上·河北廊坊·九年级校考期中）如图1，直线与直线相交于点，在直线上取两点，且，在直线上取两点．且，以为直径作小半圆，以为直径作大半圆．连接，直线交大半圆于点．
(1)求证：；
(2)求阴影部分的面积；
(3)如图2，若切小半圆于点，连接，求证：也是小半圆的切线．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)见解析
【分析】（1）证明，即可得到，从而即可得证；
（2）由可得阴影部分的面积，代入数据进行计算即可得到答案；
（3）由切线的性质可得，设交小半圆于，连接，由直角三角形的性质可得，从而推出是等边三角形，得到，，再由等腰三角形的性质及三角形外角的定义及性质可得，过点作于点，由角平分线的性质可得，由此即可得证．
【详解】（1）证明：，
，
，
；
（2）解：，
阴影部分的面积；
（3）解：切小半圆于A，
，
如图，设交小半圆于，连接，

，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
过点作于点，
，
，
也是小半圆的切线