数学九年级上册24.1.1 圆测试题

这是一份数学九年级上册24.1.1 圆测试题，共25页。

(1)求的度数；
(2)如图2，过点A作的切线交延长线于点，过点作交于点．若，，求的长．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据圆周角定理证得两直线平行，再根据平行线的性质即可得到结论；
（2）由勾股定理得到边的关系，求出线段的长，再利用等面积法求解即可．
【详解】（1）解： 为的直径，
，
为的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，
设，
则，，，

为的直径，
，
在中，，
由（1）得，，
，
，，
，
，
解得或（不合题意舍去），
，
，
是的切线，
，
，
，
，
．
1．（2023上·湖北武汉·九年级统考期中）如图，四边形内接于，为的直径，B为的中点．
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)若，求的长．
【答案】(1)为等腰直角三角形，证明详见解析；
(2)．
【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．
（1）根据圆周角定理解决问题；
（2）过点B作于点M，交的延长线于点N．利用全等三角形的性质证明，可得结论．
【详解】（1）为等腰直角三角形，理由如下：
∵为的直径
∴，
∵B为的中点，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形
（2）过点B作于点M，交的延长线于点N．

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
2．（2023上·江苏盐城·九年级月考）已知，如图，为的直径，内接于，，，，延长交于点D，连接．
(1)求证：点P是的内心；
(2)已知的直径是，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）由圆周角定理得出，由得出，再由三角形的外角性质得出，即可得出结论；
（2）连接，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，由勾股定理可求的长，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴点P是的内心；
（2）解：连接，过点B作于H，如图所示：
∵是直径，，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或，
∴或（不合题意，舍去）．
3．（2023上·湖北黄冈·九年级统考期中）如图，是直径，弦于点，过点作的垂线交的延长线于点，垂足为点，连结．
(1)求证：；
(2)若，求弦的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）欲证明，利用圆周角定理的推论和三角形的内角和证明即可得解；
（2）由垂径定理得出，再由勾股定理得出半径为5，在中，利用勾股定理构建方程即可求解．
【详解】（1），，
，
，
．
.，
，
；
（2）连接．

设圆的半径为，则．
，为直径，
．
在中，由勾股定理得：
，
解得．
．
在中，由勾股定理得：
，
解得．
4．（2023上·江苏无锡·九年级统考期中）如图，是的角平分线，点O是上一点，与相切于点M，与交于点E、F．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】此题主要考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质和判定，等腰三角形的性质，灵活运用三角形的内角和定理进行运算是解决问题的关键；
（1）连接，过点作于，先根据切线的性质得，再由角平分线的性质得，进而根据切线的判定可得出结论；
（2）由得，根据角平分线的定义得，再由得，然后根据求出，进而可得的度数．
【详解】（1）连接，过O作于N．

∵与相切于M，
∴．
∵是的角平分线，，，
∴半径．
∴是的切线．
（2）∵，
∴．
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，，
∴，
∴．
5．（2023上·浙江台州·九年级校考期中）如图，是的一条弦，，垂足为，交于点，点在上．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)；(2)
【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，勾股定理等知识点，
（1）欲求，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解；
（2）利用垂径定理可以得到，设的半径为，则，在中，由勾股定理得：，求解即可；
掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴；
∴的度数为；
（2）设的半径为，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
在中，，
∴，
解得：；
∴的半径是．
6．（2023上·湖北武汉·九年级统考期中）如图，是的直径，AC是弦，B是上一点，E是延长线上一点，连接，，．
(1)求证：；
(2)若，的半径为6，，求的长．
【答案】(1)见解析；(2)16
【分析】本题考查了圆的相关知识点，解题的关键是正确作出辅助线，掌握“直径所对的圆周角是直角”， “圆的内接四边形对角互补”，以及勾股定理．
（1）连接，根据“直径所对的圆周角是直角”推出，根据“圆的内接四边形对角互补”可推出，即可得出结论；
（2）连接，易得，根据，，推出，根据勾股定理求出，即可求解；
【详解】（1）证明：连接．

是的直径，
，
，
又，
，
．
（2）解：连接，

，
，
又，，
，
即，
的半径为6，
，
在中，．
．
7．（2023上·福建福州·九年级校联考期中）如图，是的外接圆，连接交于点D．
(1)求证：；
(2)若，，，求的半径；
(3)若，，的面积为6，求的长
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)
【分析】（1）延长交于点E，连接，根据直径所对的圆周角是直角及圆周角定理可得即和，利用等量代换即可解答；
（2）过点O作，垂足为F，连接，先利用垂径定理可得，从而可得，然后设，则，再在和中，利用勾股定理可得，，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答；
（3）过点D作，垂足为P，过点O作，垂足为Q，根据垂直定义可得，再利用垂径定理可得，然后利用同角的余角相等可得，可证明，最后利用全等三角形的性质可得，最后利用三角形的面积进行计算，即可解答．
【详解】（1）证明：延长交于点E，连接，

是的直径，
，
，
，
．
（2）解：过点O作，垂足为F，连接，

，，
，
，
设，
，
，
在中，，
在中，，
，
解得：，
，
的半径为．
（3）解：过点D作，垂足为P，过点O作，垂足为Q，

，
，
，，
，
即
在和中，
，
，
的面积为6，
，
．
8．（2023上·新疆喀什·九年级统考期中）如图，在中，以点A为圆心画弧分别交，的延长线和于D，E，F，连接并延长交于G，．
(1)求证：；
(2)连接，判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题主要考查了圆周角定理、平行线的判定、等边对等角和等角对等边，
（1）根据等边对等角、对顶角相等、垂线的性质推出，即可得出结论；
（2）连接，根据“直径所对圆周角为直角”得到，根据“同位角相等，两直线平行”即可得到；
熟练掌握圆周角定理、平行线的判定、等边对等角和等角对等边是解题的关键．
【详解】（1）证明：以点A为圆心画弧分别交，的延长线和于D，E，F，
，
，
，
，
，
，，
，
；
（2）解：，理由如下，
如图，连接，
为以点A为圆心的圆的直径，
，
，
，
．
9．（2023上·福建莆田·九年级校考期中）如图，在中，，是角平分线，点O在上，以点O为圆心，长为半径作圆经过点D，交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析；(2)8
【分析】此题考查了切线的判定“切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键；
（1）连接，由为角平分线得到一对角相等，根据，等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，进而确定出与平行，利用两直线平行同位角相等得到为直径，即可得证；
（2）过作垂直于，可得出四边形为矩形，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，由垂径定理可得．
【详解】（1）证明：连接，

∵为平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
则为圆O的切线；
（2）解：过O作，连接，

∴四边形为矩形，
∴，
在中，利用勾股定理得：，
∴，
∵，
∴．
∴．
10．（2023上·湖北荆门·九年级统考期中）如图，A，B是上的两点，，C是的中点．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)延长至，使得，连接，若圆的半径，求的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）求出等边三角形和等边，推出，即可得出答案；
（2）求出，再求出，，即可求出答案．
【详解】（1）证明：连接，
∵，是弧的中点，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，同理，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，，
又∵，圆的半径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∵，，
∴．
11．（2023上·内蒙古呼和浩特·九年级统考期中）如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，．
(1)求的半径长；
(2)连接，作于点F，求的长．
【答案】(1)5；(2)
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，勾股定理求线段是解题的关键．
（1）如图，连接，由垂径定理得，，设半径长为，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可；
（2）由题意知，，由勾股定理得，，由垂径定理得，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】（1）解：如图，连接，

∵，
∴，，
设半径长为，则，
由勾股定理得，，即，解得，
∴的半径长为5；
（2）解：∵，
∴，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
∴的长为．
12．（2023上·湖南长沙·九年级长沙市长郡双语实验中学校联考期中）如图，内接于，，弦与交于点E，，过点A作于点F．
(1)判断与的大小关系，并说明理由；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)，理由见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由判断出，再判断出，即可得出结论；
（2）过点作交的延长线于，先判断，再判断出，进而判断出，得出，再判断出，判断出，即可得出结论；
（3）过点作交的延长线于，由，判断出，设，则，得出，根据勾股定理得，，即可得出结论．
【详解】（1）解：；理由：
（2）证明：过点C作交的延长线于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴，
，
即；

（3）过点作交的延长线于，
由（2）知，，
设则
根据勾股定理得，
13．（2023上·江西南昌·九年级南昌市心远中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，，、，且．以为直径作交于点D，过点D作直线交线段于点E，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若线段上存在一点P，使以点P为圆心，为半径的与y轴相切，求点P的坐标．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）连接，，利用点的坐标的特征表示出线段，的长度，利用矩形的判定与性质和圆周角定理，勾股定理求得的长，则得到为等边三角形，通过计算得到，利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论；
（2）利用圆的切线的定义得到点P到y轴的距离等于，过点P作轴于点F，轴于点H，利用直角三角形的边角关系定理和矩形的判定与性质得到
，，利用，列出方程求得，进而求得，的长度，利用点的坐标的特征即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接，，如图，
∵、，
，．
∵以为直径作交于点D，
．
，
，
∴四边形为矩形，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
（2）解：∵线段上存在一点P，使以点P为圆心，为半径的与y轴相切，
∴点P到y轴的距离等于．
过点P作轴于点F，轴于点H，如图，
则．
由（1）知：，
，．
轴，轴，，
∴四边形为矩形，
，
，
，
，，
∴点P的坐标为．
14．（2022上·天津南开·九年级校考期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE切⊙O于点A，AE与直径BD的延长线相交于点E．
(1)如图①，若∠C＝71°，求∠E的大小；
(2)如图②，当AE＝AB，DE＝2时，求∠E的大小和⊙O的半径．
【答案】(1)；(2)．
【分析】（1）连接，先由切线的性质得的度数，求出，进而得，则可求出答案；
（2）连接，由等腰三角形的性质求出，根据含解的直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：连接．
∵切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴．
（2）
连接，
设
是的切线，
即
在中，
即
解得
在中，
即的半径为2；