初中数学人教版（2024）九年级上册24.1.1 圆测试题

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册24.1.1 圆测试题，共16页。试卷主要包含了圆的定义，弦心距，圆心角，圆周角，圆的旋转对称性，垂径定理，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系等内容，欢迎下载使用。

1.圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．
2.弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．直径：经过圆心的弦叫做圆的直径．
3.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
4.弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
5.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1°的圆心角，我们也称这样的弧为1°的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．
6.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
推论4：圆的内接四边形的对角互补.
7.圆的旋转对称性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对的其他量都分别相等.
8.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论1：平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．
9.点与圆的位置关系：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种.
设的半径为，点到圆心的距离为，则点在圆外；点在圆上；点在圆内.
10.直线与圆的位置关系：相离、相切、相交三种.
设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与相离（如图1）；直线与相切（如图2）；直线与相交（如图3）.
图1 图2 图3
11.切线的性质及判定
1）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
2）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；
3）切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
4）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
12.三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
1．下列判断正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦B．两个圆心角相等，它们所对的弦也相等
C．等弧所对的圆心角相等D．在同圆或等圆中，同弦所对的圆周角相等
【答案】C
【解析】A、平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误，不符合题意；
B、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等，故本选项错误，不符合题意；
C、等弧所对的圆心角相等，故本选项正确，符合题意；
D、由于同一条弦所对的圆周角有两个，当弦不是直径时，这条弦所对的两个圆周角一个是锐角，一个是钝角，所以在同圆或等圆中，同弦所对的圆周角不一定相等，故本选项错误，不符合题意．故选C．
2．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径为3米，则点C到弦所在直线的距离是（ ）
A．1米B．2米C．米D．米
【答案】C
【解析】连接交于D，
由题意得：米，，∴（米），，
由勾股定理得，（米），∴米，
即点C到弦所在直线的距离是米，故选C．
3．如图，点在上，直径于点，下列结论中不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据为的直径，且，垂足为，则是垂直于弦的直径，满足垂径定理．
因而都是正确的．所以选项B不一定成立．故选B．
4．如图，是的直径，四边形内接于，若，则的直径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，连接、．
是的直径，四边形内接于，，
，．
又，是等边三角形，，．故选D．
5．在矩形中，，以点A为圆心，4为半径作，点C与的位置关系是（ ）
A．点C在内B．点C在上C．点C在外D．无法确定
【答案】C
【解析】在矩形中，，
∴，∴，
∵的半径r=4，∴，∴点C在外，故选C．
6．如图，分别与相切于两点，与相切于点，与分别相交于两点，若，，则的周长和的度数分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【解析】∵分别与相切于两点，∴，即，，
∵分别与相切于两点，∴，
∵分别与相切于两点，∴，∴，，
∴的周长为，如图所示，连接，
∵分别与相切于两点，，
∴，，
在中，，同理，，
∴所对的圆心角，
∴所对圆心角，∴，故选．
7．如图，在中，，则内切圆的半径是（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】C
【解析】如图，在中，，根据勾股定理得.
设切点分别为D，E，F，四边形中，，，∴四边形是正方形，由切线长定理，得：，，；
∴，∴．故选C．
8．如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】连接，
∵点I是的内心，∴平分，∵，∴，
∵点O是外接圆的圆心，∴，
∵，∴，故选B．
9．如图，在平面直角坐标系中，、、
(1)在图中画出经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的位置，并写出圆心的坐标为____；
(2)的半径为__ ；
(3)点到上最近的点的距离为__ ．
【解析】（1）如图，点为所作；点的坐标为； 故答案为：；
（2），，，即的半径为，故答案为：；
（3），点到上最近的点的距离为．故答案为：．
10．如图，是的直径，C、D两点在上，若．
(1)求的度数；
(2)若，求的半径．
【解析】（1）∵，∴，
∵是的直径，∴，∴.
（2）如图，连接，∵是的直径，∴，
∵，∴，∴的半径为5．
11．如图，为⊙的直径，交⊙于点，为上一点，延长交⊙于点，延长至，使，连接.
(1)求证：为⊙的切线；
(2)若且，求⊙的半径．
【解析】（1）由已知条件得，，，，，
又，，，
，，为⊙的切线．
（2）由已知得，，，，，
设⊙的半径为，则，,
，，
在中，，即，
即，（舍去）或，故⊙的半径为．

12．如图，为的内切圆，，，，点D，E分别为，上的点，且为的切线，则的周长为（ ）
A．9B．7C． D．8
【答案】C
【解析】如图，过作于F，于G，于H，于K，
∵为的内切圆，为的切线，
∴，，，，，
∴，
∵，，，∴，故选C．
13．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为上一动点，于F，则线段的最小值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】连接，作，连接，
∵，∴，∵为圆心，半径为2，∴，
在中，，，∴，
∵，∴，∵，
∴，∴，∴，
∵，∴点F在以为直径的圆M上移动，
当点F在的延长线上时，的长最小，最小值为，故选B．
14．如图，是的直径，是弦，沿对折劣弧，交于点D，E、F分别是和的中点，令为所在圆的圆心，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】连接，设交于点，如图所示：
∵点E、F分别是和的中点，∴∴，
又结合对折及圆的性质易知，
∴四边形是平行四边形，∴，
∵，，∴，，∴，∴，
由折叠可知，∴，在中，，
∴，∴.故选A．
15．如图（），是的直径，点、在上，，，．
(1)求证：平分；
(2)求的长；
(3)如图（），是半圆的中点，连接，求的长．
【解析】（1）∵ ，∴，
∵，∴，∴，∴平分；
（2）作于，于，如图，则，

∵为直径，∴，∴，
∵，∴，在中，，
∵，∴，
在和中，，∴，
∴，∴；
（3）作于，连接、，如图，
∵是半圆的中点，∴，，
∴为等腰直角三角形，∴，
在中，，在中，，
∴．
16．阅读以下材料，并完成相应的任务：西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图1，已知内接于⊙O，点P在⊙O上（不与点A、B、C重合），过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F，求证：点D，E，F在同一条直线上.
以下是他们的证明过程：
如图1，连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE，QF，
则（依据1），
∴E，F，P，C四点共圆，∴（依据2）．
又∵，∴．
∵，∴B，D，P，E四点共圆，∴（依据3）．
∵，∴（依据4）．
∴点D，E，F在同一条直线上．
任务：(1)填空：①依据1指的是中点的定义及______；
②依据2指的是______；③依据3指的是______；④依据4指的是______．
(2)善于思考的小英发现当点P是的中点时，．请你利用图2证明该结论的正确性．
【解析】（1）①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
②圆内接四边形对角互补；③同弧所对的圆周角相等；④等量代换；
（2）如图，连接PA，PB，PC．
∵点P是的中点，∴，∴，．
又∵，，∴．∴（HL）．∴．
17．阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．
定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边”．
按图写出这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程；
已知：________________________________________________________________________________，
求证：________________________________________________________________________________，
证明：________________________________________________________________________________．
【解析】已知：如图，在圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点M，过点M作AB的垂线分别交AB、DC于点F，E．
求证：点E是DC的中点．
证明：∵AC⊥BD，EF⊥AB，
∴∠BMF＋∠AMF＝90°，∠MAF＋∠AMF＝90°，∴∠BMF＝∠MAF，
∵∠EDM＝∠MAF，∠EMD＝∠BMF，∴∠EDM＝∠EMD，∴DE＝ME，
同理可证ME＝CE，∴DE＝CE，∴点E是DC的中点．
18．我们规定：线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做这个点对这条线段的视角．如图1，对于线段及线段外一点C，我们称为点C对线段的视角．如图2，在平面直角坐标系中，已知点，．为过D，E两点的圆，F为上异于点D，E的一点．
(1)如果为的直径，那么点F对线段的视角______；
(2)如果点F对线段的视角为45度，那么的半径为多少？
(3)点G为x轴正半轴上的一个动点，当点G对线段的视角最大时，求点G的坐标．
【解析】（1）如图1，当为的直径时，点F对线段的视角，故答案为：；
（2）如图2，作轴于点M，∴，
∵点F对线段的视角为，∴，∴，

图1 图3
∵，∴是等腰直角三角形，∴，，
即的半径为；
（3）如图3，当与x轴相切，G为切点时，最大，
由题意可得：点P在线段的垂直平分线上，∴，
过点P作于点H，∴，∵轴，∴四边形是矩形，
连接，在中，，，∴，∴点G的坐标为：．
19．（2023年广东广州中考真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（ ）
A．2r，B．0，C．2r，D．0，
【答案】D
【解析】如图，连接．
∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，
∴，
∴，，
∴，∴．故选D．
20．（2023年陕西中考真题）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ）
A．13cmB．16cmC．17cmD．26cm
【答案】A
【解析】是的一部分，是的中点，，，．
设的半径为，则．
在中，，，，，
即的半径为．故选A．
21．（2023年内蒙古呼和浩特市中考真题）如图，内接于且，弦平分，连接，．若，，则 ， ．

【答案】，
【解析】内接于且，为的直径，，，
弦平分，，，
，，，，如图把绕逆时针旋转得到，
，，，
、、三点共线，为等腰直角三角形，，
．故答案为：，．
22．（2023年甘肃中考真题）如图，内接于，是的直径，，于点，交于点，交于点，，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)当时，求的长．
【解析】（1）如图所示，连接，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∵，∴，
即，又是的直径，∴是的切线；
（2）∵，是的直径，∴，，∴，
∵，，∴，∴，
又，∴，∴是等腰三角形；
（3）∵，，设，
则，∴，∴．