2025高考数学一轮复习-5.1-平面向量的概念及线性运算-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-5.1-平面向量的概念及线性运算-专项训练【含答案】，共8页。
1.已知a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则下列说法正确的是( )
A.a+b=0
B.a=b
C.a与b共线反向
D.存在正实数λ,使a=λb
2.下列命题中,正确的是( )
A.若a和b都是单位向量,则a=b
B.若|a|=|b|,则a=b或a=-b
C.对于任意向量a,b,有|a+b|≥|a-b|
D.对于任意向量a,b,有|a|+|b|≥|a+b|
3.设D为线段BC的中点,且AB→+AC→=-6AE→,则( )
A.AD→=2AE→B.AD→=3AE→
C.AD→=2EA→D.AD→=3EA→
4.四边形ABCD,CEFG,CGHD都是全等的菱形,HE与CG相交于点M,则下列关系不一定成立的是( )
A.|AB→|=|EF→|
B.AB→与FH→共线
C.BD→与EH→共线
D.DC→与EC→共线
5.如图,在△ABC中,点D在BC边上,且CD=2DB,点E在AD边上,且AD=3AE,则用向量AB→,AC→表示 CE→ 为( )
A.29AB→+89AC→ B.29AB→-89AC→
C.29AB→+79AC→ D.29AB→-79AC→
6.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AB→+AD→=λAO→,则λ= ,BO→= (用AB→,AD→来表示).
7.已知不共线向量a,b,AB→=ta-b(t∈R),AC→=2a+3b,若A,B,C三点共线,则实数t= .
8.一条河的两岸平行,河的宽度d=4 km,一艘船从岸边A处出发到河的正对岸,已知船的速度大小|v1|=10 km/h,水流速度大小|v2|=2 km/h,那么行驶航程最短时,所用时间是 h.(附:6≈2.449,精确到0.01)
9.设e1,e2是两个不共线的向量,已知AB→=2e1-8e2,CB→=e1+3e2,
CD→=2e1-e2.
(1)求证:A,B,D三点共线;
(2)若BF→=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.
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10.(多选题)已知A,B,C是同一平面内三个不同的点,OA→=a-b,OB→=2a-3b,OC→=3a-5b,则下列结论正确的是( )
A.AC→=2AB→B.AB→=BC→
C.AC→=3BC→D.A,B,C三点共线
11.设D为△ABC的边AB的中点,P为△ABC内一点,且满足AP→=AD→+
13BC→,则S△APDS△ADC等于( )
A.13 B.34 C.12 D.23
12.在△ABC中,D在线段BC上,且BD→=2DC→,AM→=λAC→,AN→=μAB→,λ,μ均为非零常数,若N,D,M三点共线,则2λ+1μ= .
13.如图所示,在△ABO中,OC→=14OA→,OD→=12OB→,AD与BC相交于点M,设OA→=a,OB→=b.
(1)试用向量a,b表示OM→;
(2)过点M作直线EF,分别交线段AC,BD于点E,F.记OE→=λa,OF→=μ b,求证:1λ+3μ为定值.
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14.在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=23,BC=2,点E在线段CD上,若AE→=AD→+μAB→,则μ的取值范围是 .
15.如图,已知正六边形ABCDEF,M,N分别是对角线AC,CE上的点,使得AMAC=CNCE=r(r>0),当r= 时,B,M,N三点共线.
参考答案
【A级 基础巩固】
1.解析:因为a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,所以a与b共线同向.故选D.
2.解析:单位向量的模长相等,但方向未必相同,所以a与b不一定相等,故A错误.当向量模长相等、方向不相同且不相反时,满足|a|=|b|,但a=b,a=-b不成立,故B错误.若非零向量a,b方向相反,则|a+b||a+b|;
当a,b为非零向量,且a,b不共线时,如图所示,|a|+|b|>|a+b|.综上,|a|+|b|≥|a+b|,故D正确.故选D.
3.解析:由D为线段BC的中点,且AB→+AC→=-6AE→,得2AD→=-6AE→,
AD→=-3AE→,即AD→=3EA→.故选D.
4.解析:因为三个四边形都是全等的菱形,所以|AB→|=|EF→|,AB∥CD∥FH,故AB→与FH→共线.又三点D,C,E共线,所以DC→与EC→共线,故A,B,D都正确.故选C.
5.解析:由题意可得 CE→=AE→-AC→=13AD→-AC→=13(AB→+13BC→)-AC→=13[AB→+
13(AC→-AB→)]-AC→=29AB→-89AC→.故选B.
6.解析:由向量加法的平行四边形法则知AB→+AD→=AC→,又因为O是AC的中点,所以AC=2AO,所以AC→=2AO→,故AB→+AD→=2AO→,所以λ=2.
所以BO→=12BD→=12(AD→-AB→).
答案:2 12(AD→-AB→)
7.解析:因为A,B,C三点共线,
所以存在实数k,使得AB→=kAC→,
所以ta-b=k(2a+3b)=2ka+3kb,
即(t-2k)a=(3k+1)b.
因为a,b不共线,所以t-2k=0,3k+1=0,解得k=-13,t=-23.
答案:-23
8.解析:要使航程最短,需使船的速度与水流速度的合成速度v必须垂直于对岸,如图所示,|v|=|v1|2-|v2|2=96(km/h),所以t=d|v|=496=
66≈0.41(h).
答案:0.41
9.(1)证明:由已知得BD→=CD→-CB→=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,
因为AB→=2e1-8e2,所以AB→=2BD→.
又AB→与BD→有公共点B,所以A,B,D三点共线.
(2)解:由(1)可知BD→=e1-4e2,因为BF→=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,所以BF→=λBD→ (λ∈R),即3e1-ke2=λe1-4λe2,所以λ=3,-k=-4λ,
解得k=12.
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10.解析:由题可得AB→=OB→-OA→=a-2b,AC→=OC→-OA→=2a-4b,BC→=OC→-OB→=
a-2b,所以AC→=2AB→,故A正确;AB→=BC→,故B正确;AC→=2BC→,故C错误;由AC→=2AB→可得AC→∥AB→,A为公共点,故A,B,C三点共线,故D正确.故选ABD.
11.解析:因为D为△ABC的边AB的中点,所以S△ABC=2S△ADC,又因为P为
△ABC内一点,且满足AP→=AD→+13BC→,所以AP→-AD→=13BC→,即DP→=13BC→,即|DP|=13|BC|,且DP∥BC,因为S△ABC=12|AB||BC|sin B,S△APD=12|AD||DP|
sin B=12×12|AB|×13|BC|·sin B=16×12|AB||BC|sin B=16S△ABC,
所以S△APDS△ADC=16S△ABC12S△ABC=13.故选A.
12.解析:因为BD→=2DC→,所以BD→=23BC→,所以AD→=AB→+BD→=AB→+23BC→=AB→+
23(AC→-AB→)=13AB→+23AC→,因为AM→=λAC→,AN→=μAB→,所以AC→=1λAM→,
AB→=1μAN→,所以AD→=13μAN→+23λAM→,若N,D,M三点共线,则13μ+23λ=1,
所以2λ+1μ=3.
答案:3
13.(1)解:由A,M,D三点共线,可设DM→=mDA→,则OM→=mOA→+(1-m)OD→=
ma+1-m2b,由B,M,C三点共线,可设BM→=nBC→,则OM→=nOC→+(1-n)OB→=
n4a+(1-n)b,
所以m=14n,1-m2=1-n,
解得m=17,n=47,
所以OM→=17a+37b.
(2)证明:因为E,M,F三点共线,设FM→=kFE→,则OM→=kOE→+(1-k)OF→=
kλa+(1-k)μ b,
由(1)知kλ=17,(1-k)μ=37,所以1λ=7k,3μ=7-7k,所以1λ+3μ=7,为定值.
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14.解析:由已知得AD=1,CD=3,所以AB→=2DC→.因为点E在线段CD上,
所以DE→=λDC→ (0≤λ≤1).因为AE→=AD→+DE→=AD→+λDC→=AD→+λ2AB→,
又AE→=AD→+μAB→,所以μ=λ2.
因为0≤λ≤1,所以0≤μ≤12.
答案:[0,12]
15.解析:连接AD,交EC于点G,设正六边形边长为a,由正六边形的性质知,AD⊥CE,AD∥CB,点G为EC的中点,且AG=32a,
则CA→=CG→+GA→=12CE→+32CB→,
又AMAC=CNCE=r(r>0),由题意知r≠1,
则CA→=CM→1-r,CE→=CN→r,
故CM→1-r=CN→2r+32CB→,
即CM→=1-r2rCN→+3(1-r)2CB→,
若B,M,N三点共线,由向量共线定理知
1-r2r+3(1-r)2=1,
解得r=33或-33(舍去).
答案:33