2025高考数学一轮复习-5.1-平面向量的概念及线性运算-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-5.1-平面向量的概念及线性运算-专项训练【含答案】，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1．下列命题正确的是( )
A．|a|＝|b|⇒a＝b B．a≠b⇒|a|≠|b|
C．a∥b⇒a＝b D．|a|＝0⇒a＝0
2．在△ABC中，BD＝12DC，则AD＝( )
A．14AB+34AC B．23AB+13AC
C．13AB+23AC D．13AB−23AC
3．设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则MA＋2MB＋2MC+MD＝( )
A．AB B．CD
C．2AB D．12CD
4．已知a，b是两个不共线的平面向量，向量AB＝λa＋b，AC＝a－μb(λ，μ∈R)，若AB∥AC，则有( )
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
5．对于平面内n个起点相同的单位向量ai(i＝1，2，…，n，n＝2k，k∈N＊)，若每个向量与其相邻向量的夹角均为2πn，则a1与a2＋…＋an的位置关系为( )
A．垂直 B．反向平行
C．同向平行 D．无法确定
6．若向量a，b满足|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列结论一定正确的是( )
A．a＝0
B．存在实数λ，使得a＝λb
C．存在实数m，n，使得ma＝nb
D．|a－b|＝|a|－|b|
7．P是△ABC所在平面上一点，满足PA+PB+PC＝2AB，△ABC的面积是S1，△PAB的面积是S2，则( )
A．S1＝4S2 B．S1＝3S2
C．S1＝2S2 D．S1＝S2
8．如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF＝2FO，且FC＝λFD＋μFE，则λ＋μ等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
二、多项选择题
9．已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是( )
A．|MA|＝|MB|＝|MC|
B．MA+MB+MC＝0
C．BM＝23BA+13BD
D．S△MBC＝13S△ABC
10．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A．若BM＝13BC，则AM＝13AC+23AB
B．若AM＝2AC－3AB，则M，B，C三点共线
C．若AM＝λ(AB+AC)，BM＝(1－2μ)BC，λ，μ∈R，则λ＋μ＝34
D．若AM＝xAB＋yAC且x＋y＝13，则△MBC的面积是△ABC面积的23
三、填空题
11．e1，e2是两个不共线的向量，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1−e2且A，B，D三点共线，则实数k＝________．
12．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于不同的两点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为________．
13．在△ABC中，E为AC上一点，AC＝3AE，P为线段BE上任一点(不含端点)，若AP＝xAB＋yAC，则1x+3y的最小值是( )
A．8 B．10
C．13 D．16
14．在平面上有△ABC及内一点O满足关系式：S△OBC·OA＋S△OAC·OB＋S△OAB·OC＝0，即称为经典的“奔驰定理”．已知点O是△ABC所在平面内一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a·OA＋b·OB＋c·OC＝0，则O为△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
15．如图，边长为2的等边三角形ABC的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若AP＝xAB＋yAC，则2x＋2y的最大值为( )
A．83 B．2
C．43 D．1
16．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足AM＝34AB+14AC，则△ABM与△ABC的面积之比为________；若N为AB的中点，AM与CN交于点O，设BO＝xBM＋yBN，则x＋y＝_______
参考答案
1．D [对于A，两个向量的模相等，但方向不一定相同，所以错误；对于B，若两个向量是相反向量，则两个向量的模相等，所以错误；对于C，向量平行不能得到向量相等，所以错误；对于D，若一个向量的模等于0，则这个向量是0，所以正确．]
2．B [∵BD＝12DC， ∴AD−AB＝12(AC−AD), ∴AD＝23AB+13AC.故选B.]
3．A [M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则MA＝－MC，MD＝－MB，
所以MA＋2MB＋2MC+MD＝MA+MC+MC+MB+MB+MD＝MC+MB＝MB−MA＝AB＝DC.故选A.]
4．C [因为AB∥AC，所以存在实数k使AB＝kAC.
因为AB＝λa＋b，AC＝a－μb(λ，μ∈R)，
所以λa＋b＝k(a－μb)，
可得λ=k，1=−kμ， 所以λμ＝－1，故选C.]
5．B [根据题意可得a1＋a2＋…＋an＝0，
所以a2＋…＋an＝－a1，
所以a1与a2＋…＋an的位置关系为反向平行.故选B.]
6．C [当a≠0且b≠0时，由|a＋b|＝|a|＋|b|，可知a，b共线，且同向，故存在实数λ，使得a＝λb(λ>0)，令λ＝nm，其中m，n同号，即a＝nmb，即ma＝nb，则存在实数m，n，使得ma＝nb，当a≠0，b＝0时，选项A，B错误；当a＝0，b≠0时，|a－b|≠|a|－|b|，故D错误．故选C.]
7．B [∵PA+PB+PC＝2AB＝2(AP+PB)，
∴3AP＝BC，∴AP∥BC且方向相同，设AP与BC的距离为h，∵S△PAB＝12|AP|·h，S△ABC＝12|BC|·h，又∵|BC|＝3|AP|，∴S△PAB＝13S△ABC，S1＝3S2．]
8．D [∵FC＝FO+OC＝4FO＝4×12(FD+FE)＝2FD＋2FE，∴λ＝μ＝2，∴λ＋μ＝4．]
9．BD [如图，M为△ABC的重心，则MA+MB+MC＝0，A错误，B正确；
BM＝BD+DM＝BD+13DA
＝BD+13(BA−BD)＝13BA+23BD，C错误；
由DM＝13AD得S△MBC＝13S△ABC，D正确．]
10．ACD [A选项，AM＝AB+BM＝AB+13BC＝AB+13(AC−AB)＝13AC+23AB，A正确；
B选项，假设M，B，C三点共线，则MB＝λBC，即AB−AM＝λ(AC−AB)，整理得AM＝－λAC＋(1＋λ)AB，故当λ＝－2时，即AM＝2AC−AB，与条件中的AM＝2AC－3AB不一致，所以M，B，C三点不共线，B错误；
C选项，根据AM＝λ(AB+AC)以及向量加法的平行四边形法则，
可知点M在直线AD上，又由BM＝(1－2μ)BC，可知点M在直线BC上，所以点M为边BC的中点，所以λ＝12，1－2μ＝12，即μ＝14，所以λ＋μ＝34，C正确；
D选项，因为AM＝xAB＋yAC，而x＋y＝13，所以3AM＝3xAB＋3yAC，其中3x＋3y＝1，不妨设AQ＝3AM，则Q点在直线BC上，由于△MBC与△ABC同底，而高线之比等于MQ与AQ之比，即比值为2∶3，所以△MBC的面积是△ABC面积的23，D正确．]
11．－8 [依题意得，BC＝−e1－3e2，于是BD＝BC+CD＝−e1−3e2+2e1−e2＝e1－4e2，由A，B，D三点共线可知，存在λ，使得AB＝λBD，即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，由e1，e2是两个不共线的向量，故2=λ，k=−4λ，解得k＝－8．]
12．2 [连接AO(图略)，则AO＝12(AB＋AC)＝m2AM＋n2AN，因为M，O，N三点共线，所以m2＋n2＝1，所以m＋n＝2.]
13．D [由题意，如图，AP＝λAB＋(1－λ)AE，且0<λ<1，又AC＝3AE，
所以AP＝λAB+1−λ3AC，故x=λ，y=1−λ3， 且0<λ<1，故1x+3y＝1λ+91−λ[λ＋(1－λ)]＝10＋1−λλ+9λ1−λ≥10＋21−λλ·9λ1−λ＝16，
当且仅当1−λλ＝9λ1−λ，即λ＝14时等号成立．
所以1x+3y的最小值是16.故选D.]
14．B [记点O到AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，S△OBC＝12a·h2，S△OAC＝12b·h3，S△OAB＝12c·h1，因为S△OBC·OA＋S△OAC·OB＋S△OAB·OC＝0，则12a·h2·OA+12b·h3·OB+12c·h1·OC＝0，即a·h2·OA＋b·h3·OB＋c·h1·OC＝0，又因为a·OA＋b·OB＋c·OC＝0，所以h1＝h2＝h3，所以点O是△ABC的内心．故选B.]
15．A [(等和线定理)作BC的平行线与圆相切于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，
设AP＝λAE＋μAF，则λ＋μ＝1，
∵BC∥EF，∴AEAB＝AFAC＝43，
∴AE＝43AB，AF＝43AC，AP＝λAE＋μAF＝43λAB+43μAC，
∴2x＋2y＝83(λ＋μ)＝83.
故选A.]
16．1∶4 107 [由AM＝34AB+14AC，可知M，B，C三点共线，
令BM＝λBC(λ∈R)，则AM＝AB+BM＝AB＋λBC＝AB＋λ(AC−AB)＝(1－λ)AB＋λAC，所以λ＝14，即点M在边BC上靠近B的四等分点处，如图所示，所以S△ABMS△ABC＝BMBC＝14.
由BO＝xBM＋yBN，得BO＝xBM+y2BA，
BO＝x4BC＋yBN，
由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线得
x+y2=1，x4+y=1，解得x=47，y=67，所以x＋y＝107.]