2025高考数学一轮复习-5.2-平面向量基本定理及坐标表示-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-5.2-平面向量基本定理及坐标表示-专项训练【含答案】，共9页。
1.在如图所示的平面直角坐标系中,向量AB→的坐标是( )
A.(2,2)
B.(-2,-2)
C.(1,1)
D.(-1,-1)
2.已知A(-1,2),B(2,-1),若点C满足AC→+AB→=0,则点C的坐标为( )
A.( 12,12) B.(-3,3)
C.(3,-3) D.(-4,5)
3.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(-1,3),B(-2,1),
C(2,2),则顶点D的坐标为( )
A.(-5,2) B.(-2,1)
C.(1,0) D.(3,4)
4.如图,已知AB→=a,AC→=b,BC→=4BD→,CA→=3CE→,则DE→等于( )
A.34b-13aB.512a-34b
C.34a-13bD.512b-34a
5.已知p:x=-1,q:向量a=(1,x)与b=(x+2,x)共线,则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.(多选题)已知平面直角坐标系内的两个向量,a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则m可以取的值是( )
A.-2B.2C.3D.5
7.已知点A(1,3),B(4,-1),写出一个与向量AB→共线的向量坐标为
.
8.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,
μ∈R),则λμ= .
9.已知a=(1,0),b=(2,1),
(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线;
(2)若AB→=2a+3b,BC→=a+mb,且A,B,C三点共线,求m的值.
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
10.已知点A(2,3),B(4,5),C(7,10),若AP→=AB→+λAC→(λ∈R),且点P在直线x-2y=0上,则λ的值为( )
A.23 B.-23 C.32 D.-32
11.(多选题)已知λ,μ∈R,AB→=(λ,1),AC→=(-1,1),AD→=(1,μ),那么( )
A.CB→+DC→=(λ-1,1-μ)
B.若AB→∥AD→,则λ=2,μ=12
C.若A是BD的中点,则B,C两点重合
D.若点B,C,D共线,则μ=1
12.如图,四边形ABCD为正方形,延长CD至点E,使得DE=CD,点P在线段CD上运动.设AP→=xAB→+yAE→,则x+y的取值范围是( )
A.[1,2]B.[1,3]
C.[2,3]D.[2,4]
13.若{α,β}是一个基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底{α,β}下的坐标,现已知向量a在基底{p=(1,-1),
q=(2,1)}下的坐标为(-2,2),则a在基底{m=(-1,1),n=(1,2)}下的坐标为 .
14.如图,已知平面内有三个向量OA→,OB→,OC→,其中OA→与OB→的夹角为120°,OA→ 与 OC→ 的夹角为30°,且|OA→|=|OB→|=1,|OC→|=23.若OC→=λOA→+μOB→(λ,μ∈R),求λ+μ的值.
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【C级 应用创新练】
15.已知平行四边形ABCD中,EC→=2DE→,FC→=2BF→,FG→=2GE→.
(1)用 AB→,AD→表示 AG→;
(2)若|AB→|=6,|AD→|=32,∠BAD=45°,如图建立直角坐标系,求 GB→和 DF→的坐标.
参考答案
【A级 基础巩固】
1.解析:因为A(2,2),B(1,1),
所以AB→=(-1,-1).故选D.
2.解析:设点C坐标为(x,y),则AC→=(x+1,y-2),AB→=(3,-3),由AC→+AB→=0得x+1+3=0,即x=-4,y-2-3=0,即y=5.故选D.
3.解析:设D(x,y),因为平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(-1,3),B(-2,1),C(2,2),所以AD→=BC→,所以(x+1,y-3)=(4,1),解得 x=3,y=4,所以顶点D的坐标为(3,4).故选D.
4.解析:DE→=DC→+CE→=34BC→+13CA→=34(AC→-AB→)-13AC→=512AC→-34AB→=512b-34a.
故选D.
5.解析:若向量a=(1,x)与b=(x+2,x)共线,则x=x(x+2),解得x=0或x=-1,所以p是q的充分不必要条件.故选A.
6.解析:根据题意,向量a,b是不共线的向量,因为a=(1,2),b=(m,3m-2),由向量a,b不共线⇔(3m-2)-2m≠0,解得m≠2,所以实数m的取值范围是{m|m∈R,且m≠2}.故选ACD.
7.解析:因为A(1,3),B(4,-1),所以AB→=(3,-4),所以与向量AB→共线的向量的坐标可以是(3λ,-4λ),λ∈R.
答案:(6,-8)(答案不唯一)
8.解析:以向量a的终点为原点,过该点的水平和竖直的网格线所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系xOy,设一个小正方形网格的边长为1,则a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3).由c=λa+μb,即(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),得-λ+6μ=-1,λ+2μ=-3,故λ=-2,
μ=-12,所以λμ=4.
答案:4
9.解:(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),
a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).
因为ka-b与a+2b共线,
所以2(k-2)-(-1)×5=0,
即2k-4+5=0,得k=-12.
(2)法一 因为A,B,C三点共线,
所以设AB→=λBC→(λ∈R),
则2a+3b=λ(a+mb),
所以2=λ,3=mλ,解得m=32.
法二 AB→=2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),
BC→=a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m),
因为A,B,C三点共线,所以AB→∥BC→,
所以8m-3(2m+1)=0,即2m-3=0,
所以m=32.
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
10.解析:设P(x,y),则由AP→=AB→+λAC→,
得(x-2,y-3)=(2,2)+λ(5,7)=(2+5λ,2+7λ).
所以x=5λ+4,y=7λ+5.
又点P在直线x-2y=0上,
故5λ+4-2(7λ+5)=0,解得λ=-23.故选B.
11.解析:A选项,CB→+DC→=AB→-AC→+AC→-AD→=AB→-AD→=(λ,1)-(1,μ)=
(λ-1,1-μ),A选项正确;
若AB→∥AD→,则λ·μ=1,故可取λ=3,μ=13,B选项错误;
若A是BD的中点,则AB→=-AD→,即(λ,1)=(-1,-μ)⇒λ=μ=-1,所以AB→=AC→=(-1,1),所以B,C两点重合,C选项正确;
由于B,C,D三点共线,所以BC→∥BD→,BC→=AC→-AB→=(-1,1)-(λ,1)=
(-1-λ,0),
BD→=AD→-AB→=(1-λ,μ-1),则(-1-λ)·(μ-1)=0·(1-λ)⇒λ=-1或μ=1,所以D选项错误.故选AC.
12.解析:以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,不妨设正方形ABCD的边长为1,则B(1,0),E(-1,1),设P(t,1)(0≤t≤1),则(t,1)=x(1,0)+y(-1,1),所以t=x-y,且y=1,故x+y=t+2∈[2,3].
故选C.
13.解析:因为a在基底{p,q}下的坐标为(-2,2),所以a=-2p+2q=(2,4),令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),所以-x+y=2,x+2y=4,解得x=0,y=2,
所以a在基底{m,n}下的坐标为(0,2).
答案:(0,2)
14.解:法一 如图,作平行四边形OB1CA1,
则OC→=OB1→+OA1→,
因为OA→与OB→的夹角为120°,OA→ 与 OC→ 的夹角为30°,
所以∠B1OC=90°.
在Rt△OB1C中,∠OCB1=30°,|OC→|=23,
所以|OB1→|=2,|B1C→|=4,
所以|OA1→|=|B1C→|=4,
所以OC→=4OA→+2OB→,
所以λ=4,μ=2,
所以λ+μ=6.
法二 以O为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(1,0),B(-12,32),C(3,3).
由OC→=λOA→+μOB→,
得3=λ-12μ,3=32μ,解得λ=4,μ=2.
所以λ+μ=6.
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【C级 应用创新练】
15.解:(1)AE→=AD→+13AB→,AF→=13AD→+AB→,
又FG→=2GE→,所以AG→-AF→=2(AE→-AG→),
所以AG→=23AE→+13AF→=59AB→+79AD→.
(2)过点D作AB的垂线交AB于点D′,如图,
于是在Rt△ADD′中,
由∠BAD=45°可知,AD′=3,
根据题意得各点坐标A(0,0),B(6,0),D(3,3),F(7,1),
AG→=59AB→+79AD→=59(6,0)+79(3,3)=(173,73),
所以G(173,73).
所以AB→=(6,0),AG→=(173,73),DF→=(4,-2),GB→=AB→-AG→=(13,-73).