数学九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程达标测试

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一、单选题：
1．某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加 株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：设每盆应该多植x株，由题意得
，
故答案为：A.
【分析】设每盆应该多植x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利（5-0.5x）元，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=每盘的总盈利即可得出方程.
2．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，可列出的方程是（ ）
A．(3+x)(4-0.5x)=15B．(x+3)(4+0.5x)=15
C．(x+4)(3-0.5x)=15D．(x+1)(4-0.5x)=15
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：设每盆应该多植x株，由题意得
（3+x）（4-0.5x）=15，
故答案为：A.
【分析】根据题目中花卉每盆的盈利与每盆的株数的关系可列方程.
3．某商场将进价为 元∕件的玩具以 元∕件的价格出售时，每天可售出 件，经调查当单价每涨 元时，每天少售出 件．若商场想每天获得 元利润，则每件玩具应涨多少元？若设每件玩具涨 元，则下列说法错误的是（ ）
A．涨价后每件玩具的售价是 元
B．涨价后每天少售出玩具的数量是 件
C．涨价后每天销售玩具的数量是 件
D．可列方程为
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】设涨价x元，根据题意可得：
A、∵（30＋x）表示涨价后玩具的单价，∴A符合题意；
B、∵10x表示涨价后少售出玩具的数量，∴B符合题意；
C、∵（300－10x）表示涨价后销售玩具的数量，∴C符合题意；
D、根据每天获利3750元可列方程（30＋x－20）（300－10x）＝3750，D不符合题意；，
故答案为：D．
【分析】根据题意列出一元二次方程，然后对四个选项进行判断即可。
4．宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房.如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出 20元的费用.当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价比定价 180元增加 x元，则有（ ）
A．（x﹣20）（50﹣ ）＝10890
B．x（50﹣ ）﹣50×20＝10890
C．（180+x﹣20）（50﹣ ）＝10890
D．（x+180）（50﹣ ）﹣50×20＝10890
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】设房价比定价180元增加x元，
根据题意，得（180+x-20）（50- ）=10890.
故答案为：C.
【分析】根据相等关系“一间房间的利润×房间数=当天的总利润10890”可列方程求解。
5．奉节特产专卖店销售2015年良种夏季脐橙，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．若该专卖店销售这种脐橙要想平均每天获利2240元，为减少库存，每千克脐橙应降价多少元？（ ）
A．4元B．6元C．4元或6元D．5元
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：设每千克橙降应降价x元．
根据题意，得 （60﹣x﹣40）（100+ ×20）=2240．
化简，得 x2﹣10x+24=0
解得：x1=4，x2=6，
∵为减少库存，
∴每千克脐橙应降价6元．
故选：B．
【分析】设每千克脐橙降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可．
6．某商品的进价为每件20元．当售价为每件30元时，每天可卖出100件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每天可多卖出10件．现在要使每天利润为750元，每件商品应降价（ ）元．
A．2B．2.5C．3D．5
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：设应降价x元，根据题意得：
（100+10x）（30﹣20﹣x）=750，
解得：x1=x2=5，
则每件商品应降价5元；
故答案为：D．
【分析】根据题意找出相等的关系量；每天的利润是750元或（100+10x）（30﹣20﹣x），得到方程，解答即可.
二、填空题：
7．某单位现要组织其市场和生产部的员工游览该公园，门票价格如下：
如果按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1245元；如果两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为945元．那么该公司这两个部的人数之差的绝对值为 ．
【答案】15
【知识点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：设人数较少的部门有x人，人数较多的部门有y人．
∵945÷9＝105（人），1245÷11＝113（人）……2（元），
∴1≤x≤50，51≤y≤100．
依题意，得：
解得： ，
∴|x﹣y|＝15．
故答案为：15．
【分析】设人数较少的部门有x人，人数较多的部门有y人，分析两种买票方式所需费用可得出1≤x≤50，51≤y≤100，再由105人按两部门分别购票共花费1245元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，取其差的绝对值即可得出结论．
8．某玩具商店出售一种“小猪佩奇”玩具，平均每天可销售50个，每个盈利36元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，若每个玩具降价1元，平均每天可多售出5个，商店要想平均每天销售这种玩具盈利2400元，则每个玩具应降价多少元？设每个玩具应降价x元，可列方程为 ．
【答案】（36﹣x）（50+5x）=2400
【知识点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：设每个玩具应降价x元．则此时每天出售的数量为：（50+5x）个，每个的盈利为：（36﹣x）元，
根据题意得（36﹣x）（50+5x）=2400，
故答案为（36﹣x）（50+5x）=2400．
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用.
列方程的关键有两个：①找出题中的等量关系：降价后每天售出玩具的数量×降价后每个玩具的盈利=2400元，②如何用x表示降价后每天售出玩具的数量；如何用x表示降价后每个玩具的盈利；根据"每个玩具降价1元，平均每天可多售出5个"可知，每个玩具降价x元，平均每天可多售出5x个”, 那么降价后每天售出玩具的数量为（50+5x）个；根据“降价前每个玩具盈利36元”可知，降价后每个玩具的盈利为（36﹣x）元.
9．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，则这种台灯的售价应定为 元．
【答案】50
【知识点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：设这种台灯的售价应定为每台 元，根据题意可得：
化简、整理得： ，解得： .
又∵ ，
∴ ，即这种台灯售价应定为每台50元.
【分析】由题意可得相等关系：单个台灯的利润每月的销售量=平均每月10000元的销售利润，根据想到关系列方程即可求解。
10．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可 盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，采取了降价措施，经调查发现如果每件计划降价1元，那么商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要赢利1200元，则每件衬衫应降价 ．
【答案】10元或20元
【知识点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：设商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价x元，
（40﹣x）（20+2x）=1200，
解得，x1=10，x2=20，
即商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价10元或20元，
故答案为：10元或20元．
【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
11．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，设每千克应涨价x元，则可列方程为
【答案】（10+x）（500﹣20x）=6000
【知识点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：设每千克水果涨了x元，
（10+x）（500﹣20x）=6000，
故答案为：（10+x）（500﹣20x）=6000．
【分析】设每千克水果涨了x元，那么就少卖了20x千克，根据市场每天销售这种水果盈利了6 000元可列方程．
12．某水果店销售一种进口水果，其进价为每千克40元，若按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．水果店想要能尽可能让利于顾客，赢得市场，又想要平均每天获利2090元，则该店应降价 元出售这种水果．
【答案】9
【知识点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：设这种商品每千克应降价x元，根据题意得
（60﹣x﹣40）（100+ ×20）=2090，
解得：x1=4（不合题意，舍去），x2=9．
故答案是：9．
【分析】设这种商品每千克应降价x元，利用销售量×每千克利润=2090元列出方程求解即可．
三、解答题：
13．春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
【答案】解：设该单位这次共有 名员工去天水湾风景区旅游，
因为 ，所以员工人数一定超过25人，
可得方程 ，
整理，得 ，
解得： ，
当 时， ，故舍去 ，
当 时， ，正确 ，
答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.
【知识点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】一元二次方程的应用题，根据题意列出等式即可。
14．根据扬州市某风景区的旅游信息， 公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社 元. 公司参加这次旅游的员工有多少人？
扬州市某风景区旅游信息表
【答案】解：设参加这次旅游的员工有x人.
∵30×80=2400＜2800，∴x＞30.
根据题意得：x[80﹣（x﹣30）]=2800，解得：x1=40，x2=70.
当x=40时，80﹣（x﹣30）=70＞55，当x=70时，80﹣（x﹣30）=40＜55，舍去.
答：A公司参加这次旅游的员工有40人.
【知识点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】设参加这次旅游的员工有x人，由30×80=2400＜2800可得出x＞30，根据总价=单价×人数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论.
15．某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元。为了迎接“六一”儿童节和扩大销售，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，并且尽快减少库存，那么每件童装应降价多少元？
【答案】解：设每件童装应降价x元，由题意得：
（40-x）（20+2x）=1200，
解得：x1=20，x2=10，
当x=20时，20+2x=60（件），
当x=10时，20+2x=40（件），
∵60>40，
∴x2=10舍去.
答：每件童装应降价20元.
【知识点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】设每件童装应降价x元，由题意得：（40-x）（20+2x）=1200，解一元二次方程，再由尽快减少库存得到答案.
16．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？
【答案】解：设衬衫的单价降了x元．根据题意，得
（20+2x）（40﹣x）=1250，
解得：x1=x2=15，
答：衬衫的单价降了15元．
【知识点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】设衬衫的单价降了x元．根据题意等量关系：降价后的销量×每件的利润=1250，根据等量关系列出方程即可．
17．山水旅行社的一则广告如下：我社组团去A风景区旅游，收费标准为：如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元；如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于550元，某公司组织一批员工到A风景区旅游，支付给旅行社28000元．
（1）该公司的人数 30人（填“大于、小于或等于”）
（2）求该公司的人数．
【答案】（1）大于
（2）解：设该公司的人数为 人，则人均旅游费为 ，
由题意得： ，
解得： ，
∵ ，
∴ ．
∴ 不合题意，舍去，
∴ ，
答：该公司的人数为40人．
【知识点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：（1）根据题意得30×800=24000＜28000，
所以该公司的人数大于30人，
故答案为：大于；
【分析】（1）用30乘以800跟28000比较大小即可；（2）根据等量关系式列出方程求解即可。
提升篇
1．某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品．该商品可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元．则每件商品的售价应定为（ ）
A．22元B．24元C．26元D．28元
【答案】A
【解析】
【分析】
根据利润和售价建立一元二次方程组，得到，解方程组得到售价，最后对售价的合理性进行判断即可得到最终的答案．
【详解】
设商店的获利为元，
得，
当时，，
得，
，
解方程得元或元，
当元，，
∴元舍去，
∴元，
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用及性质，解题的关键是掌握一元二次方程的相关知识．
2．某网店销售运动鞋，若每双盈利40元，每天可以销售20双，该网店决定适当降价促销，经调查得知，每双运动鞋每降价1元，每天可多销售2双，若想每天盈利1200元，并尽可能让利于顾客，赢得市场，则每双运动鞋应降价（ ）
A．10元或20元B．20元C．5元D．5元或10元
【答案】B
【解析】
【分析】
先设每双鞋应降价x元，根据平均每天售出的双数×每件盈利=每天销售利润，再列出方程，求出x的值，再根据尽可能让利顾客，把不合题意的根舍去即可求出答案；
【详解】
解：设每双鞋应降价x元，根据题意得：
（40-x）（20+2x）=1200，
解得x1=20，x2=10，
∵尽可能让利顾客， ∴x=20．
答：每双鞋应降价20元；
故选B
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，掌握“平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润”是解题的关键．
3．疫情期间，育才中学为每个班级准备了免洗抑菌洗手液．去市场购买时发现当购买量不超过100瓶时，洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，每瓶单价就降低元，但最低价格不能低于每瓶5元．若学校购买洗手液共花费1200元，则购买洗手液的瓶数是（ ）
A．200B．150C．150或200D．200或300
【答案】A
【解析】
【分析】
设购买洗手液x瓶，列出一元二次方程计算即可；
【详解】
设购买洗手液x瓶，
∵＜，
∴＞，
∴，
解得：，，
∵，
∴，
∴；
故答案选A．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，准确计算是解题的关键．
4．某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用5元．为尽快回笼资金，该电商计划开展降价促销活动．通过市场调研发现，该时装售价每降价1元，每天销量增加4件．若该电商每天扣除平台推广费之后的利润要达到4500元，则适合的售价应定于（ ）
A．70元B．80元C．70元或90元D．90元
【答案】A
【解析】
【分析】
设降价元后利润达到4500元．则每天可售出件，每件盈利元．再根据相等关系：每天的获利每天售出的件数每件的盈利；列方程求解即可．
【详解】
解：设降价元后利润达到4500元，
由题意得：
解得：，，
∵为尽快回笼资金
∴，
∴售价应定为元
故选：A
【点睛】
此题考查了一元二次方程的应用，找到题目的相等关系：每天的获利每天售出的件数每件的盈利是解答本题的关键．
5．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可 盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，采取了降价措施，经调查发现如果每件计划降价1元，那么商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要赢利1200元，则每件衬衫应降价________．
【答案】10元或20元
【解析】
【详解】
设商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价x元，（40﹣x）（20+2x）=1200，解得x1=10，x2=20，即商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价10元或20元.
故答案为10元或20元．
6．某医药超市平均每天卖出口罩100个，每个赢利2元，为了尽快减少库存，该超市准备采取适当的降价措施．调查发现，如果每个口罩售价减少0.5元，那么平均每天可多售出80个．若该超市想平均每天赢利270元，每个口罩应降价多少元？若设每个口罩降价元，可列方程为_____________________．（不需要化简）
【答案】
【解析】
【分析】
设每个口罩降价x元，则每个口罩盈利元，平均每天的销售量为个，根据该超市每天销售口罩的利润＝每个口罩的盈利×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：设每个口罩降价x元，则每个口罩盈利元，平均每天的销售量为个，依题意得：
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．某商场将进货价为30元的台灯，以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销量就将减少10个．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应上涨多少元？
设这种台灯的售价应上涨元，此时每个台灯的售价为_________元，每个台灯的利润为__________________元，售价每上涨元，销量将减少__________个，此时每月能售出__________个台灯，每月的利润为______________________________元，因此可列方程______________________________．
【答案】
【解析】
【分析】
设上账x元，然后用x表示出售价、每台灯的利润、销量减少的数目以及每月售出的台灯数，最后根据总利润=销售数量×每台灯的利润即可解答.
【详解】
解：设上账x元，则售价为（40+x）元、每台灯的利润为（40+x-30）、销量减少10x、每月售出的台灯数为、每月利润为；根据题意可列出方程为.
故答案依次为：，，， ， ，
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，设好未知数、列出相关量、找准等量关系，是正确列出一元二次方程是解题的关键
8．某西瓜经营户以元/千克的价格购进一批小型西瓜，以元/千克的价格出售，每天可售出千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价元/千克，每天可多售出千克．另外，每天的房租等固定成本共元．该经营户要想每天盈利元，应将每千克小型西瓜的售价降低________元．
【答案】或
【解析】
【分析】
设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．那么每千克的利润为：（3-2-x），由于这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．所以降价x元，则每天售出数量为:200+千克．本题的等量关系为：每千克的利润×每天售出数量-固定成本=200．
【详解】
解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．
根据题意，得[（3-2）-x]（200+）-24=200．
原式可化为：50x2-25x+3=0，
解这个方程，得x1=0.2，x2=0.3．
故应将每千克小型西瓜的售价降低0.3或0.2元．
故答案为0.3或0.2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，通过生活实际较好地考查学生“用数学”的意识，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
9．学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如表所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数.
【答案】解：∵30×40=1200＜1400，
∴奖品数超过了30件，
设总数为x件，则每件商品的价格为：[40﹣（x﹣30）×0.5]元，根据题意可得：
x[40﹣（x﹣30）×0.5]=1400，
解得：x1=40，x2=70，
∵x=70时，40﹣（70﹣30）×0.5=20＜30，
∴x=70不合题意舍去，
答：王老师购买该奖品的件数为40件
【知识点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】根据题意首先表示出每件商品的价格，进而得出购买商品的总钱数，进而得出等式求出答案．
10．疫情期间，某公司向厂家订购A、B两款洗手液共50箱.已知购买A款洗手液1箱进价为200元，在此基础上，所购买的A款洗手液数量每增加1箱，每箱进价降低2元.厂家为保障盈利，每次最多可订购30箱A款洗手液.B款洗手液的进价为每箱100元，设该公司购买A款洗手液x箱.
（1）根据信息填表：
（2）若订购这批洗手液的总进价为6240元，则该公司订购了多少箱A款洗手液?
【答案】（1）解：设该公司购买A款洗手液x箱，则购买B款洗手液 箱，
则A款洗手液的进价为 元，
表格如下：
（2）解：根据题意有 ，
解得 ，
∵每次最多订购30箱A款洗手液，
∴ ，
答：该公司订购了20箱A款洗手液.
【知识点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】（1）根据题意列代数式即可；
（2）用根据总价等于单价乘以数量及购进A款洗手液的总价格加上购进B款洗手液的总价格等于6240元，解方程即可得出答案.
11．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售 件，每件盈利 元；（用x的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．
（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．
【答案】（1）20+2x；40-x
（2）解：依题可得：（20+2x）（40-x）=1200，
∴x2-30x+200=0，
∴（x-10）（x-20）=0，
∴x1=10，x2=20，
答：每件童装降价10元或20元时，平均每天赢利1200元．
（3）解：（20+2x）（40-x）=2000，
∴x2-30x+600=0，
∴△=b2-4ac=（-30）2-4×1×600=-15000，
∴原方程无解.
答：不可能平均每天赢利2000元.
【知识点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：（1）依题可得：
每天可销售：20+2x件，每件盈利：40-x元，
【分析】（1）根据销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量；每件利润=原售价-进价-降价，列式即可.
（2）根据总利润=每件利润×销售数量，列方程求解即可.
（3）根据（2）中相关关系列方程，判断方程有无实数根即可.
购票人数
1～50
51～100
100以上
门票价格
13元/人
11元/人
9元/人
旅游人数
收费标准
不超过 人
人均收费 元
超过 人
每增加 人，人均收费降低 元，但人均收费不低于 元
购买件数
销售价格
不超过30件
单价40元
超过30件
每多买1件，购买的所有物品单价将降低0.5元，但单价不得低于30元
型号
数量（箱）
进价（元/箱）
A
x

B

100
型号
数量（箱）
进价（元/箱）
A
X

B
100