初中数学人教版（2024）九年级上册21.2.3 因式分解法课时练习

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册21.2.3 因式分解法课时练习，文件包含人教版数学九年级上册同步精品讲练专题214一元二次方程的解法因式分解法原卷版doc、人教版数学九年级上册同步精品讲练专题214一元二次方程的解法因式分解法解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
【典例剖析】
【例1】（2023·福建省福州第十六中学八年级期末）解下列一元二次方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，；
(2)，．
【解析】
【分析】
（1）运用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）先去括号，然后移项合并同类项，最后利用因式分解法解方程即可．
(1)
解：，
（x-5）(x+1)=0，
∴，；
(2)
解：
x(x-2)=0
∴，．
【点睛】
题目主要考查应用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解方程方法是解题关键．
【变式1】（2022·全国·九年级）用适当方法解下列方程：
(1)(3x﹣1)2＝1；
(2)2(x+1)2＝x2﹣1．
【答案】(1)x1＝，x2＝0
(2)x1＝﹣1，x2＝﹣3
【解析】
【分析】
（1）用直接开平方法解方程；
（2）用因式分解法解方程．
(1)
解：直接开平方，得3x﹣1＝±1，
∴3x﹣1＝1或3x﹣1＝﹣1．
∴x1＝，x2＝0；
(2)
解：原方程可变形为2(x+1)2﹣(x+1)(x﹣1)＝0，
(x+1)(2x+2﹣x+1)＝0，即(x+1)(x+3)＝0，
∴x+1＝0或x+3＝0．
∴x1＝﹣1，x2＝﹣3．
【点睛】
本题考查的是解一元二次方程，根据题目的不同结构特点，选择适当的方法解一元二次方程是解题的关键．
【例2】．（2021春•西城区校级期中）阅读下面的例题：
解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍）．
（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，
①解得： ．
②综上，原方程的根是 ．
③请参照例题解方程x2﹣|x﹣3|﹣3＝0，则此方程的根是 ．
【分析】去掉绝对值，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：①当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，
解这个方程，x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）．
故答案为：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）．
②综上，原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2；
故答案为：x1＝2，x2＝﹣2；
③当x≥3时，原方程化为x2﹣x＝0，
解得：x1＝0，x2＝1（均不合题意，舍）．
当x＜3时，原方程化为x2+x﹣6＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣3．
∴原方程的根为x1＝2，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝2，x2＝﹣3．
【变式2】（2022春•宁波期中）已知：关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0．
（1）判断方程的根的情况；
（2）若△ABC为等腰三角形，AB＝5cm，另外两条边长是该方程的根，求△ABC的周长．
【分析】（1）先计算根的判别式的值得到△＝4＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况；
（2）先利用求根公式解方程得到x1＝m+1，x2＝m﹣1，根据等腰三角形的性质讨论：当m+1＝5时，解得m＝4，此时等腰三角形三边分别为5，5，3；当m﹣1＝5时，解得m＝6，此时等腰三角形三边分别为5，5，7，然后分别计算对应的三角形的周长．
【解答】解：（1）∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣1）＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）x＝＝m±1，
∴x1＝m+1，x2＝m﹣1，
当m+1＝5时，解得m＝4，此时等腰三角形三边分别为5，5，3，△ABC的周长为5+5+3＝13；
当m﹣1＝5时，解得m＝6，此时等腰三角形三边分别为5，5，7，△ABC的周长为5+5+7＝17；
综上所述，△ABC的周长为13或17．
【满分训练】
一．选择题（共10小题）
1．（2022春•岑溪市期中）方程x2﹣4x＝0的解是（ ）
A．x＝4B．x＝2C．x1＝4，x2＝0D．x＝0
【分析】方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程分解得：x（x﹣4）＝0，
所以x＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝4，x2＝0．
故选：C．
2．（2022•红桥区模拟）方程x2+x﹣2＝0的两个根为（ ）
A．x1＝﹣2，x2＝1B．x1＝﹣1，x2＝2
C．x1＝﹣2，x2＝﹣1D．x1＝1，x2＝2
【分析】根据解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2+x﹣2＝0，
（x+2）（x﹣1）＝0，
x+2＝0或x﹣1＝0，
x1＝﹣2，x2＝1，
故选：A．
3．（2022•平定县模拟）方程（x﹣2）2＝3（x﹣2）的解是（ ）
A．x＝5B．x1＝5，x2＝2C．x1＝1，x2＝2D．x＝2
【分析】先移项得到（x﹣2）2＝3（x﹣2），然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（x﹣2）2＝3（x﹣2），
（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣2﹣3）＝0，
x﹣2＝0或x﹣2﹣3＝0，
所以x1＝2，x2＝5．
故选：B．
4．（2022•东阳市模拟）方程x（x﹣1）＝2x的解是（ ）
A．x＝3B．x＝﹣3C．x1＝3，x2＝0D．x1＝﹣3，x2＝0
【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：x（x﹣1）＝2x，
x（x﹣1）﹣2x＝0，
x（x﹣1﹣2）＝0，
x（x﹣3）＝0，
x1＝0，x2＝3，
故选：C．
5．（2022•南海区校级一模）已知等腰三角形的两边长为一元二次方程x2﹣10x+9＝0的两根，则等腰三角形周长是（ ）
A．11B．19C．11或19D．不能确定
【分析】利用因式分解法求出已知方程的解，确定出等腰三角形的边长，求出周长即可．
【解答】解：方程x2﹣10x+9＝0，
分解因式得：（x﹣1）（x﹣9）＝0，
所以x﹣1＝0或x﹣9＝0，
解得：x1＝1，x2＝9，
∵等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣10x+9＝0的两根，
∴当腰长为1时，三边为1，1，9，不能构成三角形，舍去；
当腰长为9时，三边为9，9，1，此时周长为9+9+1＝19，
则等腰三角形的周长为19．
故选：B．
6．（2022•南平模拟）已知方程x2+2x﹣8＝0的解是x1＝2，x2＝﹣4，那么方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0的解是（ ）
A．x1＝1，x2＝5B．x1＝1，x2＝﹣5
C．x1＝﹣1，x2＝5D．x1＝﹣1，x2＝﹣5
【分析】把方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0看作关于（x+1）的一元二次方程，则利用方程x2+2x﹣8＝0的解是x1＝2，x2＝﹣4得到x+1＝2或x+1＝﹣4，然后解一次方程即可．
【解答】解：把方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0看作关于（x+1）的一元二次方程，
∵方程x2+2x﹣8＝0的解是x1＝2，x2＝﹣4，
∴x+1＝2或x+1＝﹣4，
解得x＝1或x＝﹣5，
∴方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0的解为x1＝1，x2＝﹣5．
故选：B．
7．（2021秋•绵竹市期末）解方程4（3x+2）2＝3x+2，较恰当的解法是（ ）
A．直接开方法B．因式分解法C．配方法D．公式法
【分析】方程右边移项至左边，再提取公因式3x+2，从而进一步求解即可．
【解答】解：解方程4（3x+2）2＝3x+2，较恰当的解法是因式分解法，
故选：B．
8．（2021秋•无锡期末）定义一种新运算：a⊕b＝2a+b，a※b＝a2b，则方程（x+1）※2＝（3⊕x）﹣2的解是（ ）
A．x1＝，x2＝﹣2B．x1＝﹣1，x2＝
C．x1＝﹣，x2＝2D．x1＝1，x2＝﹣
【分析】根据新定义把原方程变形，化为一般形式，再利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：原方程变形为：2（x+1）2＝2×3+x﹣2，
整理得：2x2+3x﹣2＝0，
因式分解，得（2x﹣1）（x+2）＝0，
解得：x1＝，x2＝﹣2，
故选：A．
9．（2021秋•洛阳期末）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数，a2+3b﹣4，例如把（2，﹣5）放入其中，就会得到22+3×（﹣5）﹣4＝﹣15．现将实数对（m，﹣3m）放入其中，得到实数6，则m的值为（ ）
A．﹣10B．﹣1C．10或﹣1D．﹣10或1
【分析】根据放入实数对得到a2+3b﹣3列式计算即可．
【解答】解：∵将实数对（m，﹣3m）放入其中，得到实数6，
∴m2﹣9m﹣4＝6，
∴m2﹣9m﹣10＝0，
解得：m＝﹣1或10，
故选：C．
10．（2021•菏泽二模）给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y'＝n×xn﹣1．若函数y＝x4，则有y'＝4×x3，已知函数y＝x3，则方程y'＝9x的解是（ ）
A．x＝3B．x＝﹣3C．x1＝0，x2＝3D．x1＝0，x2＝﹣3
【分析】根据已知得出方程3x2＝9x，求出方程的解即可．
【解答】解：∵函数y＝x3，方程y'＝9x，
∴3x2＝9x，
3x2﹣9x＝0，
3x（x﹣3）＝0，
3x＝0，x﹣3＝0，
x1＝0，x2＝3，
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．（2022春•温州期中）一元二次方程x2＝7x的解是 x1＝0，x2＝7 ．
【分析】先移项得到一元二次方程的一般式，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：x2﹣7x＝0，
x（x﹣7）＝0，
x＝0或x﹣7＝0，
所以x1＝0，x2＝7．
故答案为：x1＝0，x2＝7．
12．（2021秋•藁城区期末）一元二次方程x（2x﹣5）＝4x﹣10的根是 x1＝，x2＝2 ．
【分析】方程变形为x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：x（2x﹣5）＝4x﹣10，
x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，
（2x﹣5）（x﹣2）＝0，
2x﹣5＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝，x2＝2．
故答案是：x1＝，x2＝2．
13．（2022•德城区一模）若直角三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个实数根，则该直角三角形的面积是 6或 ．
【分析】求出方程的解确定出直角三角形的两边，进而求出两直角边，得出面积即可．
【解答】解：方程x2﹣7x+12＝0，
分解因式得：（x﹣3）（x﹣4）＝0，
解得：x＝3或x＝4，
当4是直角边时，两直角边为3，4，面积为×3×4＝6；
当4是斜边时，根据勾股定理得：＝，两直角边为3，，面积为×3×＝，
综上所示，该直角三角形的面积是6或．
故答案为：6或．
14．（2022春•十堰月考）对任意实数，a，b，定义一种运算：a⊗b＝a2+b2﹣ab，若x⊗（x+1）＝7，则x的值为 ﹣3或2 ．
【分析】根据已知可得x2+（x+1）2﹣x（x+1）＝7，然后化简整理可得x2+x﹣6＝0，再利用因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：∵x⊗（x+1）＝7，
∴x2+（x+1）2﹣x（x+1）＝7，
∴x2+x2+2x+1﹣x2﹣x＝7，
∴x2+x﹣6＝0，
∴（x+3）（x﹣2）＝0，
∴x+3＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝2，
∴x的值为：﹣3或2，
故答案为：﹣3或2．
15．（2021•阳信县模拟）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的面积为 24 ．
【分析】利用因式分解法解方程得到x1＝4，x2＝5，再根据菱形的性质得到菱形的边长为5，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线长，然后根据菱形的面积公式计算．
【解答】解：x2﹣9x+20＝0，
（x﹣4）（x﹣5）＝0，
x﹣4＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝4，x2＝5，
∵菱形一条对角线长为8，
∴菱形的边长为5，
∵菱形的另一条对角线长＝2×＝6，
∴菱形的面积＝×6×8＝24．
故答案为：24．
16．（2021秋•澄海区期末）定义：关于x的方程a1x2+b1x+c1＝0（a1≠0）与a2x2+b2x+c2＝0（a2≠0），如果满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个方程互为“对称方程”．若关于x的方程3x2+（m2﹣2m+3）x﹣4＝0与﹣3x2+2x+n＝0互为“对称方程”，则（m﹣n）2的值为 9 ．
【分析】根据“对称方程”的定义可得，解方程可得m、n的值，再代入可得代数式的值．
【解答】解：根据“对称方程”的定义可得，
，
解得，
∴（m﹣n）2＝（1﹣4）2＝9．
故答案为：9．
三．解答题（共4小题）
17．（2022•仙居县校级开学）解方程：
（1）x2＝x；
（2）x2﹣3x﹣4＝0．
【分析】（1）方程移项后，利用因式分解法求出解即可；
（2）方程利用因式分解方法求出解即可．
【解答】解：（1）方程移项得：x2﹣x＝0，
分解因式得：x（x﹣1）＝0，
所以x＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2＝1；
（2）方程分解得：（x﹣4）（x+1）＝0，
所以x﹣4＝0或x+1＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣1．
18．（2022春•富阳区校级期中）用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）（x+4）2﹣5（x+4）＝0；
（2）x2﹣2x﹣15＝0．
【分析】（1）等式左边可提取公因式（x+4），转化为（x+4）（x﹣1）＝0求解；
（2）根据十字相乘法可将方程变形为（x+3）（x﹣5）＝0，由此可得同解方程x+3＝0或x﹣5＝0，据此求解．
【解答】解：（1）（x+4）2﹣5（x+4）＝0，
将方程变形，得（x+4）（x﹣1）＝0，
即x+4＝0，x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝1．
（2）x2﹣2x﹣15＝0，
将方程变形，得（x+3）（x﹣5）＝0，
则x+3＝0或x﹣5＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝5．
19．（2022春•沂源县期中）（1）配方法解方程：x（x﹣4）＝2﹣8x；
（2）因式分解法解方程：x2﹣4x＝0；
（3）公式法解方程：2x（x+4）＝1．
【分析】（1）方程整理后，利用配方法求出解即可；
（2）方程利用因式分解法求出解即可；
（3）方程整理为一般形式，利用公式法求出解即可．
【解答】解：（1）方程整理得：x2+4x＝2，
配方得：x2+4x+4＝6，即（x+2）2＝6，
开方得：x+2＝±，
解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（2）分解因式得：x（x﹣4）＝0，
所以x＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝0，x2＝4；
（3）方程整理得：2x2+8x﹣1＝0，
这里a＝2，b＝8，c＝﹣1，
∵Δ＝64+8＝72＞0，
∴x＝，
解得：x1＝，x2＝．
20．（2022•萧山区一模）以下是婷婷解方程x（x﹣3）＝2（x﹣3）的解答过程：
解：方程两边同除以（x﹣3），得：x＝2，
∴原方程的解为x＝2．
试问婷婷的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【分析】利用因式分解法解方程可判断婷婷的解答过程是否有错误．
【解答】解：婷婷的解答过程有错误；
正确的解答过程为：移项得x（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣2）＝0，
x﹣3＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝3，x2＝2．