数学13.3.2 等边三角形当堂达标检测题

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一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．所有的等边三角形都是全等三角形
B．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点
C．已知两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
D．三角形的任意一条中线一定将这个三角形的面积等分
【答案】D
【解析】【解答】解：AAA不能判定两个三角形全等，所以所有的等边三角形不都是全等三角形，故A选项错误；
三角形的三条高的交点不一定在三角形的内部，故B选项错误；
SSA不能判定两个三角形全等，故C选项错误；
三角形的任意一条中线将三角形的面积分成两个相等的部分，故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据AAA和SSA不能判断两个三角形全等；三角形的三条高的交点可能在三角形内、可能在三角形上或三角形外；三角形的中线将这个三角形的面积分成两个相等的部分等知识点即可求解.
2．下列命题正确的是（ ）
A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
B．在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
C．有一个角是60°的三角形是等边三角形
D．有两边及一边的对角对应相等的两个三角形全等
【答案】B
【解析】【解答】解：A、 等腰三角形底边上的高、中线、顶角的角平分线互相重合，原说法错误；
B、 在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，原说法正确；
C、 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，原说法错误；
D、 有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，原说法错误.
故答案为：B.
【分析】由等腰三角形的三线合一的条件可知A选项不正确，由三角形角平分线的性质可知B选项正确，由等边三角形的判定可知C选项错误，根据全等三角形的判定判断D选项错误.
3．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．不等边三角形D．不能确定
【答案】B
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠A=∠C，
∴∠A=∠B=∠C，
△ABC是等边三角形.
故答案为：B.
【分析】根据等边对等角得出∠B=∠C，又∠A=∠C，故∠A=∠B=∠C，根据三个角都相等的三角形是等边三角形即可得出结论：△ABC是等边三角形.
4．如图，△ABC是等边三角形，BC⊥CD，且AC=CD，则∠BAD的度数为（ ）
A．50°B．45°C．40°D．35°
【答案】B
【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
∵BC⊥CD，
∴∠BCD=90°，
∴∠ACD=60°+90°=150°，
∵AC=CD，
∴∠DAC==15°，
∴∠BAD=60°-15°=45°．
故选B．
【分析】先根据等边三角形的性质得出∠BAC=∠ACB=60°，再由BC⊥CD可知∠BCD=90°，进而可得出∠ACD的度数，根据AC=CD即可得出∠DAC的度数，进而得出结论．本题考查的是等边三角形的性质及等腰三角形的性质，熟知等边三角形的各内角是60°是解答此题的关键．
5．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】B
【解析】【解答】解：过P作PM∥BC，交AC于M；
∵△ABC是等边三角形，且PM∥BC，
∴△APM是等边三角形；
又∵PE⊥AM，
∴AE=EM= AM；（等边三角形三线合一）
∵PM∥CQ，
∴∠PMD=∠QCD，∠MPD=∠Q；
又∵PA=PM=CQ，
在△PMD和△QCD中
∴△PMD≌△QCD（AAS）；
∴CD=DM= CM；
∴DE=DM+ME= （AM+MC）= AC= ，故选B．
【分析】过P作BC的平行线，交AC于M；则△APM也是等边三角形，在等边三角形APM中，PE是AM上的高，根据等边三角形三线合一的性质知AE=EM；易证得△PMD≌△QCD，则DM=CD；此时发现DE的长正好是AC的一半，由此得解．
6．如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，下面四个结论:①△ABQ≌△CAP；；②∠CMQ的度数不变，始终等于60°③BP＝CM；正确的有几个( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：①∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，
根据题意得：AP=BQ，
在△ABQ和△CAP中，
∵AB=AC，∠B=∠CAP，BQ=AP，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），①正确；
②∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠AMP=∠ACP+∠CAQ=∠BAQ+∠CAQ =∠BAC=60°，
∴∠QMC=60°，②正确；
③∵∠QMC=60°，∠QCM≠60°，
∴∠CQM≠60°，
∴CQ≠CM，
∵BP=CQ，
∴CM≠BP，③错误.
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质得出AB=BC=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，根据题意得出AP=BQ，从而可以利用SAS判断出△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的对应角相等得出∠BAQ=∠ACP，从而根据三角形外角定理及等量代换得出∠AMP=∠ACP+∠CAQ=∠BAQ+∠CAQ =∠BAC=60°，再根据对顶角相等得出∠QMC=60°，根据题意可知∠QMC=60°≠∠CQM，故CQ≠CM，又BP=CQ，故CM≠BP，综上所述即可得出答案。
二、填空题
7．如图矩形ABCD中，AD= ，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB= ．
【答案】
【解析】【解答】解：由三角形的外角性质得，∠AGC=∠GAF+∠F=20°+20°=40°，
∵∠ACG=∠AGC，
∴∠CAG=180°-∠ACG-∠AGC=180°-2×40°=100°，
∴∠CAF=∠CAG+∠GAF=100°+20°=120°，
∴∠BAC=∠CAF-∠BAF=30°，
在Rt△ABC中，AC=2BC=2AD=2 ，
由勾股定理，AB= ．
【分析】由三角形外角的性质知∠AGC=∠ACG=∠GAF+∠F，从而根据三角形的内角和为180°得到∠CAF=120°，继而∠CAB=∠CAF-∠BAF，在Rt△ABC中根据30°所对的直角边等于斜边的一般得到AC，然后用勾股定理得到AB.
8．如图，已知 是等边△ 内一点， 是线段 延长线上一点，且 ， =120°，那么 ．
【答案】60°
【解析】【解答】解： 为等边三角形，
， ．
， ，
．
又 ，
为等边三角形，
， ， ．
，
．
在 和 中，
，
，
，
．
故答案为：60．
【分析】先利用“SAS”证明，得到，再利用邻补角求出，得到 为等边三角形，即可得到，再用即可。
9．如图，将边长为4个单位的等边沿边向右平移3个单位得到，则的长度为 .
【答案】1
【解析】【解答】解： 等边的边长为4，
由平移可得：
故答案为：1.
【分析】根据等边三角形的性质可得AB=BC=AC=4，根据平移的性质可得A′B′=B′C′=A′C′=4，AA′=BB′=CC′=3，然后根据B′C=BC-BB′进行计算.
三、解答题
10．如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？
【答案】解：∵DE⊥AB，BC⊥AC，∠A=30°，
BC= AB，DE= AD
∴BC= X7.4=3.7(m)
又AD= AB
∴DE= XAD= X3.7=1.85(m)
答：立柱BC的长是3.7 m,DE的长是1.85 m
【解析】【分析】根据“在直角三角形中30°角所对的直角边时斜边的一半”，可得BC= AB，DE= AD，结合条件，即可得到答案.
11．如图，在等边 中， 分别是 上的点，且 与 相交于点 ，求 的值.
【答案】解： 是等边三角形， ，
则有 ， ， .
， ， .
在 上取 ，连接 ，
可证 ，可得 ，
又 ，
还可得 ， ， .
【解析】【分析】由△ABE≌△CAD得∠ABE=∠CAD，则∠BAD=∠CBE，∠BFK=∠BAF+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°，由CF⊥BE可得∠FBK=30°，所以FK= BF，再根据“AAS”可判断△ABK≌△BCF，则AK=BF，即AF+FK=BF，所以有BF=2AF.
12．已知:在 中, , 为 的中点, , ,垂足分别为点 ,且 .求证: 是等边三角形.
【答案】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.
∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEA=∠DFC=90°.
∵D为的AC中点，∴DA=DC.
又∵DE=DF，∴RtΔAED≌RtΔCDF(HL)，
∴∠A=∠C，
∴∠A=∠B=∠C，
∴ΔABC是等边三角形.
【解析】【分析】首先利用HL判断出 RtΔAED≌RtΔCDF ，根据全等三角形的对应角相等得出 ∠A=∠C， 根据等边对等角，由AB=AC得出 ∠B=∠C ，故 ∠A=∠B=∠C， 根据三个内角都相等的三角形是等边三角形得出结论。
13．如图，等边三角形ABC内有一点P，PE⊥AB，PF⊥AC，PD⊥BC，垂足分别为E，F，D，且AH⊥BC于H，试用三角形面积公式证明：PE+PF+PD=AH．
【答案】证明：连接AP，BP，CP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，PD⊥BC，AH⊥BC于H，
∴S△ABC= BC•AH，S△APB= AB•PE，S△APC= AC•PF，S△BPC= BC•PD
∵S△ABC=S△APB+S△APC+S△BPC
∴ BC•AH= AB•PE+ AC•PF+ BC•PD，且AB=BC=AC，
即PE+PF+PD=AH．
【解析】【分析】本题可通过三角形的面积来求证，连接AP，BP，CP后，分别表示出三角形APB，BPC，APC和三角形ABC的面积，根据三角形ABC的面积等于这三个小三角形的面积和，我们将三个三角形的面积表达式相加后就会得出PE+PF+PD=AH．
四、综合题
14．如图,△ABC是等边三角形,CD⊥AB于点D,∠AEB=90°,CD=AE.
求证:
（1）△BCD≌△BAE;
（2）△EBD是等边三角形.
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形
∴AB=BC
∵CD⊥AB,∠AEB=90°
∴∠CDB=∠AEB=90°
在Rt△BCD和Rt△BAE中，
∴△BCD≌△BAE
（2）证明：∵△ABC是等边三角形,CD⊥AB
∴D为AB中点
∴ED= AB=DB
∵△BCD≌△BAE
∴∠EBD=∠DBC=60°
∴△EBD是等边三角形
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得 AB=BC， 用HL定理可证△BCD≌△BAE；
（2）由等边三角形的性质可得D为AB中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得ED=AB=DB，由（1）中的全等三角形可得 ∠EBD=∠DBC=60° ，根据一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可求解.
15．如图
（1）如图①，点D，E分别在等边△ABC的边BC，AB上，且AE=BD，连接AD，CE交于点F.找出图中与△ABD全等的三角形，证明并求出∠AFE的度数；
（2）如图②，若（1）中的点D，E分别在等边△ABC的边BC，AB延长线上，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由.
【答案】（1）解：△ABD≌△CAE.
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠B=60°，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（SAS）；
∴∠BAD=∠ACE，
∴∠AFE=∠ACE+∠FAC=∠BAD+∠FAC=∠BAC=60°.
（2）解：（1）中的结论是否仍然成立.
理由：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（SAS）；
∴∠D=∠E，
∵∠ABC=∠E+∠BCE，∠AFE=∠D+∠DCF，∠BCE=∠DCF，
∴∠AFE=∠E+∠BCE=∠ABC=60°.
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAC=∠B=60°，证明△ABD≌△CAE，得到∠BAD=∠ACE，然后根据角的和差关系进行计算；
（2）同理证明△ABD≌△CAE，得到∠D=∠E，由外角的性质可得∠ABC=∠E+∠BCE，∠AFE=∠D+∠DCF，由对顶角的性质可得∠BCE=∠DCF，据此解答.
等边三角形定义：
三边都相等的三角形叫等边三角形.
等边三角形的性质：
等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.
注意：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．
题型1：等边三角形的性质-求角度
1.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，若∠BEC＝90°，则∠ACE的度数（ ）
A．60°B．45°C．30°D．15°
【答案】D
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AD是线段BC的垂直平分线，∠ACB=60°，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠BEC=90°，
∴∠EBC=∠ECB=45°，
∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，
故答案为：D.
【分析】根据等边三角形的性质和线段垂直平分线的性质得出BE=CE，∠ACB=60°，再根据等腰直角三角形的性质得出∠EBC=∠ECB=45°，利用∠ACE=∠ACB-∠ECB即可得出答案.
【变式1-1】如图， 是等边三角形， 是中线，延长 至E，使 ，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB＝60°，
∵BD是AC上的中线，
∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，
又CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED＝30°，
∴∠CBD＝∠DEC，
∴DE=BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°，
故A、B、C均正确．
故答案为：D．
【分析】利用等边三角形性质得∠ABC=∠ACB＝60°，∠ADB＝∠CDB＝90°；∠ABD＝∠CBD＝30°，再利用三角形的外角的性质及等腰三角形的性质可得到∠CDE＝∠CED＝30°，可对A作出判断；由此可推出∠CBD=∠DEC，同时可求出∠BDE的度数，可对B作出判断；利用等角对等边可证得DE=DB，可对C作出判断；不能证明DE=AB，可对D作出判断.
【变式1-2】如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠BAE=20°，则∠DCE等于( )
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】B
【解析】【解答】解：为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
解得，
故答案为：B．
【分析】根据平行线的性质可得，再利用等边三角形的性质可得，最后利用角的运算可得。
题型2：等边三角形的性质-证明问题
2.如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD．求证：DB＝DE．
【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∠DBC＝30°（等腰三角形三线合一）．
又∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED．
又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，
∴∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°．
∴∠DBC＝∠DEC．
∴DB＝DE（等角对等边）．
【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°，由CE＝CD，可得∠CDE＝∠CED，根据三角形外角的性质可得∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°，即得∠DBC＝∠DEC，根据等角对等边即得结论.
【变式2-1】如图，已知等边 分别在 上，且 ，连接 交 点．求证：
【答案】∵ 是等边三角形
∴ ，
在△ABD和△BCE中
∴
∴
∴ ．
【解析】【分析】根据 是等边三角形得出 ， ，利用SAS证明，得出，即可得出结论。
【变式2-2】如图，△ABC是等边三角形，点D为BC上一点（与点B不重合），过点C作∠ACE＝60°，且CE=BD（点E与点A在射线BC同侧），连接AD，ED.求证：AD=DE.
【答案】证明：如图，在AB上截取AF=DC，连接FD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，
又∵AF=DC，
∴BF=BD，
∴△BDF是等边三角形，
∴∠BFD=60°，BD=DF，
∴∠AFD=120°，
∵∠ACE＝60°，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°，
∴∠DCE=∠AFD，
∵CE=BD，
∴CE=DF，
在△ADF和△DEC中，
∵CE=DF，∠DCE=∠AFD，DC = AF，
∴△ADF≌△DEC（SAS），
∴AD=DE.
【解析】【分析】 在AB上截取AF=DC，连接FD，证出△ADF≌△DEC，即可得出AD=DE.
等边三角形的判定：
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
题型3：等边三角形的判定
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．
【答案】证明：为的中点，
．
，，
．
在和中，
，
，
，
，
，
是等边三角形．
【解析】【分析】先利用“HL”证明，再利用全等三角形的性质可得，再利用等角对等边的性质可得CA=CB，再结合AB=AC，可得AB=BC=AC，即可证明△ABC是等边三角形。
【变式3-1】如图，△ABC ≌ △ADE，∠BAD ＝ 60°．求证：△ACE是等边三角形．
【答案】解：∵ △ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，AC＝AE．
∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC．即 ∠BAD＝∠CAE．
∵∠BAD＝60°，
∴∠CAE＝60°．
又∵ AC＝AE，
∴△ACE是等边三角形
【解析】【分析】根据全等三角形的性质可得∠BAC＝∠DAE，AC＝AE，进而可得∠BAD＝∠CAE，然后根据有一个角为60°的等腰三角形即可判断△ACE是等边三角形.
【变式3-2】如图，在△ABC中，∠B＝60°，过点C作CD∥AB，若∠ACD＝60°，求证：△ABC是等边三角形.
【答案】证明:
证法一： ∵ CD∥AB，
∴∠A＝∠ACD＝60°.
∵∠B＝60°，
在△ABC中，
∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.
∴∠A＝∠B＝∠ACB.
∴△ABC是等边三角形.
证法二：∵CD∥AB，
∴∠B＋∠BCD＝180°.
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝120°.
∴∠ACB＝∠BCD－∠ACB＝60°.
在△ABC中，
∠A＝180°－∠B－∠ACB＝60°.
∴ ∠A＝∠B＝∠ACB.
∴ △ABC是等边三角形.
【解析】【分析】证法一：根据平行线的性质可知，∠A＝60°，所以∠ACB＝60°，即可证明△ABC是等边三角形.
证法二：根据平行线的性质可知，∠B＝60°，所以∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，即可证明△ABC是等边三角形.
题型4：等边三角形与多选项问题
4.如图所示，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是( )
①点 P 在∠A 的平分线上； ②AS=AR； ③QP AR； ④△BRP≌△QSP．
A．全部正确B．①②正确C．①②③正确D．①③正确
【答案】A
【解析】【解答】解：∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S
∴∠ARP＝∠ASP＝90°
∵PR＝PS，AP＝AP
∴Rt△ARP≌Rt△ASP
∴AR＝AS，故②正确，∠BAP＝∠CAP
∴AP是等边三角形的顶角的平分线，故①正确
∴AP是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点
∵AQ＝PQ
∴点Q是AC的中点
∴PQ是边AB对的中位线
∴PQ∥AB，故③正确
∵Q是AC的中点，
∴QC=QP，
∵∠C=60°，
∴△QPC是等边三角形，
∴PB=PC=PQ，
∵PR＝PS，∠BRP＝∠QSP＝90°，
∴△BRP≌△QSP，故④正确
∴全部正确．
故答案为：A．
【分析】利用等边三角形的性质及角平分线的性质、三角形全等的判定及性质逐项判断即可。
【变式4-1】已知，如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE=∠C，②AQ=BQ，③BP=2PQ，④AE+BD=AB，其正确的个数有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ △ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，
∵ AE=CD，
∴△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，
∴∠APE=∠BPQ=60°，
∴ ∠APE=∠C， 故①正确；
②无法证明AQ=BQ，故②错误；
③∵ BQ⊥AD于Q，
∴∠PBQ=90°-∠BPQ=90°-∠APE=90°-60°=30°，
∴ BP=2PQ， 故③正确；
④∵△ABE≌△CAD，
∴AE=CD，
∴ AE+BD=CD+BD=BC=AB，故④正确，
∴正确的个数由3个.
故答案为：C.
【分析】①根据等边三角形的性质得出∠C=60°，再证出△ABE≌△CAD，得出∠ABE=∠CAD，从而得出∠APE=∠BPQ=60°，即可判断①正确；
②无法证明AQ=BQ，即可判断②错误；
③证出∠PBQ=30°，从而得出BP=2PQ， 即可判断③正确；
④根据全等三角形的性质得出AE=CD，从而得出AE+BD=CD+BD=BC=AB，即可判断④正确.
【变式4-2】如图点在同一条直线上，都是等边三角形，相交于点O，且分别与交于点，连接，有如下结论：①；②；③为等边三角形；④.其中正确的结论个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，
∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠BCD，∠MCN=180°-∠ACD-∠BCE=60°，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），则①符合题意；
∴AE=BD，∠CAE=∠CDB，
在ACM和△DCN中，
，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴CM=CN，；则②符合题意；
∵∠MCN=60°，
∴为等边三角形；则③符合题意；
∵∠DAC=∠ECB=60°，
∴AD∥CE，
∴∠DAO=∠NEO=∠CBN，
∴；则④符合题意；
∴正确的结论由4个；
故答案为：D．
【分析】根据三角形全等的判定以及等边三角形的性质判断即可。
题型5：等边三角形的判定与性质综合
5.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．
（1）判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．
【答案】（1）解：△DEF是等边三角形．
理由是：∵AB=AD，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形．
∴∠ABD=∠ADB=60°．
∵CE∥AB，
∴∠CED=∠A=60°，∠DFE=∠ABD=60°，
∴∠CED=∠ADB=∠DFE，
∴△DEF是等边三角形；
（2）连接AC交BD于点O，
∵AB=AD，CB=CD，
∴AC是BD的垂直平分线，
即AC⊥BD．
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴∠BAC=∠DAC=30°．
∵CE∥AB，
∴∠BAC=∠ACE=∠CAD=30°，
∴AE=CE=8，
∴DE=AD-AE=12-8=4．
∵△DEF是等边三角形，
∴EF=DE=4，
∴CF=CE-EF=8-4=4．
【解析】【分析】（1）先求出 △ABD是等边三角形，再求出∠CED=∠ADB=∠DFE， 最后证明求解即可；
（2）先求出 ∠BAC=∠DAC=30° ，再求出 EF=DE=4， 最后计算求解即可。
【变式5-1】如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，连接CD，BE交于点F．
求证：
（1）∠BFC＝120°；
（2）FA平分∠DFE．
【答案】（1）解：∵△ABD、△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，
∴∠DAC=∠BAC+60°，∠BAE=∠BAC+60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ABE=∠ADC，
令AB与DC的交点为G，
∵∠BGD=∠ABE+∠BFG，∠BGD=∠ADC+∠DAG，
∴∠ABE+∠BFG=∠ADC+∠DAG，
∴∠BFG=∠DAG=60°，
∴∠BFC=180°-∠BFG=120°；
（2）解：过点A作AH⊥DC，AG⊥BE，垂足分别为H、G．
∵AH⊥DC，AG⊥BE，
∴∠DHA=∠BGA=90°．
∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC=∠ABE．
在△DAH和△BAG中 ，
∴△DAH≌△BAG．
∴AH=AG．
又∵AH⊥DC，AG⊥BE，
∴FA为∠DFE的角平分线．
【解析】【分析】（1）先可利用“SAS”证明△DAC≌△BAE，再利用全等三角形的性质可得∠ABE=∠ADC，再结合∠BGD=∠ABE+∠BFG，∠BGD=∠ADC+∠DAG，可得∠BFG=∠DAG=60°，即可得到∠BFC=180°-∠BFG=120°；
（2）先利用“AAS”证明△DAH≌△BAG，再利用全等三角形的性质可得AH=AG，再利用角平分线的判定结合AH⊥DC，AG⊥BE，即可证明FA为∠DFE的角平分线．
【变式5-2】如图，点O是等边△ABC内一点，点D是△ABC外一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当α＝∠AOB，AO＝8cm时，求OC的长度．
【答案】（1）解：∵△BOC≌△ADC，
∴OC=OD，∠OCB=∠ACD，
∴∠OCD=∠ACB，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形；
（2）解：△AOD是直角三角形，理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=∠COD=60°，
∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，
∴∠ADO=90°，
∴△AOD是直角三角形；
（3）解：∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=∠COD=60°，OC=OD，
∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=110°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=50°，
∵∠BOC=∠AOB=110°，
∴∠AOD =360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=80°，
∴∠OAD=180°-∠ADO- ∠AOD=50°，
∴∠OAD=∠ADO，
∴AO=OD，
∵AO＝8cm，
∴OC=OD＝8cm．
【解析】【分析】（1）根据△BOC≌△ADC，得出∠OCD=∠ACB，再根据△ABC为等边三角形，得出∠OCD=60°，∠ACB=60°，即可得出结论；
（2）根据△OCD是等边三角形，得出∠ODC=∠COD=60°，再根据△BOC≌△ADC，得出∠ADC=∠BOC=150°，由此得出结论；
（3）根据△OCD是等边三角形，得出∠ODC=∠COD=60°，OC=OD，再根据△BOC≌△ADC，得出∠ADC=∠BOC=110°，从而得出∠OAD=∠ADO，AO=OD，计算即可。
题型6：等边三角形动点问题
6.如图，等边 ，点 在 内，点 在 外，分别连结 、 、 、 ， ， .
（1）求证： ；
（2）连结 ，说明 是等边三角形；
【答案】（1）证明：如图，
是等边三角形（已知），
， （等边三角形的性质）.
在 和 中，
，
；
（2）解： ，
， （全等三角形的对应边、对应角相等）.
，
.
即 .
是等边三角形（有一个角是 的等腰三角形是等边三角形）.
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得AB=AC，用边角边可证△ABP≌△ACQ；
（2）由（1）中的全等三角形可得AP=AQ，∠1=∠2，结合已知易证∠2+∠3=∠PAQ=60°，再根据有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可求解.
【变式6-1】如图，在△ABC中，∠B＝60°，点M从点B出发沿线段BC方向，在线段BC上运动．在点M运动的过程中，连结AM，并以AM为边在线段BC上方，作等边△AMN，连结CN．
（1）当∠BAM＝ °时，AB＝2BM；
（2）请添加一个条件： ▲ ，使得△ABC为等边三角形；当△ABC为等边三角形时，求证：CN+CM＝AC．
【答案】（1）30
（2）解：AB＝AC；证明：如图1中，
∵△ABC与△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，
即∠BAM＝∠CAN，
在△BAM与△CAN中，
，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴BM＝CN，
∴AC＝BC＝CN+MC．
【解析】【解答】解：（1）当∠BAM＝30°时，
∴∠AMB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AB＝2BM；
故答案为：30；
【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质解答即可；
（2）利用等边三角形的判定即可解答；利用等边三角形的性质和可证△BAM≌△CAN（SAS），可得BM＝CN，即AC＝BC＝CN+MC．
【变式6-2】三条边都相等的三角形叫做等边三角形，它的三个角都是60°．△ABC是等边三角形，点D在BC所在直线上运动，连接AD，在AD所在直线的右侧作∠DAE=60°，交△ABC的外角∠ACF的角平分线所在直线于点E．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，请你猜想AD与AE的大小关系，并给出证明；
（2）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上时，依据题意补全图形，请问上述结论还成立吗？请说明理由．
【答案】（1）结论：AD=AE．
理由：如图，在AB上取一点M，使BM=BD，连接MD．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，BA=BC．
∴△BMD是等边三角形，∠BMD=60°．∠AMD=120°．
∵CE是外角∠ACF的平分线，
∴∠ECA=60°，∠DCE=120°．
∴∠AMD=∠DCE．
∵∠ADE=∠B=60°，∠ADC=∠2+∠ADE=∠1+∠B
∴∠1=∠2．
又∵BA-BM=BC-BD，即MA=CD．
在△AMD和△DCE中，
，
∴△AMD≌△DCE（ASA）．
∴AD=DE．
（2）正确．
证明：延长BA到M，使AM=CD，
与（1）相同，可证△BDM是等边三角形，
∵∠CDE=∠ADB+∠ADE=∠ADB+60°，
∠MAD=∠B+∠ADB=∠ADB+60°，
∴∠CDE=∠MAD，
同理可证，△AMD≌△DCE，
∴AD=DE．
【解析】【分析】（1）在AB上取一点M，使BM=BD，连接MD．则△BDM是等边三角形，则易证AM=DC，根据ASA即可证得△AMD≌△DCE（ASA），根据全等三角形的对应边相等，即可证得；（2）延长BA到M，使AM=CD，与（1）相同，可证△BDM是等边三角形，然后证明△AMD≌△DCE（ASA），根据全等三角形的对应边相等，即可证得．
题型7：等边三角形探究性问题（提升）
7.问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．
（1）特例探究：
如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ；
如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，∠D与∠A度数的比是 ；
（2）猜想证明：
如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．
【答案】（1）30°；50°；1：2
（2）解：成立.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠DCE，
∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE=∠ABC＋∠A， 即2∠DCE =2∠DBC+∠A，
∵∠DCE是△BCD的外角，∴∠DCE＝∠DBC＋∠D，∵2∠DBC+∠A＝2（∠DBC＋∠D），
∴∠D＝ ∠A，即∠D：∠A＝1：2
【解析】【解答】解：(1)、30；50；1：2；
【分析】 （1）①根据角平分线的定义得出∠ABD=∠DBC=30°，∠ACD=∠DCE=60°，根据三角形的外角定理得出∠DCE=∠DBC+∠D ，从而得出∠D=30° ；②根据等腰三角形的性质得出∠ABC=40° ，根据角平分线的定义得出∠ABD=∠DBC=20°，根据三角形的外角定理得出∠ACE=∠A＋∠ABC＝140° ，∠ACD=∠DCE=70° ，根据三角形的外角定理得出∠DCE=∠DBC+∠D ，从而得出∠D=50° ；
（2）根据角平分线的定义得出∠ABD=∠DBC，∠ACD=∠DCE，根据三角形的外角定理得出∠ACE=∠ABC＋∠A， 即2∠DCE =2∠DBC+∠A，∠DCE＝∠DBC＋∠D，从而得出2∠DBC+∠A＝2（∠DBC＋∠D），即∠D：∠A＝1：2 。
【变式7-1】“魅力数学”社团活动时，张老师出示了如下问题：
如图①，已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=120°，∠B与∠D互补，试探究线段AB，AD，AC之间的数量关系；
小敏反复探索，不得其解，张老师提示道：“数学中常通过把一个问题特殊化来找到解题思路”，于是，小敏想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决问题：
（1）特殊情况入手
添加条件：“∠B=∠D”，如图②易知在Rt△CDA中，∠DCA=30°，所以，写出边AD与AC之间的数量关系，同理可得AB与AC的数量关系，由此得AB，AD，AC之间的数量关系；
（2）解决原来问题
受到（1）的启发，在原问题上，添加辅助线，过点C分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E、F，如图③，请写出探究过程；
（3）解后反思
“一题多解”是数学解题的魅力之一，小敏在张老师的引导下，受探究结论的启发，结合图中的60°角，通过构造等边三角形，利用三角形全等同样解决了该问题，请在图①中作出辅助线，并简述你的探究过程．
【答案】（1）解：∵∠B+∠D=180°，且∠B=∠D，
∴∠B=∠D=90°，
又∵AC平分∠DAB，∠DAB=120°，
∴∠DAC=∠BAC=60°，
∴∠ACD=∠ACB=30°，
则AD= AC，AB= AC，
∴AD+AB= AC+ AC=AC
（2）解：∵AC为∠DAB的平分线，CF⊥AD，CE⊥AB，
∴CF=CE．
∵∠B与∠ADC互补，∠ADC与∠CDF互补，
∴∠CDF=∠B．
又∵∠F=∠CEB=90°，
∴△CDF≌△CBE（AAS），
∴DF=BE．
∴AB+AD
=AE+BE+AD
=AE+DF+AD
=AE+AF
=AC，
即AB+AD=AC
（3）解：如图，延长AB到点E，使得AE=AC．
∵∠CAB= ∠BAD=60°，
∴△ACE为等边三角形．
∴AC=EC，∠DAC=∠E=60°．
又∵∠ABC与∠D互补，
∴∠D=∠CBE．
∴△ADC≌△EBC（AAS），
∴AD=EB．
∴AC=AE=AB+EB=AB+AD
【解析】【分析】（1） 由 ∠B+∠D=180°，且∠B=∠D，可得∠B=∠D=90°，根据角平分线的性质可得∠DAC=∠BAC=60°，进而可得∠ACD=∠ACB=30°，由30°的角所对的直角边等于斜边的一半可得AD= AC，AB= AC，进而可得AD+AB= AC+ AC=AC。（2）由角平分线的性质定理可得CF=CE．由等角的补角相等可得∠CDF=∠B．根据角角边判定△CDF≌△CBE，进而可得DF=BE．由等量代换即可求出AB+AD=AC.（3）延长AB到点E，使得AE=AC．
先根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断△ACE为等边三角形．由等边三角形的性质可得AC=EC，∠DAC=∠E=60°．由等角的补角相等可得∠D=∠CBE．根据角角边判定△ADC≌△EBC，由全等三角形的性质可得AD=EB．根据等量代换可得AC=AE=AB+EB=AB+AD。