人教版数学八年级上册期中复习 专题10 三角形中的特殊模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型（2份，原卷版+解析版）

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模型1、“8”字模型

图1 图2
8字模型（基础型）
条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。
8字模型（加角平分线）
条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D
例1．（2023·重庆·八年级假期作业）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A＋∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D
例2．（2023春·上海·八年级专题练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为 ．
例3．（2023·山东德州·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段相交于点O，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证：；(2)如图2，若和的平分线和相交于点P，且与分别相交于点．①若，求的度数；
②若角平分线中角的关系改为“”，试探究与之间的数量关系．
例4．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．
(1)如图1，线段，交于点，连接，，判断与的大小关系，并说明理由；
(2)如图2，平分，为上任意一点，在，上截取，连接，．求证：；
(3)如图3，在中，，为角平分线上异于端点的一动点，求证：．
例5．（2023·江苏连云港·七年级统考期中）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．
（1）【性质理解】
如图2，在“对顶三角形”与中，，，求证：；
（2）【性质应用】如图3，在中，点D、E分别是边、上的点，，若比大20°，求的度数；
（3）【拓展提高】如图4，已知，是的角平分线，且和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用表示）．
模型2、“A”字模型

结论：①∠3+∠4=∠D+∠E ；②∠1+∠2=∠A+180° 。
例1．（2022秋·广西北海·八年级统考期中）按如图中所给的条件，的度数是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·绵阳市·八年级假期作业）如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（ ）．
A．B．C．D．
例3．（2023秋·广西·八年级专题练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证．
例4．（2023·广东八年级课时练习）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（ ）．
A．B．C．D．
例5．（2023秋·河南信阳·八年级校联考期末）（1）如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则__________；

（2）如图2，在中，，剪去后成为四边形，则__________；
（3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳与的关系是______________；
（4）若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由．
例6．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期中）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．
几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF = ∠A + ∠B + ∠C；
应用上面模型解决问题：
(1)如图（2），“五角星”形，求？
分析： 图中是“A”型图，于是，所以= ；
(2)如图（3），“七角星”形，求；
(3)如图（4），“八角星”形，可以求得= ；
模型3、三角板模型
【模型解读】由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。
图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°，
例1．（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②与互为补角；③若，则；④．其中一定正确的序号是（ ）

A．①②③④B．②③④C．②③D．②④
例2．（2023春·安徽·九年级专题练习）将两块直角三角尺按如图摆放，其中，，，若相交于点E，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
例3.（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C在的延长线上，点C、F分别为直角顶点，且，，若，则的度数是（ ）

A．15°B．20°C．25°D．30°
例4．（2023春·陕西渭南·七年级统考期中）如图，，一副直角三角板和如图摆放，，，若，则下列结论：①；②；③；④平分，正确的有 ．（填序号）

例5．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）实践与探究
材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，．

(1)操作一：如图①，将三角尺按如图方摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 度．
(2)操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，且平分，求的度数．
(3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B顺时针旋转一周，速度为每秒，设运动时间为t秒，当边与互相平行时，直接写出t的值．
课后专项训练
1．（2023春·新疆伊犁·七年级统考期末）如图，某位同学将一副三角板随意摆放在宗上，则图中的度数是（ ）

A．B．C．D．
2．（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）若将一副三角板按如图所示的方式放置，其中，则下列结论不正确的是（ ）

A．B．C．D．
3．（2023春·江苏苏州·七年级苏州中学校考期中）如图是两块直角三角板和，其中，，，且点D在边AB上，点F在边CB的延长线上，那么不可能等于（ ）．

A．B．C．D．
4．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于（ ）

A．B．C．D．
5．（2022春·山西晋城·七年级统考期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且保持不变．为了舒适，需调整大小，使，则应调整为（ ）
A．30°B．25°C．20°D．10°
6．（2023·广东江门·八年级校考期中）如下图，的度数为（ ）
A．540°B．500°C．460°D．420°
7．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知四边形中，，若沿图中虚线剪去，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·福建福州·七年级统考期中）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠ABC+∠ACB＝120°，则∠ABD+∠ACD的值为( )
A．60°B．50°C．40°D．30°
9．（2022·安徽·八年级校考期中）如图，若，则 ．

10．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，已知，平分，平分，求证：
11．（2022秋·四川绵阳·八年级统考期中）如图，已知， ．
12．（2022秋·江西吉安·八年级统考期末）如图，在中，D、E分别是上的点，点F在的延长线上，，，求的度数．
13．（2022春·七年级单元测试）探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算每个角的度数，画出了如图①的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补充完整．

(1)解：∵，．
∴ ．
∵ ________，
∴________，
∴________．
(2)拓展：如图②，小明改变了这个五角星的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求，，，，的和．
(3)应用：如图③．小明将图②中的点落在上，点落在上，若，则________．
14．（2021秋·广东东莞·八年级校考阶段练习）（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于___________
A．90° B．135° C．270° D．315°
（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1＋∠2＝_______
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1＋∠2与∠A的关系是________________
（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1＋∠2与∠A的关系并说明理由．
15．（2023春·重庆黔江·七年级统考期末）如图，将三角板与三角板摆放在一起；如图，其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角．

(1)在旋转过程中，当为 度时，；当为 度时，．
(2)当时，连接，利用图探究值的大小变化情况，并说明理由．
16．（2023春·四川成都·七年级统考期末）学习完平行线的知识后，甲，乙，丙三位同学利用两个三角形进行探究活动，分别得到以下图形．已知中，．请根据他们的叙述条件完成题目．

(1)若为等腰直角三角形，且；
①甲同学：如图1，和的直角边在同一直线上，点E和点C互相重合，斜边与相交于点P，那么 度；
②乙同学：如图2，和直角顶点C，D互相重合于点P，斜边与斜边互相平行，求的度数，并写出解答过程；
(2)若为等腰三角形，已知．
丙同学：如图3，若直角顶点D恰好与底边的中点重合，的斜边经过的顶点C，若，设，请用含x的式子表示的度数，并写出解答过程．
17．（2023春·安徽宿州·八年级校联考期中）小明善于用数学的眼光观察生活，从中找到数学研究的乐趣．他用一副三角板拼成了如下两幅图．

(1)图1中，的度数是______．
(2)①求图1中的度数；
②图2中，，求的度数．
18．（2022秋·湖北省直辖县级单位·八年级校联考期中）如图所示，有一块直角三角板足够大，其中，把直角三角板放置在锐角上，三角板的两边、恰好分别经过、．
(1)若，则______，______，______
(2)若，则______．（写出求解过程）
(3)请你猜想一下与所满足的数量关系，并说明理由．
19．（2023春·七年级课时练习）（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；
（3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．
20．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）
(1)【问题背景】如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明；
(2)【简单应用】如图2，、分别平分、，若，，求的度数；
(3)【问题探究】如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，请猜想的度数，并说明理由；
(4)【拓展延伸】在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为：___．（用、表示，不必说明理由）