人教版数学八年级上册期中复习 专题12 将军饮马模型（2份，原卷版+解析版）

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模型1、将军饮马--两定一动求线段和的最小值
【模型探究】A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小 。

图1 图2
（1）如图1，点A、B在直线m两侧：
辅助线：连接AB交直线m于点P，则AP+BP的最小值为AB.
（2）如图2，点A、B在直线同侧：
辅助线：过点A作关于定直线m的对称点A’ ，连接A’B交直线m于点P，则AP+BP的最小值为A’B.
例1．（2022·福建·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连结AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为 _____．
【答案】15°##15度
【分析】作点B关于MN的对称点D，连接AD交MN于P，连接BP，CD，先证明△BCD是等边三角形，从而得到AC=CD，∠ACD＝∠ACB +∠BCD＝150°，进而求得∠CDP＝15°，据轴对称性可得∠CBP的度数．
【详解】如图，作点B关于MN的对称点D，连接AD交MN于P，连接BP，CD，
∵点B与点D是关于MN的对称点，∠BCN＝30°，
∴BC=CD，∠BCD＝60°，∴△BCD是等边三角形，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AC=CD，∠ACD＝∠ACB +∠BCD＝150°，∴∠CDP＝15°，
∵点B与点D是关于MN的对称点，，且△BCD是等边三角形，
∴由等边三角形的轴对称性可知：∠CBP=∠CDP=15°，故答案为：15°．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质，轴对称最短线路问题等知识，明确AP+BP的最小值为AD长是解题的关键．
例2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，等边三角形的边上的高为6，是边上的中线，M是线段上的-一个动点，E是中点，则的最小值为_________．
【答案】6
【分析】连接BE交AD于M，则BE就是EM+CM的最小值，通过等腰三角形的“三线合一”，可得BE=AD即可得出结论．
【详解】解：连接BE，与AD交于点M．
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴B、C关于AD对称，则EM+CM=EM+BM，
则BE就是EM+CM的最小值．∵E是等边△ABC的边AC的中点，AD是中线
∴BE=AD=6，∴EM+CM的最小值为6，故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质—“三线合一”、等边三角形的性质和轴对称等知识的综合应用，解题关键是找到M点的位置．
例3．（2022·河南濮阳·八年级期末）如图，等边三角形的边长为5，A、B、三点在一条直线上，且．若D为线段上一动点，则的最小值是________．
【答案】10
【分析】连接CA1交BC1于点E，C、A1关于直线BC1对称，推出当点D与B重合时，AD+CD的值最小，最小值为线段AA1的长＝10．
【详解】解：连接CA1交BC1于点E，过点B作直线l⊥AB，如图，
∵△ABC是等边三角形，∴是等边三角形，AB=A1B=5
∵A、B、三点在一条直线上，∴ △ABC与△A1BC1关于直线l对称，
∵∠ABC＝∠A1BC1＝60°，∴∠CBC1＝60°，∴∠C1BA1＝∠C1BC，
∵BA1＝BC，∴BD⊥CA1，CD＝DA1，∴C、A1关于直线BC1对称，
∴当点D与B重合时，AD+CD的值最小，最小值为线段AA1的长＝10，故答案为：10．
【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会找对称点，形成两点之间的线段来解决最短问题，属于中考常考题型．
例4．（2023.浙江八年级期中）如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为多少？

【答案】∠ECF＝30º
【解析】过E作EM∥BC，交AD于N，如图所示：
∵AC＝4，AE＝2，∴EC＝2＝AE，∴AM＝BM＝2，∴AM＝AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，
∵AM＝AE，∴E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF＋CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60º，AC＝BC，∵AM＝BM，∴∠ECF＝∠ACB＝30º.
模型2、将军饮马--两动一定求线段和的最小值
【模型探究】已知定点A位于定直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.

辅助线：过点A作关于定直线m、n的对称点A’ 、A’’ ，连接A’A’’ 交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QA的最小值为A’A’’.
例1．（2022·江苏·无锡市八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】A
【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE+EF+FP=CD，此时周长最小，根据CD=4可得出△COD是等边三角形，进而可求出α的度数．
【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．
此时，△PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．
∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，
同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．
∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=4，∴∠COD=2α．
又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，
∴OC=OD=CD=4，∴△COD是等边三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故选：A．
【点睛】本题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．
例2．（2022·湖北十堰·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，．在BC，CD上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为_________．
【答案】160°
【分析】要使周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作点A关于BC和CD的对称点，即可得到，进而求得，即可得到答案．
【详解】作点A关于BC和CD的对称点，连接，交BC于M，交CD于N，
则即为周长最小值
，
故答案为：160°．
【点睛】本题考查的是轴对称—最短路线问题，涉及平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
例3．（2022·江苏九年级一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（ ）
A．2.5B．3.5C．4.8D．6
【答案】C
【分析】如图作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．由∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠MCD+∠NCD=180°，可得M、B、N共线，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，FM+EN+EF≥MN，可知当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD，求出CD的值即可解决问题．
【详解】解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．∴DF=FM，DE=EN，CD=CM，CD=CN，∴CD=CM=CN，
∵∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠MCD+∠NCD=180°，∴M、C、N共线，∵DF+DE+EF=FM+EN+EF，
∵FM+EN+EF≥MN，∴当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值为MN=2CD，
∵CD⊥AB，∴•AB•CD=•AB•AC，∴CD===2.4，
∴DE+EF+FD的最小值为4.8．故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
例4．（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）如图所示，，点为内一点，，点分别在上，求周长的最小值．
【答案】周长的最小值为8
【分析】作P关于OA、OB的对称点，连结、，即可快速找到解题思路.
【详解】如图，作P关于OA、OB的对称点，连结、，交OA、OB于M、N，此时周长最小，根据轴对称性质可知，，，且，，，，为等边三角形，即周长的最小值为8.
【点睛】本题应用知识比较隐晦，分别考查了轴对称图形和等边三角形，需要认真分析，充分联系所学知识，方可正确解答.
模型3、将军饮马--两动两定求线段和的最小值
【模型探究】A，B为定点，在定直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）如图1，两个点都在直线外侧：
辅助线：连接AB交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QB的最小值为AB.
（2）如图2，一个点在内侧，一个点在外侧：
辅助线：过点B作关于定直线n的对称点B’，连接AB’交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QB的最小值为AB’.

图1 图2
（3）如图3，两个点都在内侧：
辅助线：过点A、B作关于定直线m、n的对称点A’ 、B’ ，连接A’B’ 交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QA的最小值为A’B’.
（4）如图4，台球两次碰壁模型：
辅助线：同图3辅助线作法。

图3 图4
例1．（2022·和平区·八年级期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小=___（度）．
【答案】50
【分析】作M关于OB的对称点，N关于OA的对称点，连接，交OB于点P，交OA于点Q，连接MP，QN，可知此时最小，此时，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．
【详解】作M关于OB的对称点，N关于OA的对称点，连接，交OB于点P，交OA于点Q，连接MP，QN，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时最小，即，
∴，
∵，∴，
∵，，∴ ，
∴ ．故答案为：50．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键，综合性较强．
例2．（2022·湖北武汉市·九年级期中）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】分别作B、C关于AG和AH对称的点、，连接BP、CQ、、，PQ，得出BP＋PQ＋CQ的最小值为，再依据等边三角形的性质和判定和轴对称的性质分别求得和即可求得．
【详解】解：分别作B、C关于AG和AH对称的点、，连接BP、CQ、、，PQ
∵HC与GB关于y轴对称， ∴GO=HO,BO=CO,∵x轴⊥y轴，∴AG=AH，、关于y轴对称，
∴当、，P、Q在同一条直线上时，最小，此时轴，
∵∠GAH＝60°，∴△AGH为等边三角形，∴∠AGO=60°，
∵轴，B、关于AG对称，∴,，
∴△BPG为等边三角形，过作PM⊥GO交x轴与M，
∵G（﹣3，0），B（﹣2，0），∴BG=1，BO=2，∴，
∴，同理可得,即．故选：B．
【点睛】本题考查轴对称的性质，等边三角形的性质和判断，坐标与图形变化．能借助轴对称的性质正确变形将折线的长化成一条线段的长是解题关键．
例3．（2022·湖北青山·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点．
（1）求证：△ADC为等边三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）4．
【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得，再根据等边三角形的判定即可得证；（2）连接，先根据等边三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得垂直平分，然后根据线段垂直平分线的性质可得，同样的方法可得，从而可得，最后根据两点之间线段最短即可得出答案．
【详解】证明：（1）在中，，，
点是斜边的中点，，是等边三角形；
（2）如图，连接，
和都是等边三角形，，，
，垂直平分，，
同理可得：垂直平分，，，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，
故的最小值为4．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．
模型4、将军饮马--线段差的最大值
【模型探究】A，B为定点，在定直线m上分别找两点P，使PA与PB的差最大。
（1）如图1，点A、B在直线m同侧：
辅助线：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。
（2）如图2，点A、B在直线m异侧：
辅助线：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’
图1 图2
例1．（2022·福建福州·八年级期中）如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线上的动点，且，则的最大值是________．
【答案】3
【分析】连接PC，则BP=CP，=CP-PE，当点P与点A重合时，CP-PE=CE，进而即可求解．
【详解】解：连接PC，
∵在等边中，，P是的中线上的动点，
∴AD是BC的中垂线，∴BP=CP，∴=CP-PE，
∵在中，CP-PE＜CE，∴当点P与点A重合时，CP-PE=CE，
∵E是边的中点，∴的最大值=6÷2=3．故答案是：3．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，三角形三边长关系，连接CP，得到=CP-PE，是解题的关键．
例2．（2022·广东·八年级专题练习）如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是______．
【答案】5
【分析】作点关于射线的对称点，连接、、B'P．则，，是等边三角形，在中，，当、、在同一直线上时，取最大值，即为5．所以的最大值是5．
【详解】解：如图，作点关于射线的对称点，连接、，B'P．
则，，，．
∵ ，∴，∴ 是等边三角形，∴，
在中，，当、、在同一直线上时，取最大值，即为5．
∴的最大值是5．故答案为：5．
【点睛】本题考查了线段之差的最小值问题，正确作出点B的对称点是解题的关键．
例3．（2022·湖北·武汉八年级期末）如图，，为上一动点，，过作交直线于，过作交直线于点，若，当的值最大时，则 ________ ．
【答案】123°
【分析】当DM与DP重合，AN与AB重合时，|AN-DM|的值最大，此时|AN-DM|=AB，画出相应的图形，根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果．
【详解】解：当DM与DP重合，AN与AB重合时，|AN-DM|的值最大，此时|AN-DM|=AB，
∵∠ABC=114°，∴∠CDE=180°-114°=66°，∴∠MCD=90°-66°=24°，
又∵AB=BC，∴∠ACB=（180°-114°）÷2=33°，
∴∠ACE=180°-∠ACB-∠DCM=180°-33°-24°=123°，故答案为：123°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和、直角三角形、等腰三角形的性质等知识，根据题意画出相应图形是解决问题的关键．
课后专项训练
1．（2022·河南七年级期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作N关于BD的对称点，根据轴对称性质、两点之间线段最短和垂线段最短的定理可以得到CM+MN 的最小值即为C点到AB的垂线段，因此根据面积公式可以得解．
【详解】解：如图，作N关于BD的对称点，连结N，与BD交于点O，过C作CE⊥AB于E，则
∵BD平分 ∠ABC ，∴在AB上，且MN=M，∴CM+MN=，
∴根据两点之间线段最短可得CM+MN 的最小值为，即C点到线段AB某点的连线，
∴根据垂线段最短，CM+MN 的最小值为C点到AB的垂线段CE的长度，
∵△ABC 的面积为 10 ，∴，∴CE=5，故选B．
【点睛】本题考查轴反射的综合运用，熟练掌握轴反射的特征、两点之间线段最短及垂线段最短等性质是解题关键．
2．（2022·甘肃白银·七年级期末）如图，在中，，，，，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则周长的最小值是（ ）
A．7B．6C．12D．8
【答案】A
【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的值最小，即可得到△ABP周长最小．
【详解】解：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，设AC交EF于D，
∴当P和D重合时，即A、P、C三点共线时，AP+BP的值最小，
∵EF垂直平分BC，∴AD=CD，∴AD+BD=AD+CD=AC=4，
∴△ABP周长的最小值是AB+AC=3+4=7，故A正确．故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
3．（2022·江西宜春·八年级期末）如图，在中，是边的垂直平分线，交于点，交于点，点是直线上的一个动点，若，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】由条件可得点A是点C冠以ED的对称点，即求PB+PC的最小值就是求PB+PA的最小值，在点P运动的过程中，P与E重合时有最小值．
【详解】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴PC+PB=PA+PB，
∵P运动的过程中，P与E重合时有最小值，
∴PB+PC的最小值=AB=5．故选：A
【点睛】本题主要考查动点最短路径问题，结合对称，寻找对称点，判断最值状态是解题的关键．
4（2022•绵阳八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．70°
【分析】据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°，进而得出∠AEF+∠AFE＝2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．
【答案】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C＝70°，∴∠DAB＝110°，∴∠HAA′＝70°，∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF＝70°，
∴∠EAF＝110°﹣70°＝40°，故选：B．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．
5．（2022·江苏·无锡八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】A
【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE+EF+FP=CD，此时周长最小，根据CD=4可得出△COD是等边三角形，进而可求出α的度数．
【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．
此时，△PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．
∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，
同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．
∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=4，∴∠COD=2α．
又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，∴OC=OD=CD=4，
∴△COD是等边三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故选：A．
【点睛】本题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．
6．（2023云南八年级期末）如图，在等边中，BC边上的高，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】先连接CE，再根据EB=EC，将FE+EB转化为FE+CE，最后根据两点之间线段最短，求得CF的长，即为FE+EB的最小值．
【详解】解：如图，连接CE，
∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线，∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC，
∴EB=EC，∴BE+EF=CE+EF，∴当C、F、E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF，
∵等边△ABC中，F是AB边的中点，∴AD=CF=6，即EF+BE的最小值为6．故选：B
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称性质等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．
7．（2022·河南安阳市·八年级期末）如图，在中，，，的面积为12，于点D，直线EF垂直平分BC交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则的周长的最小值是（ ）
A．6B．7C．10D．12
【答案】B
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可知为底边上的高线，根据面积关系即可求得的长，根据垂直平分线的性质可知点和点关于直线EF对称，所以当与重合时，的值最小，根据和的长度即可求得周长的最小值．
【详解】如图
∵的面积为12，∴，，解得，，
∵直线EF垂直平分BC交AB于点E，∴点和点关于直线EF对称，
∴当与重合时，的值最小，最小值等于的长，
∴周长的最小值是，故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、轴对称最短路线问题的应用、三角形的面积等，解题的关键是准确找出点的位置．
8.（2022•芜湖期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．
【答案】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M作MN′⊥BC于N′，
∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于点E，M′N′⊥BC于N∴M′N′＝M′E，∴CE＝CM′+M′E
∴当点M与M′重合，点N与N′重合时，CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面积为8，AB＝4，∴×4•CE＝8，∴CE＝4．
即CM+MN的最小值为4．故选：B．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．
9．（2022·河南·安阳市八年级期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，周长最小时，，之间的关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接AP，根据线段垂直垂直平分线的性质可知PA=PC，．由，即得出，由此可知当A、P、D在同一直线上时，最小．再根据等腰三角形“三线合一”的性质可知AD为的平分线，即．最后根据三角形外角性质即得出，由此即可判断．
【详解】如图，连接AP，
∵直线MN是线段AC的垂直平分线，且P在线段MN上，∴PA=PC，．
∵,∴．
由图可知CD为定值，当A、P、D在同一直线上时，最小，即为的长，∴此时最小．
∵D是边BC的中点，AB=AC，∴AD为的平分线，∴．
∵，即，∴．故选C．
【点睛】本题考查线段垂直垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义以及三角形外角性质．根据题意理解当A、P、D在同一直线上时最小是解题关键．
10．（2022·广东广州·八年级期末）如图，点D是∠FAB内的定点且AD=2，若点C、E分别是射线AF、AB上异于点A的动点，且△CDE周长的最小值是2时，∠FAB的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】A
【分析】作D点分别关于AF、AB的对称点G、H，连接GH分别交AF、AB于C′、E′，利用轴对称的性质得AG=AD=AH=2，利用两点之间线段最短判断此时△CDE周长最小为DC′+DE′+C′E′=GH=2，可得△AGH是等边三角形，进而可得∠FAB的度数．
【详解】解：如图，作D点分别关于AF、AB的对称点G、H，连接GH分别交AF、AB于C′、E′，连接DC′，DE′，
此时△CDE周长最小为DC′+DE′+C′E′=GH=2，
根据轴对称的性质，得AG=AD=AH=2，∠DAF=∠GAF，∠DAB=∠HAB，
∴AG=AH=GH=2，∴△AGH是等边三角形，
∴∠GAH=60°，∴∠FAB=∠GAH=30°，故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题．
11．（2022·湖南雨花·初二期末）如图，∠AOB=30°，点P是它内部一点，OP=2，如果点Q、点R分别是OA、OB上的两个动点，那么PQ+QR+RP的最小值是__________．
【答案】2
【分析】先作点P关于OA,OB的对称点P′,P″,连接P′P″,由轴对称确定最短路线问题,P′P″分别与OA,OB的交点即为Q,R,△PQR周长的最小值=P′P″,由轴对称的性质,可证∠POA=∠P′OA,∠POB=∠P″OB,OP′=OP″=OP=2, ∠P′OP″=2∠AOB=2×30°=60°,继而可得△OP′P″是等边三角形,即PP′=OP′=2．
【解析】作点P关于OA,OB的对称点P′,P″,连接P′P″,
由轴对称确定最短路线问题,P′P″分别与OA,OB的交点即为Q,R,
△PQR周长的最小值=P′P″,由轴对称的性质,∠POA=∠P′OA,∠POB=∠P″OB,OP′=OP″=OP=2,
所以,∠P′OP″=2∠AOB=2×30°=60°,所以,△OP′P″是等边三角形,所以,PP′=OP′=2．故答案为:2.
【点睛】本题主要考查轴对称和等边三角形的判定,解决本题的关键是要熟练掌握轴对称性质和等边三角形的判定.
12．（2022·福建·莆田二中八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连结AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为 _____．
【答案】15°##15度
【分析】作点B关于MN的对称点D，连接AD交MN于P，连接BP，CD，先证明△BCD是等边三角形，从而得到AC=CD，∠ACD＝∠ACB +∠BCD＝150°，进而求得∠CDP＝15°，据轴对称性可得∠CBP的度数．
【详解】如图，作点B关于MN的对称点D，连接AD交MN于P，连接BP，CD，
∵点B与点D是关于MN的对称点，∠BCN＝30°，
∴BC=CD，∠BCD＝60°，∴△BCD是等边三角形，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AC=CD，∠ACD＝∠ACB +∠BCD＝150°，∴∠CDP＝15°，
∵点B与点D是关于MN的对称点，，且△BCD是等边三角形，
∴由等边三角形的轴对称性可知：∠CBP=∠CDP=15°，故答案为：15°．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质，轴对称最短线路问题等知识，明确AP+BP的最小值为AD长是解题的关键．
13．（2022·广东·八年级专题练习）如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是______．
【答案】5
【分析】作点关于射线的对称点，连接、、B'P．则，，是等边三角形，在中，，当、、在同一直线上时，取最大值，即为5．所以的最大值是5．
【详解】解：如图，
作点关于射线的对称点，连接、，B'P．
则，，，．
∵ ，∴，∴ 是等边三角形，∴，
在中，，当、、在同一直线上时，取最大值，即为5．
∴的最大值是5．故答案为：5．
【点睛】本题考查了线段之差的最小值问题，正确作出点B的对称点是解题的关键．
14．（2022·福建福州·八年级期中）如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线上的动点，且，则的最大值是________．
【答案】3
【分析】连接PC，则BP=CP，=CP-PE，当点P与点A重合时，CP-PE=CE，进而即可求解．
【详解】解：连接PC，
∵在等边中，，P是的中线上的动点，
∴AD是BC的中垂线，∴BP=CP，∴=CP-PE，
∵在中，CP-PE＜CE，∴当点P与点A重合时，CP-PE=CE，
∵E是边的中点，∴的最大值=6÷2=3．故答案是：3．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形三边长关系，连接CP，得到=CP-PE，是解题的关键．
15.（2022·河南八年级期末）如图，在中，，，，，平分交于点，，分别是，边上的动点，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】在上取点，使，连接，过点作，垂足为．利用角的对称性，可知，则EC＋EF的最小值即为点C到AB的垂线段CH的长度，进而即可求解．
【详解】解：如图，在上取点，使，连接，过点作，垂足为．
平分，根据对称可知．
，．，
当点、、共线，且点与点重合时，的值最小，最小值为CH=，故答案为．
【点睛】本题考查了轴对称-线段和最小值问题，添加辅助线，把两条线段的和的最小值化为点到直线的距离问题，是解题的关键．
16．（2022·四川成都·七年级期末）如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点M和点N，在直线MN上取一点C，连接CA，CB，点D是线段AC的延长线上一点，且CD＝AC，点P是直线MN上一动点，连接PD，PB，若BC＝4，则PD+PB的最小值为 ___．
【答案】6
【分析】根据轴对称的性质和垂直平分线的性质判断即可；
【详解】解：由作法得MN垂直平分AB，∴CA＝CB＝4，PA＝PB，
∵CD＝AC＝2，∴AD＝6，∵PA+PD≤AD（点A、P、D共线时取等号），
∴PA+PD的最小值为6，∴PB+PD的最小值为6．故答案为6．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质和轴对称最短距离问题，准确分析计算是解题的关键．
17．（2022·安徽芜湖市·八年级期末）如图，在中．，若，，，将折叠，使得点C恰好落在AB边上的点E处，折痕为AD，点P为AD上一动点，则的周长最小值为___．
【答案】20．
【分析】根据由沿AD对称,得到，进而表示出，最后求周长即可．
【详解】由沿AD对称得到，则E与C关于直线AD对称，
，∴，如图,连接，
由题意得，∴，
当P在BC边上，即D点时取得最小值12，
∴周长为，最小值为．故答案为:20．
【点睛】本题考查了三角形折叠问题，正确读懂题意是解本题的关键．
18．（2022·湖北·八年级）如图，，为上一动点，，过作交直线于，过作交直线于点，若，当的值最大时，则 ________ ．
【答案】123°
【分析】当DM与DP重合，AN与AB重合时，|AN-DM|的值最大，此时|AN-DM|=AB，画出相应的图形，根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果．
【详解】解：当DM与DP重合，AN与AB重合时，|AN-DM|的值最大，此时|AN-DM|=AB，
∵∠ABC=114°，∴∠CDE=180°-114°=66°，∴∠MCD=90°-66°=24°，
又∵AB=BC，∴∠ACB=（180°-114°）÷2=33°，
∴∠ACE=180°-∠ACB-∠DCM=180°-33°-24°=123°，故答案为：123°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和、直角三角形、等腰三角形的性质等知识，根据题意画出相应图形是解决问题的关键．
19．（2022·湖北十堰·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，．在BC，CD上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为_________．
【答案】160°
【分析】要使周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作点A关于BC和CD的对称点，即可得到，进而求得，即可得到答案．
【详解】作点A关于BC和CD的对称点，连接，交BC于M，交CD于N，
则即为周长最小值
，
故答案为：160°．
【点睛】本题考查的是轴对称—最短路线问题，涉及平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
20．（2022·河南濮阳·八年级期末）如图，等边三角形的边长为5，A、B、三点在一条直线上，且．若D为线段上一动点，则的最小值是________．
【答案】10
【分析】连接CA1交BC1于点E，C、A1关于直线BC1对称，推出当点D与B重合时，AD+CD的值最小，最小值为线段AA1的长＝10．
【详解】解：连接CA1交BC1于点E，过点B作直线l⊥AB，如图，
∵△ABC是等边三角形，∴是等边三角形，AB=A1B=5
∵A、B、三点在一条直线上，∴ △ABC与△A1BC1关于直线l对称，
∵∠ABC＝∠A1BC1＝60°，∴∠CBC1＝60°，∴∠C1BA1＝∠C1BC，
∵BA1＝BC，∴BD⊥CA1，CD＝DA1，∴C、A1关于直线BC1对称，
∴当点D与B重合时，AD+CD的值最小，最小值为线段AA1的长＝10，故答案为：10．
【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会找对称点，形成两点之间的线段来解决最短问题，属于中考常考题型．
21．（2023·山东青岛市·八年级期末）如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由向和由向运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为，，和交于点．
（1）在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由；（2）连接，求为何值时，；
（3）若于点，点为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．
【答案】（1）CD与BE始终相等；（2）5；（3）7
【分析】（1）证明△ADC≌△CEB（SAS）即可；（2）根据DE∥BC，得到AD=AE，即t=10-t，求出t即可；
（3）作D点关于BM的对称点D'交BC于点D'，连接D'E，交BM于点P，则DP+PE=D'E，证明△CD′E为等边三角形，即可求D'E的值．
【详解】解：（1）由已知可得AD=t，EC=t，∴AD=CE，
∵△ABC是等边三角形∴∠A=∠ACB=60°，BC=AC，
∴△ADC≌△CEB（SAS），∴BE=CD，∴CD与BE始终相等；
（2）∵DE∥BC，∴AD=AE，∵AB=AC=10，∴t=10-t，∴t=5；

（3）∵BM⊥AC，∴BM平分∠ABC，
作D点关于BM的对称点D'交BC于点D'，连接D'E，交BM于点P，
∵DP=D'P，∴DP+PE=D'P+PE=D'E，∵t=7，∴AE=BD=BD′=3，AD=CE=7，∴CD′=7，又∠C=60°，
∴△CD′E为等边三角形，∴D'E=CD′=7，∴PD+PE的最小值为7．
【点睛】本题考查动点及等边三角形的性质，利用轴对称性确定线段DP+PE=D'E，再由等边三角形的性质求解D'E的长是解题的关键．