人教版数学八年级上册期中复习 专题08 三角形中的特殊模型-双角平分线模型（2份，原卷版+解析版）

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1）两内角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF交于点G；结论：．

图1 图2 图3
2）两外角平分线的夹角模型
条件：如图2，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：．
3）一个内角一个外角平分线的夹角模型
条件：如图3，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：．

图4 图5 图6
4）凸多边形双内角平分线的夹角模型
条件：如图4，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：
5）两内角平分线的夹角模型
条件：如图5，BP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：
6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）
条件：如图6，，的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是．
7）旁心模型
旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
条件：如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD
例1．（2023·绵阳市八年级课时练习）如图，在中，，，平分，平分，则 .
例2．（2023·河南周口·八年级统考期末）如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点P，则（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023秋·山西太原·八年级校考期末）已知：如图，是内一点，连接，．
(1)猜想：与、、存在怎样的等量关系？证明你的猜想．(2)若，、分别是、的三等分线，直接利用（1）中结论，可得的度数为 ．
例4．（2023秋·成都市·八年级专题练习）如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ．
例5．（2023·绵阳市·八年级专题练习）如图，已知在中，、的外角平分线相交于点，若，，求的度数.
例6．（2023春·广西·七年级专题练习）如图，在△ABD中，∠ABD的平分线与∠ACD的外角平分线交于点E，∠A=80°，求∠E的度数
例7．（2023春·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则 ．
例8．（2023·河北·九年级专题练习）问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．
(1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ；
如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠A度数的比是 ；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．
例9．（2023·重庆·七年级专题练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.
探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，分析发现，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC、∠ACB 的角平分线
∴，
∴
∴
（1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A 有怎样的关系？请说明理由．
（2）探究3： 如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则与有怎样的关系？（直接写出结论）
（3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）
（4）运用：如图5，五边形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分别是∠FCD、∠GDC，CP、DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P，若∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，则∠CPD=_____度．
课后专项训练
1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，平分，点是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：

①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；
②分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点；
③作射线，交于点．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江苏·八年级月考）中，点是内一点，且点到三边的距离相等；，则
A．B．C．D．
3．（2023·成都·八年级月考）如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则
A．B．C．D．
4．（2023·重庆·八年级专题练习）已知，如图，中，，，点D、E分别在、延长线上，平分，平分，连接，则的度数为（ ）

A．45°B．48°C．60°D．66°
5．（2023秋·绵阳市·八年级专题练习）如图，在中，，，点E在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点D，连接，下列结论中不正确的是（ ）

A．B．C．D．
6．（2022春·重庆黔江·七年级统考期末）如图，已知，点在两平行线之间，连接，，的平分线与的平分线的反向延长线交于点，若，则等于（ ）．
A．B．C．D．
7．（2022春·北京海淀·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，点C在BA的延长线上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，则∠D的度数是（ ）
A．30°B．45°C．55°D．60°
8．（2023·江苏·八年级月考）如图，的外角的平分线与内角平分线交于点，若，则的度数是 ．
9．（2023春·河北·七年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC＝130°，则∠D＝
10．（2022秋·浙江八年级课时练习）（2018育才单元考） 如图，在△ABC中，和的角平分线交于点，得，和的角平分线交于点，得，……，和的角平分线交于点，得
（1）若，则 ， ，
（2）若，则 ．
11．（2023·浙江杭州·八年级期末）如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，则 ．（用含字母的代数式表示）
12．（2023春·河南·七年级专题练习）如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝ ．
13．（2023·甘肃陇南·统考一模）在中，，．点M在的延长线上，的平分线交于点D．的平分线与射线交于点E．
(1)依题意补全图形；用尺规作图法作的平分线；(2)求的度数．

14．（2023·山东八年级期中）如图，在中，角平分线、、相交于点，过点作于点，成立吗？说明理由.
15．（2023·黑龙江八年级课时练习）（1）如图（1）所示，已知在△ABC中，O为∠ABC和∠ACB的平分线BO，CO的交点．试猜想∠BOC和∠A的关系，并说明理由．（2）如图（2）所示，若O为∠ABC的平分线BO和∠ACE的平分线CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？
16．（2023春·八年级单元测试）如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．
（1）若∠A=70°，求∠D的度数；（2）若∠A=a，求∠E；（3）连接AD，若∠ACB=，则∠ADB= ．
17．（2023·福建泉州·七年级阶段练习）在中，已知.
（1）如图1，的平分线相交于点．①当时，度数= 度（直接写出结果）；
②的度数为 （用含的代数式表示）；
（2）如图2，若的平分线与角平分线交于点,求的度数（用含的代数式表示）．
（3）在（2）的条件下，将以直线BC为对称轴翻折得到，的角平分线与的角平分线交于点（如图3），求的度数（用含的代数式表示）．
18．（2023·江苏盐城·七年级阶段练习）如图，△ABC的角平分线相交于P，∠A=m°,（1）若∠A=40°,求∠BPC的度数；（2）设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于Q， 且∠A=m°，求∠BQC的度数
（3）设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的n等分线相交于R，且∠A=m°，∠CBR=∠CBD，∠BCR=∠BCE，求∠BRC的度数
19．（2023·江西上饶·八年级校考阶段练习）(1)探究1:如图1,P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点,若∠A=70∘，则∠BPC=_______度；
(2)探究2:如图2，P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点，求∠BPC与∠A的数量关系?并说明理由．
(3)拓展：如图3，P是四边形ABCD的外角∠EBC与∠BCF的平分线BP和CP的交点，设∠A+∠D=α.,直接写出∠BPC与α的数量关系；
20．（2023·甘肃天水·七年级统考期末）已知在△ABC中，图1，图2，图3中的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，
（1）如图1，点O是△ABC的两个内角平分线的交点，猜想∠O与∠A之间的数量关系，并加以证明．
（2）请直接写出结果．
如图2，若，△ABC的内角平分线与外角平分线交于点O，则∠O＝________；
如图3，若，△ABC的两个外角平分线交于点O，则∠O＝_________．