初中数学中考复习 专题15 “8字型”模型与“燕尾”模型（解析版）

这是一份初中数学中考复习 专题15 “8字型”模型与“燕尾”模型（解析版），共15页。试卷主要包含了“8，“燕尾”模型等内容，欢迎下载使用。

模型一 “8 字型”模型与飞镖模型
1、角的“8”字模型
如图所示，AC、BD 相交于点 O，连接 AD、BC。
结论：∠A+∠D=∠B+∠C。
模型二 “燕尾”模型
如图所示，有结论：∠D=∠A+∠B+∠C。
模型精练：
一．填空题
1．（2019•越秀区校级月考）如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是 180° ．
【点睛】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠4＝∠A+∠2，∠2＝∠D+∠C，进而利用三角形的内角和定理求解．
【解析】解：如图可知：
∵∠4是三角形的外角，
∴∠4＝∠A+∠2，
同理∠2也是三角形的外角，
∴∠2＝∠D+∠C，
在△BEG中，∵∠B+∠E+∠4＝180°，
∴∠B+∠E+∠A+∠D+∠C＝180°．
故答案为：180°．
2．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝ 720° ．
【点睛】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠2与∠H、∠G的关系，∠1与∠2、∠D的关系，根据多边形的内角和公式，可得答案．
【解析】解：如图：
由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠2＝∠H+∠G，∠1＝∠2+∠D，
∠1＝∠H+∠G+∠D，
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H
＝∠A+∠B+∠C+∠E+∠F+∠H+∠G+∠D
＝180°×（6﹣2）
＝270°．
故答案为：720°．
3．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝ 360° ．
【点睛】连接CF，根据三角形的外角得到由三角形外角的性质可得：∠2＝∠G+∠H，∠3＝∠A+∠B，∠1＝∠D+∠E＝∠4+∠5，根据四边形的内角和为360°，可得：∠2+∠3+∠GFE+∠4+∠5+∠DCB＝360°即∠G+∠H+∠A+∠B+∠GFE+∠D+∠E+∠DCB＝360°．
【解析】解：如图，连接FC，
由三角形外角的性质可得：
∠2＝∠G+∠H，
∠3＝∠A+∠B，
∠1＝∠D+∠E＝∠4+∠5，
根据四边形的内角和为360°，可得：∠2+∠3+∠GFE+∠4+∠5+∠DCB＝360°
即∠G+∠H+∠A+∠B+∠GFE+∠D+∠E+∠DCB＝360°，
故答案为360°．
4．（2019•鄂城区校级月考）如图，求图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I度数的和为 540° ．
【点睛】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A+∠B+∠C＝∠IKD，∠E+∠F+∠G＝∠HND，然后由多边形的内角和公式可求得答案．
【解析】解：如图所示：
由三角形的外角的性质可知：∠A+∠B＝∠AJC，∠AJC+∠C＝∠IKD，
∴∠A+∠B+∠C＝∠IKD．
同理：∠E+∠F+∠G＝∠HND．
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠I+∠H＝∠IKD+∠D+∠HND+∠I+∠H＝（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°，
故答案为：540°．
5．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为 1080° ．
【点睛】连KF，GI，根据n边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK的内角和＝（7﹣2）×180°＝900°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠1+∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1+∠2＝∠3+∠4，∠5+∠6+∠H＝180°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠3+∠4）+∠5+∠6+∠H＝900°+180°，即可得到∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数．
【解析】解：连KF，GI，如图，
∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7﹣2）×180°＝900°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K＝900°﹣（∠1+∠2），
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠1+∠2）＝900°，
∵∠1+∠2＝∠3+∠4，∠5+∠6+∠H＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠3+∠4）＝900°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠3+∠4）+∠5+∠6+∠H＝900°+180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K＝1080°．
故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为1080°．
故答案为：1080°．
6．（2019•鼓楼区校级月考末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于 180° ．
【点睛】根据三角形外角的性质可知∠B+∠A＝∠1，∠D+∠E＝∠2，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
【解析】解：如图，
∵∠B+∠A＝∠1，∠D+∠E＝∠2，
∵∠1+∠2+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
故答案为：180°．
7．（2019•江阴市校级期中）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝ 900° ．
【点睛】根据多边形的内角和，可得答案．
【解析】解：连EF，GI，如图
，
∵6边形ABCDEFK的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝720°﹣（∠1+∠2），
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+（∠1+∠2）＝720°，
∵∠1+∠2＝∠3+∠4，∠5+∠6+∠H＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F∠H+（∠3+∠4）＝900°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F（∠3+∠4）+∠5+∠6+∠H＝720°+180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝900°，
故答案为：900°．
8．（2019•博野校级月考）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ 180° ．
【点睛】先根据三角形外角的性质得出∠CFB＝∠A+∠C，∠BGF＝∠D+∠E，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【解析】解：∵∠CFB是△ACF的外角，∠BGF是△DEG的外角，
∴∠CFB＝∠A+∠C，∠BGF＝∠D+∠E，
∵∠B+∠CFB+∠BGF＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
故答案为：180°．
9．（2019•兴化市校级月考）如右图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝ 360° ．
【点睛】根据三角形的外角性质可得∠BNP＝∠A+∠B，∠DPQ＝∠C+∠D，∠FQM＝∠E+∠F，∠HMN＝∠G+∠H，再根据多边形的外角和定理即可求解．
【解析】解：由图形可知：∠BNP＝∠A+∠B，∠DPQ＝∠C+∠D，∠FQM＝∠E+∠F，∠HMN＝∠G+∠H，
∵∠BNP+∠DPQ+∠FQM+∠HMN＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝∠BNP+∠DPQ+∠FQM+∠HMN＝360°．
故答案为：360°．
10．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六个角的和．
【点睛】根据三角形内角和外角的性质可得：∠G+∠D＝∠3，∠F+∠C＝∠4，∠E+∠H＝∠2，再根据三角形内角和定理可得答案．
【解析】解：∵∠G+∠D＝∠3，∠F+∠C＝∠4，∠E+∠H＝∠2，
∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H＝∠3+∠4+∠2，
∵∠B+∠2+∠1＝180°，∠3+∠5+∠A＝180°，
∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝360°．
11．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数．
【点睛】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A+∠B＝∠IJL，∠C+∠D＝∠MLJ，∠H+∠K＝∠GIJ，∠E+∠F＝∠GML，然后由多边形的内角和公式可求得答案．
【解析】解：如图所示：
由三角形的外角的性质可知：∠A+∠B＝∠IJL，∠C+∠D＝∠MLJ，∠H+∠K＝∠GIJ，∠E+∠F＝∠GML，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K＝∠IJL+∠MLJ+∠GML+∠G+∠GIJ＝（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°．
12．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I的和．
【点睛】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A+∠B+∠C＝∠IKD，∠E+∠F+∠G＝∠HND，然后由多边形的内角和公式可求得答案．
【解析】解：如图所示：
由三角形的外角的性质可知：∠A+∠B＝∠AJC，∠AJC+∠C＝∠IKD，
∴∠A+∠B+∠C＝∠IKD．
同理：∠E+∠F+∠G＝∠HND．
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠I+∠H＝∠IKD+∠D+∠HND+∠I+∠H＝（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°．
13．（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；
（3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．
【点睛】（1）连接AD，根据三角形的内角和定理得∠B+∠C＝∠BAD+∠CDA，进而将问题转化为求四边形ADEF的内角和，
（2）与（1）方法相同转化为求六边形ABCDEF的内角和，
（3）使用上述方法，转化为求五边形ABCDE的内角和，
【解析】解：（1）如图①，连接AD，
由三角形的内角和定理得，∠B+∠C＝∠BAD+∠CDA，
∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝∠BAF+∠BAD+∠CDA+∠D+∠E+∠F
即四边形ADEF的内角和，四边形的内角和为360°，
∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝360°，
（2）如图②，由（1）方法可得：
∠BAH+∠B+∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠G+∠H的度数等于六边形ABCDEF的内角和，
∴∠BAH+∠B+∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠G+∠H＝（6﹣2）×180°＝720°，
（3）如图③，根据（1）的方法得，∠F+∠G＝∠GAE+∠FEA，
∠BAG+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G的度数等于五边形ABCDE的内角和，
∴∠BAG+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G＝（5﹣2）×180°＝540°，
14．（2019•鼓楼区校级期中）阅读材料：
如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．
结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．
结论应用举例：
如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．
解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2，
在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，
∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°
即五角星的五个内角之和为180°．
解决问题：
（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ 360° ；
（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ 540° ；
（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝ 720° ；
（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝ 1080° ；
请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．
【点睛】（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A+∠B＝∠BDC+∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论；
（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A+∠B＝∠BED+∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论；
（3）连接BH、DE，由对顶角三角形可知∠EBH+∠BHD＝∠HDE+∠BED，再根据五边形的内角和定理得出结论；
（4）连接ND、NE，由对顶角三角形可知∠1+∠2＝∠NGH+∠EHG，再由六边形的内角和定理得出结论．
【解析】解：（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A+∠B＝∠BDC+∠ACD，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°；
（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A+∠B＝∠BED+∠ADE，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝540°；
（3）连接BH、DE，
∵由对顶角三角形可知∠EBH+∠BHD＝∠HDE+∠BED，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝五边形CDEFG的内角和+△ABH的内角和＝540°+180°＝720°；
（4）连接ND、NE，
∵由对顶角三角形可知∠1+∠2＝∠NGH+∠EHG，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝六边形BCFGHM的内角和+△AND的内角和+△NDE的内角和＝（6﹣2）×180°+360°＝1080°．
故答案为：360°；540°；720°；1080°．
15．（2019秋•长白校级月考）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．
（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）
【点睛】（1）根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
（2）根据三角形外角的性质和四边形内角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（3）根据图中可找出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，并且每截去一个角则会增加180度，由此即可求出答案．
【解析】解：（1）∵∠1＝∠2+∠D＝∠B+∠E+∠D，∠1+∠A+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；
（2）∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°；
（3）根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，每截去一个角则会增加180度，
所以当截去5个角时增加了180×5度，
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝180°×5+180°＝1080°．