2024-2025学年内蒙古自治区包头市高二上学期第二次月考数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年内蒙古自治区包头市高二上学期第二次月考数学检测试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．设集合A=，B=，则“”是“a=2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．设，，向量，，，且，，则等于（ ）
A．B．3C．D．4
4．某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A．最高气温的极差范围
B．10月的最高气温不低于5月的最高气温
C．最低气温低于0℃的月份有4个
D．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月
5．的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则边（ ）
A．B．C．D．
6．设为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系（ ）
A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．不能确定
7．直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（ ）
A．9B．12C．18D．24
8．已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A、B，则四边形PACB的外接圆的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．关于非零向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
10．已知直线l：，则下列选项正确的是（ ）
A．当直线l与直线平行时，
B．当直线l与直线垂直时，
C．当实数k变化时，直线，恒过点
D．原点到直线l的距离最大值为
11．已知圆，设点为圆上的动点，则下列选项正确的是（ ）
A．点到原点的距离的最小值为2
B．过点的直线与圆截得的最短弦长为6
C．的最大值为1
D．过点作圆的切线有2条
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，两点，则以线段为直径的圆的标准方程为 ．
13．已知点在直线上，则的最小值为
14．已知曲线与直线有且仅有一个公共点，那么实数的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知圆的圆心在直线上，且过，两点.
(1)求圆的标准方程；
(2)若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.
16．在中，内角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若，点为边的中点，且，求边的值．
17．某校高一年级设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球､定点高远球､吊球､杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.

(1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数；
(2)为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在）内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和80,90的概率；
18．如图1，在梯形中，为的中点，与交于点.将沿折起到的位置，得到三棱锥，使得二面角为直二面角（如图2）.

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的大小；
(3)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19．个有次序的实数，，…，所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量.特别地，对一个维向量，若，，称为维信号向量.设，则和的内积定义为，且.
(1)写出所有3维信号向量；
(2)直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
(3)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量；
答案
1．【正确答案】D
【分析】
由复数除法求得后可得其对应点坐标，从而得出正确选项．
【详解】
由题意，对应点为，在第四象限．
故选：D．
2．【正确答案】B
【分析】根据充分必要条件的定义判断．
【详解】，则，，或，充分性不满足，
时，，因此有，必要性也满足，因此是必要不充分条件．
故选：B．
3．【正确答案】B
【详解】由题意可得解得，
所以，，
则，所以.
故选：B.
4．【正确答案】C
【详解】A选项，最高气温最低的月为月，最高气温最高的月为月，
观察图象可知，最高气温的极差范围，A选项正确.
B选项，通过观察折线图可知，10月的最高气温不低于5月的最高气温，B选项正确.
C选项，最低气温低于0℃的月份有个，C选项错误.
D选项，通过观察折线图可知，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，D选项正确.
故选：C
5．【正确答案】C
【详解】由，解得，
由余弦定理得，所以.
故选：C.
6．【正确答案】B
【详解】因与圆相切，则.
则到圆心的距离为，则在圆外.
故选：B
7．【正确答案】B
【详解】设直线：，，
因为直线过点，所以，即，
所以，解得，当且仅当，即，时等号成立，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形面积.
故选B.
8．【正确答案】D
【详解】圆的方程，即为，圆心，
易知四边形PACB的外接圆的直径为PC，
PC的最小值为圆心C到直线的距离，即，
则四边形PACB的外接圆的半径为，
所以四边形PACB的外接圆的面积的最小值为.
故选：D
9．【正确答案】BC
【详解】A选项，向量的模相等，可能方向不相等，所以A选项错误.
B选项，两个向量互为相反向量，则这两个向量平行，所以B选项正确.
C选项，非零向量，，若，，则成立，所以C选项正确.
D选项，向量不能比较大小，所以D选项错误.
故选：BC.
10．【正确答案】AB
【详解】对于A，直线的斜率为，直线l与直线平行，
所以直线的斜率为，所以故选项A正确；
对于B，直线l与直线垂直时，则，
故选项B正确；
对于C，由，则，
则，所以，所以直线过定点，
故选项C错误；
对于D，当且仅当原点到定点的距离为原点到直线l的距离时，
原点到直线l的距离最大，即，故选项D错误.
故选：AB.
11．【正确答案】AD
【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，
对于选项A：点到原点的距离的最小值为，故A正确；
对于选项B：因为，可知点在圆内，
所以最短弦长为，故B错误；
对于选项C：因为表示直线的斜率，

当与圆相切时，此时，取到最大值，故C错误；
对于选项D：因为，可知点在圆外，
所以过点作圆的切线有2条，故D正确；
故选：AD.
12．【正确答案】
【详解】依题意，以线段为直径的圆的圆心为，
半径，
所以所求圆的标准方程为.
故
13．【正确答案】4
【详解】，
表示直线上的点到定点和的距离和，如图，
点关于的对称点为，，
当点三点重合时，最小，最小值为4.
故4
14．【正确答案】
【详解】直线恒过点.
由得，表示以为圆心，为半径的半圆，该半圆在直线的上方.

当直线与半圆相切于点时，直线方程可化为： ，
根据圆心到直线的距离等于半径得：，解得，
当直线过点时，，此时直线与曲线有两个公共点，
当直线过点时，直线斜率不存在，此时直线与曲线有一个公共点，
综上得，实数的取值范围是.
故答案为.
15．【正确答案】(1)
(2)或
【详解】（1）由，，则中点为，，
易知圆心在的中垂线上，且中垂线斜率，
则中垂线方程为，即，
联立，解得，
即圆心，
半径，
所以圆的方程为；
（2）
当直线斜率存在时，设直线，即，
圆心到直线的距离，
则弦长为，
解得，即直线；
当直线斜率不存在时，直线方程为，
此时圆心到直线的距离，弦长为成立；
综上所述，直线的方程为或.
16．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，所以，
由余弦定理得，所以，
由正弦定理得，又，所以，所以，
又，所以．
（2）因为点为边的中点，所以，
所以，
解得或（舍），
由余弦定理得，
所以．
17．【正确答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由题意得：，解得，
因为，
，
设第60百分位数为，则，
解得，即第60百分位数为85.
（2）由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有人，设为，
在80,90的有人，设为.
则“从中挑出两人进行试课”这个试验的样本空间为：
，，
设事件“两人得分分别来自和80,90”，
则，
因此
所以两人得分分别来自和80,90的概率为.
18．【正确答案】(1)证明见详解
(2)
(3)存在，
【分析】(1) 连接，由已知题设，可证明四边形为平行四边形，得到为的中点，再由三角形中位线性质与线面平行的判定定理即可证明；
(2)先求得两两垂直，建立空间直角坐标系，再根据平面法向量求解平面夹角即可；
(3)可设，求得平面与平面的法向量，再根据法向量垂直列出方程求解即可.
【详解】（1）证明：在梯形中，因为为的中点，
所以，连接，所以四边形为平行四边形，
因为，所以为的中点，所以.
因为平面平面，所以平面.
（2）在平行四边形中，因为，
所以四边形为菱形，所以，
所以在三棱锥中，.
因为平面平面，所以即为二面角的平面角，
所以，即.
如图所示，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，所以.
设平面的一个法向量为，
则，令，得.
易知平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面的夹角的大小为.
（3）假设在线段上存在点，使得平面平面，
设，因为，所以，
所以，
易知.
设平面的一个法向量为，
则，令，得.
设平面的一个法向量为，
则，令，得.
由，解得，
所以当为线段的中点时，平面平面，此时.
19．【正确答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析（答案不唯一，符合题意即可）
(3)证明见解析
【详解】（1）所有3维信号向量如下：
.
（2）设4维信号向量为，，，
可知，
若，等价于，
可知中有2个1，2个，
代入可知：符合上式，
两两垂直的4维信号向量可以为：，，，.
（3）假设存在14个两两垂直的14维信号向量，
因为将这14个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，
所以不妨设，
因为，所以有7个分量为，
设的前7个分量中有个，则后7个分量中有个，
所以，可得，矛盾，
所以不存在14个两两垂直的14维信号向量.