2024-2025学年广东省广州市高二上学期第二次月考数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省广州市高二上学期第二次月考数学检测试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若命题“，”为假命题，则实数的最小值是（ ）
A．B．0C．1D．3
2．设，为复数，且，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．
3．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则点到原点距离的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
4．若，则（ ）
A．B．
C．45D．
5．已知球是正三棱柱的内切球，，是球表面上一点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．已知A，，三点不共线，点不在平面内，，若A，，，四点共面，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
7．已知实数，满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．12
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，为为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于M，N两点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，，点P满足．则（ ）
A．点P的轨迹为双曲线B．直线上存在满足题意的点P
C．满足的点P共有0个D．的周长的取值范围是
10．下列四个命题中，正确的是（ ）
A．要唯一确定圆，只需给出圆上三点
B．要唯一确定抛物线，只需给出焦点和准线
C．要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆，只需给出椭圆上两点
D．要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线和一个焦点
11．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知分别为双曲线的左，右焦点，过双曲线右支上一点作直线交轴于点，交轴于点则（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．点的坐标为
C．过点作，垂足为，则
D．四边形面积的最小值为4
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知是椭圆：的一个焦点，是的上顶点，的延长线交于点，若，则C的离心率是 .
13．已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，则的最小值为 ．
14．已知长方体中，，点为平面内任一点，且点到点的距离与到面的距离相等，点分别为的中点，则三棱锥的体积的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．某社团为统计居民运动时长，调查了某小区100名居民平均每天的运动时长（单位：h），并根据统计数据分为，，，，，六个小组（所调查的居民平均每天的运动时长均在内），得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求出图中m的值，并估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数；
(2)按分组用分层随机抽样的方法从平均每天运动时长在，这两个时间段内的居民中抽出6人分享运动心得，若再从这6人中选出2人发言，求这2人来自不同分组的概率.
16．在中，内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求的值；
(2)若是锐角三角形，，求的取值范围.
17．如图，在四面体ABCD中，是正三角形，是直角三角形，，．

(1)证明：平面平面；
(2)若二面角的正切值为，求四面体与四面体的体积之比．
18．已知椭圆：的离心率为，左､右焦点分别为，，上､下顶点分别为，，且四边形的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线：与椭圆交于P，Q两点，且P，Q关于原点的对称点分别为M，N，若是一个与无关的常数，则当四边形面积最大时，求直线的方程.
19．在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，.作：，当不共线时，记以为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定.
(1)分别根据下列已知条件求；
①，；
②，；
(2)若向量，求证：；
(3)记，，，且满足，，，求的最大值.
答案
1．【正确答案】D
【详解】因为命题“，”为假命题，
所以命题“，”为真命题，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
记，，则，
因为在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以，所以实数可取的最小值是．
故选：D.
2．【正确答案】C
【分析】根据题意，由复数的运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果.
【详解】设，，
对于A，因为，
所以，
且，所以，故A正确；
对于B，因为，，，
则，，
所以，故B正确；
对于C，若，例如，，满足，
但，，即，故C错误；
对于D，因为，
所以，，
所以，故D正确.
故选C.
3．【正确答案】B
【详解】圆,设圆心,圆的半径为，
因为过点与圆相切的两条直线切点分别为，两条切线的夹角为，则，
所以，又因为，所以，所以，
设点Px,y，可得，即得，
设，则点到原点距离，
当时，点到原点距离最小值为.
故选：B.

4．【正确答案】B
【详解】因为且，将代入得：
，，，所以.
由，，可得.
因为，又，所以，
由，可得.
将，代入可得：
.
故选：B.
5．【正确答案】B
【详解】设等边三角形内切圆的半径为，
则，
则正三棱柱的内切球半径，则正三棱柱的高为.
设等边三角形外接圆半径为，则，
所以，设是等边三角形的中心，是的中点，
连接，则，，
是球表面上一点，则
，
，（同向是为，反向时为），
所以，所以的取值范围是.
故选：B
6．【正确答案】B
【详解】因为A，，，四点共面，所以，
则，又，
所以，当且仅当时取“＝”.
故选：B.
7．【正确答案】C
【详解】令，则，
由，
得，
整理得，，
因为存在实数满足等式，
所以，
解得，
则的最大值为，此时，.
故选：C.
8．【正确答案】B
【详解】由题意得，，
由椭圆定义得，故，
∵，，∴，
∴与相似，∴，即，
整理得，故，解得，
由得，，即椭圆的离心率为.
故选：B.
9．【正确答案】BCD
【详解】因为，，
所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支，
所以，故，
所以的轨迹方程为，双曲线的右支，故A错误；
联立，解得（舍去），
所以直线上存在满足题意的点，故B正确；
双曲线的渐近线方程为，
则点到渐近线的距离，
所以满足的点共有0个，故C正确；
因为即左焦点，
而，
因为，所以，
所以的周长为
，
当且仅当三点共线时，等号成立，
所以的周长的取值范围是，故D正确.
故选：BCD.
10．【正确答案】ABD
【详解】对于A：根据三角形的外接圆的唯一性可知：A正确；
对于B：根据抛物线的定义可知：给出焦点和准线即可确定抛物线，故B正确；
对于C：给出两点不能确定椭圆，例如给定长轴顶点，此时椭圆有无数个，故C错误；
对于D：因为中心为坐标原点，若给出一条渐近线和一个焦点，
可以求出a,b,c，且可以确定焦点位置，即可得双曲线方程，可以确定双曲线，故D正确；
故选：ABD.
11．【正确答案】CD
【详解】对于A项，由已知可得，，所以的渐近线方程为，故A项错误；
对于B项，设，则，整理可得.
又，所以，所以有，
由于，所以，解得，所以点的坐标为，故B项错误；
对于C项，如图，，且满足
所以直线的方程为，
联立化简得，
由于，即为双曲线的切线.
由双曲线的光学性质可知，平分，延长与的延长线交于点.
则垂直平分，即点为的中点.
又是的中点，所以，故C项正确；
对于D项，，
当且仅当，即时，等号成立.
所以，四边形面积的最小值为4，故D项正确.
故选：CD.
12．【正确答案】/
【详解】不妨设是椭圆的左焦点，是的右焦点，的焦距为，连接，
则，又，所以，
在中，由余弦定理得，
则，即，所以.
故
13．【正确答案】
【详解】依题意，两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，其数量积为零﹒
可得，即，所以，
由得．当且仅当取等号.
故答案为.
14．【正确答案】4
【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
设，∵平面平面，
∴点到面的距离为点到直线的距离
∴由抛物线的定义可知：，
易知，
∴，,
设是平面的其中一个法向量，则，
令，得，
平面的法向量为，
又，则到平面的距离，
所以的最小值为，
∵点分别为的中点且，，
∴，
所以三棱锥的体积的最小值：．
故4.
15．【正确答案】(1)，2.4h
(2).
【详解】（1）由，解得.
因为，所以中位数在内，设中位数为x，则，得，
即估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数为2.4h.
（2）由题知，平均每天运动时长在，内的频率分别为0.5，0.1，
则应从平均每天运动时长在，内的居民中分别抽出5人，1人.
记时间段内的5人分别为a，b，c，d，e，记时间段内的1人为M，则从这6人中选出2人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共15个，
2人来自不同分组的基本事件，，，，，共5个，
所以这2人来自不同分组的概率为.
16．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
由余弦定理可得.
（2）因为，，则，
由正弦定理可得，
所以，
，
因为为锐角三角形，则，解得，
所以，，则，
故.
即的取值范围是.
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题设得，，从而.
又是直角三角形，所以.
取AC的中点O，连接DO、BO，则DO⊥AC且，
又是正三角形，故.
则中，，又，
所以，故.
而且都在面，故面，
而面，所以平面ACD⊥平面ABC.

（2）设， ，结合（1）结论，
以O为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，易知平面的法向量为，
设，由，可得，得，
设面的法向量为，则，
取，得，所以，
因为二面角的正切值为，则，
又，解得，所以，
所以到底面的距离与到底面的距离之比为，
所以四面体与四面体的体积之比.

18．【正确答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】
（1）由椭圆的性质及已知条件可得a，b，c的关系，从而可求出a，b，c的值，从而可得椭圆C的标准方程；
（2）直线l方程与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，从而可表示出|OP|2+|OQ|2，由OP|2+|OQ|2是一个与m无关的常数，可求出k的值，表示出四边形PQMN面积，求出当四边形PQMN面积最大时m的值，即可求解直线l的方程．
【详解】（1），
，所以，
因为a2＝b2+c2，所以a＝2，，c＝1，
所以椭圆方程为．
（2）
如图，设P（x1，y1），Q（x2，y2），

，
联立，消去y整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，
Δ＝（8km）2﹣4（4m2﹣12）（3+4k2）＞0，即m2＜3+4k2，
所以，. ，

，
因为|OP|2+|OQ|2是一个与m无关的常数，所以32k2﹣24＝0，，，
，，
点O到直线l的距离，
所以，
当且仅当，即m2＝3，
因为m＞0，所以时，取得最大值为，
因为S四边形MNPQ＝4S△POQ，所以S△POQ最大时，S四边形MNPQ最大，
所以或．
19．【正确答案】(1)①5；②0；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）利用给定的定义直接计算即得.
（2）利用给定的定义，结合向量的坐标运算推理即得.
（3）设，并表示出，利用三角形面积公式，辅助角公式分类求解即得.
【详解】（1）因为，，则；
又，，所以.
（2）因为向量，，且向量，
则，于是，
同理，所以.
（3）设，由，得或，
当时，
当时，取到最大值；
当时，
，
当，即时，取得最大值，
所以取得最大值.