2024-2025学年内蒙古自治区赤峰市高二上学期第二次月考 数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年内蒙古自治区赤峰市高二上学期第二次月考 数学检测试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．甲、乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每个人从第2层开始在每一层离开电梯是等可能的，则甲、乙两人离开电梯的楼层数的和为9的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．若椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴长为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为
A．4B．8C．16D．32
5．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（ ）
A．B．C．2D．3
6．已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为（ ）
A．B．6C．D．
7．已知圆C：上存在两个点到点的距离为，则m可能的值为（ ）
A．5B．1C．D．
8．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B．若直线经过第一象限、第二象限、第四象限，则
C．已知双曲线左焦点为，是双曲线上的一点，则PF的最小值是
D．已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，则的最小值是−2
10．如图所示，在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面平面
B．的最小值为
C．若是的中点，则到平面的距离为
D．若直线与所成角的余弦值为，则
11．已知椭圆分别为的左、右焦点，A，B分别为的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为3和1.下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．存在点，使得
C．若，则外接圆的面积为
D．的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，两组数据，其中：2，3，4，5，6；：11，，13，14，12；组数据的方差为 ，若，两组数据的方差相同，试写出一个值 ．
13．点为圆上一点，过作圆的切线，且直线与直线平行，则与之间的距离是 .
14．如图，在直角坐标系xOy中，点是椭圆上位于第一象限内的一点，直线与交于另外一点，过点作轴的垂线，垂足为A，直线交于另外一点，且，则的离心率为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知圆过两点，且圆心在直线上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若过圆心的直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程.
16．已知双曲线的离心率为，焦点F到渐近线的距离为1.
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)直线与双曲线E的左支交于不同两点，求实数k的取值范围.
17．如图，在四棱锥中，底面是菱形，是等边三角形，且平面平面，点为棱的中点.
(1)求证：；
(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值.
18．为培养学生的核心素养，协同发展学科综合能力，促进学生全面发展，某校数学组举行了数学学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式．现有甲、乙两人参加数学学科素养大赛，甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是和．假设两人是否回答出问题，相互之间没有影响；每次回答是否正确，也没有影响．
(1)若乙回答了4个问题，求乙至少有1个回答正确的概率；
(2)若甲、乙两人各回答了3个问题，求甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率；
(3)假设某人连续2次未回答正确，则退出比赛，求甲恰好回答5次被退出比赛的概率．
19．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点是上位于第一象限内的一点，且的周长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与交于另外一点A，直线与交于另外一点.
①若，求直线的方程；
②记的面积分别为，求的最大值.
答案
1．【正确答案】C
【详解】当时， .
当时,.
因为在上单调递增，在上也单调递增.
当时，；
当时，.
所以的取值范围是.
故选：C.
2．【正确答案】C
【详解】将甲乙两人离开电梯的楼层数配对，组成种等可能的结果，用表格表示如下：
记事件“甲乙两人离开电梯的楼层数的和是9”，
则事件A的可能结果有6种，即，
所以事件A的概率为：，
故选：C.
3．【正确答案】D
【详解】由题知，椭圆的半焦距为，
所以，解得.
故选：D
4．【正确答案】C
【分析】
利用椭圆的定义，结合，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，椭圆的短轴长为，离心率为，
所以，，则，所以，
所以的周长为，
故选C．
本题主要考查了椭圆的定义、标准方程，以及简单的几何性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
5．【正确答案】C
【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图，
设，因为，
所以，
，
设异面直线与所成角为，
则，
解得，即.
故选：C
6．【正确答案】C
【详解】直线的方程为，设点关于的对称点为，
则，得，即
点关于轴的对称点为，

由题意可知，如图，点都在光线上，并且利用对称性可知，，，
所以光线经过的路程.
故选：C
7．【正确答案】C
【分析】
根据题意可知以为圆心，以为半径的圆与圆C有两个交点，由两圆相交满足：
，列式求解即可.
【详解】
以为圆心，以为半径的圆：，
圆C：
圆心为，半径，
圆心距，
由题意可得两圆相交，
即，
解得.
故选：C
8．【正确答案】B
【详解】令线段的垂直平分线与的交点为，显然是的中点，而是的中点，
则，而，因此，，
则，令与的半焦距为，
由，得，于是，解得，则，
，所以的渐近线方程为.
故选：B
9．【正确答案】BC
【详解】对于A，当时，直线与直线垂直，A错误；
对于B，直线的横纵截距分别为，依题意，，因此，B正确；
对于C，双曲线实半轴长，半焦距，为左焦点，
当为左顶点时，，C正确；
对于D，点在椭圆外，其长半轴长，点，
而，则，
当且仅当是线段与椭圆的交点时取等号，D错误.
故选：BC
10．【正确答案】ABC
【详解】A. 因为平面，且平面，所以平面平面，故正确；
B.因为，且为定值，所以，故正确；
C. 因为平面平面，且到平面，
所以到平面的距离即为到直线的距离，
又，，解得，故正确；
D.当时，，
则，故错误；
故选：ABC
11．【正确答案】ACD
【详解】A选项，因为点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为3和1，
故有：，解得：，
椭圆的离心率，故A正确；
B选项，若椭圆上存在点，使得，则点在圆上，
又因为方程组无解，故B错误；
C选项，设，则，
若，即，
在中，由余弦定理可得
，
因为，所以，
根据正弦定理可知，，故C正确；
D选项，设，则：
，
令，则，
所以，
当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为，故D正确.
故选：ACD
12．【正确答案】 2 10或15
【详解】组的平均数，
组的平均数，
则组的方差为
，
则组的方差为
，
解得或15.
故2；10或15.
13．【正确答案】45/0.8
【详解】由题意可得圆的圆心，半径为，
则，所以过的切线斜率为，
所以直线的方程为，即，
又直线与直线平行，所以，
则与之间的距离是.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】设Px0,y0，Mx1,y1,则，，
所以，，
因为，所以，所以，即.
又，
所以，即，解得，即椭圆的离心率为.
故答案为.
15．【正确答案】(1)；
(2)或.
【详解】（1）由点，得线段的中点，直线的斜率，
则线段的中垂线方程为，即，
由，解得，即圆心，半径，
所以圆C的标准方程为.
（2）由（1）知，点，
当直线过原点时，直线在轴，轴上的截距相等，此时直线的方程为，
当直线不过原点时，设直线的方程为，则，解得，方程为，
所以直线的方程为或.
16．【正确答案】(1)
(2).
【详解】（1）因为双曲线的离心率，可得，即.
又因为焦点到渐近线的距离为，
根据点到直线距离公式，而，所以，则.
由且，，可得，解得.
所以双曲线的标准方程为.
（2）将直线代入双曲线方程，得到，展开可得，整理得.
因为直线与双曲线左支交于不同两点，所以.
由，解得.
对于，即，解得.
由，（结合），所以，解得.
由，解得，即或.
综合以上条件，取交集得.
则实数k的取值范围为.
17．【正确答案】(1)证明见解析；
(2)．
【详解】（1）如图，取中点，连接，，
因为是中点，所以，
是菱形，则，所以，
又是等边三角形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以；
（2），则和都是等边三角形，
连接，则，，
以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图，
设，则，，
因此有，，，，，
是中点，则，
，，，，
设平面的一个法向量是，则
，取得，
易知平面的一个法向量是，则
，取，则，
，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
18．【正确答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）记“乙至少有1个回答正确”为事件，
所以，
即乙至少有1个回答正确的概率是．
（2）记“甲答对i个问题”为事件，“乙答对i个问题”为事件，则甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个为事件
所以
，
即甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率是．
（3）记“甲答对第i个问题”为事件，则甲恰好回答5次被退出比赛为事件，
所以
，
即甲恰好回答5次被退出比赛的概率是．
19．【正确答案】(1);
(2)①；②
【详解】（1）由题意知.
解得，所以的标准方程为.
（2）①由(1)知，设，
所以，又，
所以，
解得，
所以，又，解得，
又点是上位于第一象限内的一点，所以，
所以，所以直线的方程为，
即；
②设，所以直线的方程为，
由，得，所以，
解得，
所以.
当时，直线的方程为，
由，得，
所以，解得，所以，
所以，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
若轴时，令，解得（负舍），
则P1,22，此时，，
此时，
所以的最大值为.
甲
乙
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7