2024-2025学年内蒙古呼和浩特市高二上册第一次月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年内蒙古呼和浩特市高二上册第一次月考数学检测试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件D．必要不充分条件
2．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
3．关于空间中的角，下列说法中正确的个数是（ ）
①空间中两条直线所成角的取值范围是 ②空间中直线与平面所成角的取值范围是
③空间中二面角的平面角的取值范围是 ④空间中平面与平面所成角的取值范围是
A．1B．2C．3D．4
4．已知三棱锥，点是的中点，点是的重心（三角形三条中线的交点叫三角形的重心）设，，，则向量用基底可表示为（ ）

A．B．
C．D．
5．已知平面的法向量为，若平面外的直线的方向向量为，则可以推断（ ）
A．B．
C．与斜交D．
6．如图，在平行六面体中，，，，则（ ）
A．12B．8C．6D．4
7．如图，已知大小为的二面角棱上有两点A，B，，，若，则AB的长度（ ）
A．22B．40C．D．
8．已知，则下列说法错误的是（ ）
A．若分别是直线的方向向量，则所成角余弦值是
B．若分别是直线l的方向向量与平面的法向量，则l与所成角正弦值是
C．若分别是平面ABC、平面BCD的法向量，则二面角的余弦值是
D．若分别是直线l的方向向量与平面的法向量，则l与所成角余弦值是.
二、多选题（本大题共3小题）
9．直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则直线平面
B．若，则平面平面
C．若，则平面所成锐二面角的大小为
D．若，则直线与平面所成角的大小为
10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．若，则向量，的夹角是锐角
B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
D．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面
11．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．点F到点E的距离为B．点F到直线的距离为
C．点F到平面的距离为D．平面到平面的距离为
三、填空题（本大题共3小题）
12．在空间直角坐标系中，点，2，关于轴的对称点的坐标为
13．已知空间，，，则＝ ．
14．给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算.规定：
（i）为同时与，垂直的向量；
（ii），，三个向量构成右手系（如图1）；
（iii）.
如图2，在长方体中，，.给出下列四个结论：
①；
②；
③；
④.其中，正确结论的序号是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在长方体中（如图），，，点是棱的中点.
(1)求异面直线与所成角的大小；
(2)《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体是否为鳖臑？并说明理由.
16．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形.再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知.并做答.
条件①：；条件②：；条件③：平面平面.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
17．如图，四边形为梯形，，四边形为平行四边形.
(1)取中点，求证：平面平面；
(2)若平面，，，，求：
（i）平面与平面所成角的正弦值；
（ii）点到平面的距离.
18．如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点
(1)求证：平面；
(2)求证：、、、四点共面；
(3)求二面角的余弦值.
19．如图，在长方体中，AD=1，，H，F分别是棱，的中点.
(1)判断直线HF与平面的位置关系，并证明你的结论；
(2)求直线HF与平面ABCD所成角的正弦值；
(3)在线段HF上是否存在一点Q，使得点Q到平面的距离是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
答案
1．【正确答案】D
【详解】若，则或，故充分性不成立，
若，则，故必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：D.
2．【正确答案】B
【分析】根据空间线面位置关系依次判断各选项即可得答案.
【详解】解：对于A，若，，，，，则，故错误；
对于B，，，则，正确；
对于C，，，则或，故错误；
对于D，若，，，则或异面，故错误.
故选：B
3．【正确答案】C
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角范围判断即可.
【详解】对于①：由空间中两条直线所成角的取值范围是，可知①正确；
对于②：由空间中直线与平面所成角的取值范围是，可知②正确；
对于③：空间中二面角的平面角的取值范围是，可知③错误；
对于④：空间中平面与平面所成角的取值范围是，可知④正确；
故选：C
4．【正确答案】B
【详解】记BC的中点为E，连接AE，则，
又，
所以，
由重心性质可知，所以，
所以.
故选：B

5．【正确答案】C
【详解】由与，得，即向量与不垂直，
因此不平行于平面，即直线，直线与平面也不平行，直线与平交，AD错误；
显然向量与不共线，即直线与平面不垂直，与斜交，B错误，C正确.
故选：C
6．【正确答案】B
【详解】故选B.
7．【正确答案】C
【分析】过作且，连接，易得，通过线面垂直的判定定理可得平面，继而得到，由勾股定理即可求出答案.
【详解】解：过作且，连接，则四边形是平行四边形，
因为，所以平行四边形是矩形，因为，即，
而，则是二面角的平面角，即，
因为，即为正三角形，所以，
因为，即，平面，
所以平面，因为平面，所以，
所以在中，，所以，
故选：C
8．【正确答案】C
【分析】根据向量法逐一判断即可.
【详解】对于A：因为直线与直线所成角范围为，所以所成角余弦值为，故A正确；
对于B：因为直线与平面所成角范围为，所以l与所成角正弦值，l与所成角余弦值为，故BD正确；
对于C：因为二面角的平面角所成角范围为，所以二面角的余弦值可能为负值，故C错误；
故选：C
9．【正确答案】BCD
【分析】由，则直线平面或，可判断；根据平面法向量的概念及空间角的求解方法，可判断.
【详解】由，则直线平面或，故错误；
由，则平面平面，故正确；
若，设平面和平面所成角为，且，
则，
所以平面所成锐二面角的大小为，故正确；
设直线与平面所成角为，
则，且，
所以直线与平面所成角的大小为，故正确.
故选.
10．【正确答案】BC
【分析】根据空间向量共面定理即可判断B；根据，得到，即可判断A；根据判断四点共面即可判断C；根据异面直线的平行线即可判断D.
【详解】对于A：若，则，则向量，的夹角可以为0不是锐角,故 A错误；
对于B：根据空间向量共面定理知，空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确.
对于C：因为，且，所以四点共面,故C正确.
对于D：分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量是异面直线的平行线可以共面，故D错误.
故选BC.
11．【正确答案】ABC
【详解】以D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意知，，
，
．
设平面的法向量为，
所以则可得平面的一个法向量为．
点F到点E的距离，故A正确；
点F到直线的距离为，故B正确；
点F到平面的距离，故C正确；
由正方体的性质可知，平面平面，
平面到平面的距离即为点F到平面的距离．故D错误．
故选：ABC．
12．【正确答案】，，
利用空间直角坐标系中点的对称关系直接求解即可
【详解】空间直角坐标系中，点，2，关于轴的对称点坐标为，，．
故，，．
13．【正确答案】
【详解】由，且，，则，解得，
故.
故答案为.
14．【正确答案】①③④
【分析】
由新定义逐一核对四个选项得答案．
【详解】
解：，且分别与垂直，，故①正确；
由题意，，，故②错误；
，，且与共线同向，
，与共线同向，，与共线同向，
，且与共线同向，故③正确；
，故④成立．
故①③④．
15．【正确答案】(1)
(2)是，理由见解析
【详解】（1）解：作交于，联结，因为是棱的中点.
所以为的中点，
则为异面直线与所成角，
因为，所以，
因为为正三角形，即，
异面直线与所成角为.
（2）解：是棱上的中点，则､均为等腰直角三角形，
故，所以为直角三角形，
由平面，面，所以平面平面，又，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，
所以为直角三角形，
因为平面，平面，所以，，所以､均为直角三角形，
故四面体四个面均为直角三角形为鳖臑.
16．【正确答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）若选择条件①②，则不能解决丙个问题，若选择条件②③，则可以解决第（1）问，不能解决（2）问，若选择条件①③，则可以解决两个问题.
因为平面平面，平面平面所以平面，又平面，所以.
因为，所以，则，
又且两直线在平面内，所以平面.
（2）由（1）知，选择条件①③，则可以解决两个问题.
以为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
且，则，
所以
设平面的法向量为，则由
，令，则，取.
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）
如图，在射线上取点，使，连接.
由题设，得，所以四边形为平行四边形.
所以且.
又四边形为平行四边形，
所以且.
所以且..
所以四边形为平行四边形,
所以.
因为平面平面
所以平面.
又，则，且平面，平面，
所以平面，且，平面，
所以平面平面.
（2）
（i）因为平面，平面，
所以.又，
所以，，两两相互垂直.
如图建立空间直角坐标系,
则.
所以,，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，于是.
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，于是.
设平面与平面所成角为，则
，
所以
所以平面与平面所成角的正弦值为.
（ii）因为DC=1,0,0，平面的法向量为，
则点到平面的距离为.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）
连接，因为分别为的中点，所以
在三棱柱中，.所以四点共面.
因为分别为的中点，所以.
所以四边形为平行四边形.
所以.因为平面平面，
所以平面.
（2）
连接，因为为直三棱柱，且分别为的中点，
所以，又，所以，所以、、、四点共面.
（3）由题设平面，所以.
因为，
所以两两垂直.如图建立空间直角坐标系.
所以.
.
平面的一个法向量是，设平面的法向量为，
则即
令，则.于是，
设二面角的平面角为，
则，由图可知为锐角，所以.
19．【正确答案】(1)面，证明见解析；
(2)；
(3)不存在，理由见解析.
【详解】（1）若为的交点，连接，又H，F分别是棱，的中点，
由长方体的结构特征知：且，故为平行四边形，
所以，面，面，则面.
（2）由（1）知： HF与面ABCD所成角，即为与面ABCD所成角，
长方体中，到面ABCD的距离为，，
所以与面ABCD所成角正弦值为，即HF与面ABCD所成角的正弦值为.
（3）由（1）知：面，即HF上任意一点到面的距离都相等，
所以只需求到面的距离，而到面的距离为，
所以到面的距离，故HF上不存在Q，使得Q到平面的距离是.