2024-2025学年河南省南阳市高二上学期第二次月考考数学质量检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年河南省南阳市高二上学期第二次月考考数学质量检测试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知数列是等差数列，其中，则（ ）
A．4050B．4048C．2025D．2024
2．已知直线，直线，若，则与的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．若双曲线的离心率，且经过点，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
4．设分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且满足、、成等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知圆，圆相交于P，Q两点，其中，分别为圆和圆的圆心.则四边形的面积为（ ）
A．3B．4C．6D．
6．已知数列是首项大于的等比数列，记的公比为，前项和为. 设命题甲：；命题乙：对任意的，恒成立，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
7．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，设为的中点，为坐标原点.若，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知数列,均为正项等比数列，,分别为数列,的前项积，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知双曲线的右焦点为，直线是的一条渐近线，是右支上的一点，为坐标原点，则（ ）
A．到的距离为B．的渐近线方程为
C．的离心率为D．
10．若等差数列的公差为，首项为，其前项和为，，其中，，，，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．中的最大项为D．中的不同数值有个
11．在平面几何中，有这样一个著名的命题：“如图所示，设是圆中弦的中点，过点做两条弦，连结交于两点，则是线段的中点.” 由于题目的的图形像一只蝴蝶，因此后人给它取名为“蝴蝶定理”.这一命题最早出现在1815年英国伦敦出版的著名数学科普刊物《男士日记》上，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现于《美国数学月刊》1944年2月号，这是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一. 而且后人在对此定理的研究中发现，将“蝴蝶定理”中的圆改成椭圆、双曲线、抛物线，这个命题的结论仍然成立. 请在椭圆中直接运用蝴蝶定理解决如下问题：如图，已知椭圆的右焦点为，左右顶点为. 过做直线与交于，连接，过直线轴与交于，交直线于，交直线于，设直线的斜率为，直线的斜率为，直线、交于点，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．在定直线上
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知数列满足：，，则 ．
13．已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是 .
14．设为双曲线：在第一象限上的一动点，，. 过做的平行线交于点，过做的平行线交于点，若直线的斜率，则双曲线的离心率取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知三点，记的外接圆为.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于两点，求的面积.
16．如图，四棱锥的底面是正方形，且，.四棱锥的体积为.

(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
17．已知数列的前项和为，其中，；数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和；
18．已知动点在曲线上运动，为坐标原点，为线段中点，记的轨迹为曲线.
(1)求的轨迹方程.
(2)已知及曲线上的两点和，直线和直线的斜率分别为和，且，求证：直线过定点.
19．已知椭圆：过，，，中的三点，是坐标原点.
(1)求椭圆方程的标准方程.
(2)设是椭圆上的两个动点，若，求的取值范围.
(3)设点是上的动点，是否存在定圆，使得当过点能作圆的两条切线，时（其中，分别是两切线与的另一交点），总满足？若存在，写出定圆的方程，若不存在，请说明理由.
答案
1．【正确答案】C
【详解】因为数列是等差数列，且，
所以.
故选：C.
2．【正确答案】C
【详解】由，所以，则，所以可得，
根据两平行直线间的距离公式可得与的距离为.
故选：C.
3．【正确答案】A
【详解】因为离心率，所以，即，
所以，所以双曲线为等轴双曲线，
所以设双曲线方程为，
因为双曲线经过点 ，
所以，得，所以双曲线方程为，
故选：A.
4．【正确答案】D
【详解】由题意可得：，
，
，
故选：D
5．【正确答案】A
【详解】圆的圆心为，半径；
圆的圆心为，
所以，
由、两式相减并化简得，
即直线的方程为，
到直线的距离为，
所以，
所以四边形的面积为.
故选：A
6．【正确答案】A
【详解】．
当时，，可知．
所以“”是“对任意的，”的充分条件．
又当时，．
若n为偶数，则；
若n为奇数，则．所以，当时，对任意的，恒成立．
综上，“”是“对任意的，恒成立”的充分不必要条件，
故选：A．
7．【正确答案】B
【详解】易知抛物线的焦点F1,0，
由题意可知直线斜率显然不为0，可设直线的方程为，Ax1,y1,Bx2,y2，
联立，整理可得，
所以显然成立，
又为的中点，可得，即;
所以，整理可得，
解得或（舍）；
因此.
故选：B
8．【正确答案】A
【详解】数列均为正项等比数列，设公比分别为；,分别为数列,的前项积，
，
,
则.
故选：A
9．【正确答案】ACD
【详解】因为双曲线的渐近线为，又是的一条渐近线，所以，因为，所以，所以，所以双曲线的方程为.
对于A，由双曲线知右焦点，，
所以到的距离为，故A正确；
对于B，的渐近线方程为，即，故B错误；
对于C，的离心率为，故C正确；
对于D，当点是双曲线的右支与轴的交点时，即时，，故D正确.
故选：ACD.
10．【正确答案】ACD
【详解】对于选项A：因为，可知.
则，可得，即，故A正确；
对于选项B：因为，可知等差数列为递减数列，
且，所以，故B错误；
对于选项C：可知，
根据的符号可知：，
当时，均为正数，且最大，最小，可知中的最大项为，且为正数；
当时，；
综上所述：中的最大项为，故C正确；
对于选项D：因为，
同理可得：，
可知当时，中的不同数值有10个；
当时，由选项C可知每个值均不同，共有81个；
综上所述：中的不同数值有个，故D正确；
故选：ACD.
11．【正确答案】BD
【详解】对于A，，，联立，
所以，所以，故A错误；
对于B，为中点，，根据蝴蝶定理可知，为中点，
所以，又因为，所以，故B正确；
对于C，由题知，，
设所在直线为，联立，得，
设，则，，
所以，
因为，
所以不为定值，
，故C错误；
对于D，设，则，联立直线、方程，
则，所以，所以在定直线上，故D正确，
故选：BD.
12．【正确答案】
【详解】由题意得：，，，，
所以数列是周期为4的周期数列，
所以.
故2.
13．【正确答案】6
【详解】
抛物线准线方程为,
过点作抛物线准线的垂线，垂足为，
则，
当过圆心作抛物线准线的垂线时，三点共线时，且在线段上时，
最小，且.
故6.
14．【正确答案】
【详解】
设，，
过做的平行线方程为，
则，解得，
则，
同理，
因为，所以，即，
所以，即，
所以，
即，
又因为，所以，
所以双曲线的离心率取值范围为，
故答案为.
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）设的一般方程为，
由题意可知，
解得，
所以，
故的标准方程为.
（2）由（1）可知，，半径.
则圆心到直线的距离为，
所以，
故的面积为.
.
16．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取的中点，连接，因为，，
所以，
又四棱锥的底面是正方形，所以，设到平面的距离为，
则，所以，
所以，即平面，又平面，所以平面平面；

（2）取的中点，连接，则，即，
如图建立空间直角坐标系，则P0,0,1，，，
所以，，
设平面的法向量为，则，取，
又平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1），
时，有，
时有，
，
，
又，也符合上式，
故数列是首项为1，公比为2的等比数列，
.
（2），
时，，
时有，
，又，也符合上式，
所以，
当时，当时，
当时，，
当时，.
故.
18．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）设Px0,y0，，是的中点，
，，又，
代入得．故点的轨迹方程是．
（2）由题意点坐标适合，即点A在C上，
由题意可知BD斜率不会为0，设直线：，
联立，消去并整理得，
需满足，即，
设，，则，，
因为，，
所以，
所以，将，代入得，
即，
所以直线：，即，
所以直线BD经过定点.
19．【正确答案】(1)
(2)
(3)，半径为
【详解】（1）由椭圆的对称性知，，必在椭圆上，
又因为椭圆焦点在轴上，则不在椭圆上，有在椭圆上，
因此，解得，
所以椭圆C的方程为.
（2）由可知不妨设，，
，即，
所以，易知，解得；
所以
由对勾函数性质得，当=1时最小，，
当或时，最大，，
即的取值范围为
（3）由（2）得原点到直线的距离为，
即直线恒与相切
故猜想存在这样的圆，半径为.
如下图所示：

当直线与相切时，圆心到直线的距离，可得
设，
则；
联立方程，可得，
又；
所以，即，
由椭圆的对称性，延长交椭圆于另一点，则，且，
根据轴对称性可得，且直线与也相切，即即为，符合题意；
当或斜率不存在时，此时，，显然满足题意，
故存在这样的圆，半径为.