人教版数学七下同步单元讲练测二元一次方程组01讲核心（2份，原卷版+解析版）

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考点 1 二元一次方程组的相关概念1．二元一次方程方程中含有 两个 未知数，并且未知数的次数都是 1 ，像这样的方程叫做二元一次方程。例如：2x+3y=9，5a-2b=0；2． 二元一次方程组把具有 两个 未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组． 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数．例如，二元一次方程组；3． 二元一次方程的解使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的 值 ，叫做二元一次方程的解． 二元一次方程的解通常表示为 的形式；4． 二元一次方程的整数解是二元一次方程的解，且都是整数，这样的解就是二元一次方程的整数解；5．二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的 公共 解，叫做二元一次方程组的解． 二元一次方程组的解通常表示为 的形式；考点2 二元一次方程的正整数解1．枚举法给其中的一个未知数（一般选取系数较大的未知数）依次赋值1、2、3、4……，代入二元一次方程，得到关于另一个未知数的一元一次方程，解这个一元一次方程，就得到另一个未知数的值，如果不是正整数，就舍去，如果是正整数，此时两个未知数的值就是二元一次方程组的正整数解；2．数量（1）没有正整数解。比如：2x+3y=6；（2）有唯一的一组正整数解。比如：2x+3y=5；（3）有多组正整数解。比如：x+2y=15; （4）有无数组正整数解。比如：3x-2y=1考点3 二元一次方程组的解法1．解二元一次方程组的思想将未知数的个数 由多化少 ，逐一解决的思路叫做消元思想； 2．代入消元（1）定义把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做 代入消元法 ，简称代入法；（2）一般步骤3．加减消元法（1）定义利用等式的性质，通过将两个方程的两边分别相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程求解二元一次方程组的方法浪就是 加减消元法 ，简称加减法；（2）一般步骤考点4 用二元一次方程组解实际问题1．常见的等量关系（1）和差倍分问题增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量．（2）产品配套问题解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例．（3）工程问题工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量．（4）利润问题商品利润＝商品售价－商品进价， ． （5）行程问题速度×时间=路程．顺水（风）速度=静水（风）速度+水（风）流速度．逆水（风）速度=静水（水）速度-水（风）流速度．（6）数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为m，十位数字为n，则这个两位数可以表示为10n+m．（7）方案问题 在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如人员的分配、旅游购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案．为后期学习函数应用打下基础。（8）古代问题 在解决问题时，这样的题并不难，但首先要能读懂题意，明确其中的等量关系，从而建立方程组。（9） 开放性问题 有条件的开放性和结论的开放型，解此类题要求学生思维更具有发散性，正确读懂题意是解题的关键。2． 列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等．3． 列二元一次方程组解应用题的一般步骤：设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案．考点5 三元一次方程（组）1． 定义含有 三 个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 等都是三元一次方程组．2． 三元一次方程组的解法解三元一次方程组的基本思想仍是 消元 ，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是：（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；（5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．3．三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤：（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；（2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系；（3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；（4）解这个方程组，求出未知数的值；（5）写出答案(包括单位名称)．二元一次方程及二元一次方程的解1．二元一次方程2．二元一次方程的一般形式3．二元一次方程的解（1）二元一次方程的每一个解，都是一对数值，代入方程，左右两边相等；（2）逢解必代入。把解代入方程可以求出含字母参数的字母的值；（3）常用枚举法求二元一次方程的正整数解；【例题】1. 如果是关于x和y的二元一次方程的解，那么m的值是（　　）A. B. 4 C. D. 2【答案】A【解析】【分析】将方程的解代入方程得到关于m的方程，从而可求得m的值．【详解】解：把代入方程得：，解得：，故选A．【点睛】本题考查二元一次方程，解题关键在于熟练掌握计算法则．2. 在“双减”政策下，王老师把班级里43名学生分成若干小组，每组只能是4人或5人，则分组方案有（   ）A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种【答案】A【解析】【分析】设可以分成x组4人组，y组5人组，根据各组的人数之和为43人，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为自然数，即可得出共有2种分组方案．【详解】解：设可以分成x组4人组，y组5人组，依题意得：，∴．又∵x，y均为自然数，∴或，∴共有2种分组方案．故选：A．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．【练经典】3. 下列方程为二元一次方程的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程逐项分析即可求解．【详解】解：A. ，是二元一次方程，故该选项正确，符合题意；B. ，是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；C. ，次数为2，不是二元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；D. ，次数为2，不是二元一次方程，故该选项不正确，不符合题意．故选A．【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．4. 已知是二元一次方程的一个解，则a的值为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】A【解析】【分析】根据二元一次方程解的定义把代入到方程中得到关于a的方程，解方程即可．【详解】解：∵是二元一次方程的一个解，∴，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．5. 嘉琪购买铅笔和钢笔两种笔共用去18元，已知钢笔4元/个，铅笔2元/个，有（ ）种购买方案．A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C【解析】【分析】利用二元一次方程的解法进而分别代入正整数求出即可．【详解】解：设购买钢笔x个，铅笔y个，由题意可得：4x+2y=18，化简得：2x+y=9，当x=1时，y=7，当x=2时，y=5，当x=3时，y=3，当x=4时，y=1，故符合题意的有4种．故选：C．【点睛】此题主要考查了二元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．易错点：忽略系数不能为零导致错误6. 若是关于，的二元一次方程，则_________，_________．【答案】 ①. ②. 【解析】【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．据此解答即可．【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程，∴且，解得，n=4．故答案为：，．【点睛】此题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．二元一次方程组及二元一次方程组的解1．二元一次方程组（1）两个一次方程合起来共有两个未知数；（2）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思2．二元一次方程组的一般形式（其中，，，不同时为零）3．二元一次方程组的解的情况（1）当时，方程组有无数组解；（2）当时，方程组没有解；（3）当时，方程组有唯一的一组解；4．两个未知数与所选字母无关方程组的解是，方程组的解也是，【例题】7. 已知方程组的解满足，则k的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由得，然后代入求解即可．【详解】由得，∴将代入，得，，整理得∴，解得∴将代入，得故选：D．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．8. 下列方程组中，有无数组解的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别求解每一个选项的方程组的解，即可得出答案．【详解】解：A、解得：，方程组有唯一一组解，故此选项不符合题意；B、解得方程组无解，故此选项不符合题意；C、，①×2②，得0x0y=0，则x、y可取任何值，所以方程组有无数组解，故此选项符合题意；D、解得：，方程组有唯一一组解，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，注意二元一次方程组的解的三种情况：①方程组有唯一一组解，②方程组有无数组解，③方程组无解．9. 已知关于和的方程组的解是，则另一关于、的方程组的解是______．【答案】【解析】【分析】由题意可得 即可求方程组的解．【详解】解：方程组 的解是解得故答案为：【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法，用整体思想解题是关键．【练经典】10. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由两个方程组成，且含有两个未知数，含未知数的项的最高次数是1，这样的方程组是二元一次方程组，根据定义逐一判断即可.【详解】解：A．含有3个未知数，不是二元一次方程组，故A不符合题意；B．是二元一次方程组，故B符合题意；C．含有未知数的项的最高次数不是1，不是二元一次方程组，故C不符合题意；D．含有未知数的项的最高次数不是1，不是二元一次方程组，故D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，掌握“根据二元一次方程组的定义识别二元一次方程组”是解本题的关键.11. 若方程组无解，则a的值为________【答案】-6【解析】【分析】根据加减消元法得出，然后根据方程组无解，得到a+6=0，求出即可．【详解】解∶，①×3+②，得，∵方程组无解，∴a+6=0，∴a=-6．故答案为：-6．【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程等知识点的应用，关键是根据题意得出一个关于a的方程（a＋6＝0），题目比较典型，有一点难度，是一道容易出错的题目．12. 已知关于和的方程组的解是，则另一关于、的方程组的解是______．【答案】【解析】【分析】由题意可得，即可求方程组的解．【详解】解：∵方程组的解是，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法，用整体思想解题是关键．【练易错】易错点：对方程组的解理解不清导致错误13. 方程组的解为，则被遮盖的两个数分别为（　　）A. 5 和1 B. 1和3 C. 2和3 D. 2和4【答案】A【解析】【分析】将，代入方程，可得的值，将的值代入即可求解．【详解】解：依题意，将，代入方程，得，将代入得，∴被遮盖的两个数分别为和1，故选A．【点睛】本题主要考查二元一次方程组解的定义，熟练掌握概念是解题的关键．消元法1． 定义消元法是指将许多关系式中的若干个元素通过有限次地变换，消去其中的某些元素，从而使问题获得解决的一种解题方法。2．分类（1）消元法主要有代入消元法、加减消元法、整体消元法、换元消元法、构造消元法、因式分解消元法、常数消元法、利用比例性质消元法等。（2）最常用的为代入消元法和加减消元法3．代入消元法(1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；(3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法．如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法．整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率．4．加减消元法（1）在所解的方程组中的两个方程，如果某个未知数的系数互为相反数,可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程的两边相减，消去这个未知数。（2）如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数)，求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数)，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数)，再加减消元．。（3）对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母，去括号,合并同类项等)，通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,常数项在方程的右边的形式，再作如上加减消元的考虑。5．代入法与加减法的优选（1）当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便。（2）如果所给方程组或所列方程组较为复杂，不易观察，就先变形（去分母、去括号、移项、合并等），再判断用哪种方法消元好。【例题】14. 已知方程组下列解法中比较简便的是（ ）A. 利用①，用含x的式子表示y，再代入② B. 利用①，用含y的式子表示x，再代入②C. 利用②，用含x的式子表示y，再代入① D. 利用②，用含y的式子表示x，再代入①【答案】D【解析】【分析】将②变形代入①，用代入消元法解答；【详解】此方程组适合用代入消元法，而方程②中的x系数为1，所以用y表示x比较容易，然后再代入①即可解方程组，故选：D．【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，关键是熟练根据二元一次方程的特点确定恰当解法；观察方程组可知，此题适合使用代入消元法来解，而代入消元法通常要利用系数简单的方程来变形；两个方程中第二个方程的x的系数是1，所以利用第二个方程来变形比较简便．15. 若是关于，的方程组的一个解，则的值为 （ ）A. 5 B. －5 C. 3 D. 9【答案】B【解析】【分析】把代入得到新方程，求解二元一次方程组，解出，的值，即可求解．【详解】∵是方程组的解∴令∴得，由得，∴∴把代入，得，解得：∴．故选：B．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解二元一次方程组和二元一次方程组的解．16. 对x，y定义一种新运算“※”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，．则的值是______．【答案】9【解析】【分析】根据题意联立二元一次方程组，解出m，n的值，再代入运算中即可求解．【详解】解：由题意得：，得：，把代入得：，∴则，故答案为：9．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．17. 解下列方程组：（1）（2）【答案】（1）； （2）．【解析】【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可；（2）先将式子变形成整式方程，再利用加减消元法解方程组即可．【小问1详解】解：令②-①得：，解得：，将代入②可得：，∴方程组的解为：．【小问2详解】解：将方程组变形得：，令得：，解得：，将代入④可得：，∴方程组的解为：．【点睛】本题考查解方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法．【练经典】18. 用代入消元法解方程组，将①代入②可得（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据代入消元法的定义，把①代入②就是把②中的y换成用x表示，即可求解.【详解】解：把①代入②得：，即，故选：A.【点睛】本题主要考查了代入消元法，解题的关键在于能够熟练掌握代入消元法的定义.19. 解方程组（1）（2）【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用加减消元法求解即可；（2）先整理化简，然后利用加减消元法求解即可．【小问1详解】解：①+②，得，解得，将代入②中，得解得，∴原方程组的解为；【小问2详解】解：原方程组可化为由，得解得将代入①中，解得∴原方程组的解为【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．【练易错】易错点：用减法消元时因不变号而致错20. 用加减消元法解方程组【答案】【解析】【分析】利用加减消元法求解即可．【详解】解： ①②得，，将代入②中得，，方程组的解为．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．解三元一次方程组三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程组【例题】21. 已知代数式，当时，其值为4；当时，其值为8；当时，其值为25；则当时，其值为（ ）A. 4 B. 8 C. 62 D. 52【答案】D【解析】【分析】根据已知条件可知，由此解方程组求出a、b、c的值即可得到答案．【详解】解：由题意得用①+②得：④，用①×2+③得：⑤，用⑤－④得：，把代入④得：，解得，把，代入①得：，解得，∴当时，，故选D．【点睛】本题主要考查了代数式求值，解三元一次方程，正确建立三元一次方程组求出a、b、c的值是解题的关键．22. 解方程组：．【答案】【解析】详解】，①-③得：-x+2y=8④，④+②得：y=9，把y=9代入②得：x=10，把x=10，y=9代入①得：z=7，∴．【练经典】23. 解三元一次方程组，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（ ）A. ① +③ ，① ×2﹣② B. ① +③ ，③ ×2+② C. ②﹣① ，②﹣③ D. ①﹣② ，① ×2﹣③【答案】C【解析】【分析】注意到方程组z前面的系数都为1，所以直接相减消去【详解】得：得：方程组变形为，刚好消去z故选：C【点睛】本题考查对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键．24. 解方程组【答案】【解析】【分析】先用加减消元法消去z，变为关于x、y的二元一次方程组，解三元一次方程组即可．【详解】解：，②①，得：，③②，得：，解方程组，得：，将代入①，得：，解得：，∴原方程组的解为：．【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用消元法把三元化为二元，再解二元一次方程组．【练易错】易错点：消元混乱导致错误25. 解方程组：【答案】【解析】【分析】第一个与第三个方程相加解出x，第一个与第二个方程相加列出关于的方程组，再将x代入求出y，进而求出z的值，即可得到方程组的解．【详解】解：得：得： ④把代入④得：把，代入①得：所以原方程组的解是：【点睛】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：加减消元法与代入消元法．用二元一次方程组和三元一次方程组解应用题1．未知量表示方法（1）设“元”表示主要的未知量；（2）利用“数量关系”表示关联的未知量，即用所设的“元”的代数式的表达式表示关联的未知量；2．直择法直择法就是直接把文字翻译成数学符号；3．表格整理法针对多数据的应用题，宜采用表格来整理数据，利用表格数据横向、竖向寻找关系；【例题】26. 天虹商场现销售某品牌运动套装，上衣和裤子一套售价500元，若将上衣价格下调，将裤子价格上调，则这样一套运动套装的售价提高，设上衣和裤子在调价前单价分别为x元和y元，则可列方程组为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据“上衣和裤子一套售价500元．若将上衣价格下调，将裤子价格上调，则这样一套运动套装的售价提高”列方程组即可．【详解】解：根据题意可列方程组为，故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程组．27. 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2；交换十位上的数字与个位上的数字后得到的两位数比原数小18．设十位上的数字为x，个位上的数字为y，列方程组为（　　）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据十位上的数字比个位上的数字大2，列方程，交换十位上的数字与个位上的数字后得到的两位数比原数小18，列方程，即可解答．【详解】解：设十位上数字为x，个位上的数字为y，∵十位上的数字比个位上的数字大2，∴；∵交换十位上的数字与个位上的数字后得到的两位数比原数小18．∴；故可列方程组：，故选：A【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出正确的方程组．28. 甲、乙两人相距300米，若两人同时相向而行，则需3分钟相遇；如果两人同时同向而行，那么半小时后甲追上乙，则甲、乙两人的速度是（ ）A. 55米/分，40米/分 B. 55米/分，45米/分C. 50米/分，45米/分 D. 50米/分，45米/分【答案】B【解析】【分析】设甲、乙两人的速度分别是x米/分，y米/分，根据“两人同时相向而行，则需3分钟相遇；如果两人同时同向而行，那么半小时后甲追上乙”列出二元一次方程组，解方程组可得答案．【详解】解：设甲、乙两人的速度分别是x米/分，y米/分，由题意得：，解得：，∴甲、乙两人的速度分别是55米/分，45米/分，故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，列出二元一次方程组是解题的关键．29. 《九章算术》中记载了一个问题，“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有___________人，该物品价值___________元．【答案】 ①. ②. 【解析】【分析】设有人，物品价值为元，根据题意列出二元一次方程组进行求解即可．【详解】解：设有人，物品价值为元，由题意得：，解得：；答：有人，物品价值元；故答案为：；．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．根据题意正确的列出方程组是解题的关键．30. 如图所示为两个形状、大小一样的小长方形拼接而成的图形．已知．则小长方形的面积为_______．【答案】4【解析】【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据图形列出方程组进行计算，再利用面积公式进行计算即可．【详解】设小长方形的长为x，宽为y，依题意得： 解得： ∴，∴小长方形的面积为4．故答案为：4．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．根据题意正确的列出方程组是解题的关键．31. 某礼品店购进一批高端茶叶，如图1，是出售的精品套装，已知其外包装的长方体箱子宽与高相等，里面装满两排圆柱体茶叶罐．（1）求箱子的空间利用率(茶叶罐体积与箱子容积的比值，结果精确到1%)．（2）将箱子打开后如图2所示，阴影为接口部分，用来折叠后粘贴，已知箱子是用长80cm，宽68cm 的长方形纸板制作而成，若箱子长是宽的2.5倍，接口的宽度均相等，则箱子的容积是多少？（3）在(2)的前提下，若单罐装茶叶的进价是 200 元，按24%的利润率进行单罐销 售；精品套装的进价为每罐 200 元计算整箱价格，按20%的利润率整箱出售，若礼品店单罐装与精品套装都有购进且这批茶叶售完共盈利3840 元，求这批茶叶进货方案．【答案】（1）； （2）cm3； （3）进货方案有三种：单罐装茶叶罐，精品套装箱；单罐装茶叶罐，精品套装箱；单罐装茶叶罐，精品套装箱．【解析】【分析】（1）设长方体的长，宽，高为，，，圆柱体的半径为；根据宽与高相等，2个圆柱体的直径等于长方体的宽，得到的等式；计算出一共能放几个圆柱体，然后计算长方体的体积，即可；（2）由（1）得，设出长方体的长、宽、高和接口的宽为；根据展开图，列出方程组，解出方程，再根据正方体的体积计算公式，即可；（3）由（2）得，长方体的长、宽、高，由（1）得，每箱茶罐是数量为，设礼品店购进单罐装茶叶罐，精品套装箱，得出方程，解出方程，即可．【小问1详解】解：设长方体的长，宽，高为，，，圆柱体的半径为∴，∴∴一排能装的圆柱体的个数为：∴一盒能装的茶罐数为：∵长方体的体积为：；一个圆柱体的体积为：∴空间利用率为：．【小问2详解】设长方体的长，宽，高为cm，cm，cm和接口的宽为cm∴，解得∴∴长方体的体积为：(cm3)．【小问3详解】由（2）得，，，由（1）得，每箱茶罐是数量为：设礼品店购进单罐装茶叶罐，精品套装箱∴∴∴∵，为正整数∴或或∴综上所述，三种情况均满足利润为元答：进货方案有三种：单罐装茶叶罐，精品套装箱；单罐装茶叶罐，精品套装箱；单罐装茶叶罐，精品套装箱．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是掌握圆柱体的体积，长方体的体积和解二元一次方程组．【练经典】32. “今有人盗库绢，不知所失几何．但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹，问人、绢各几何？(选自《孙子算经》)”．大意为：有盗贼窃去库存的绸缎，不知究竟窃去多少．有人在草丛中听到这帮盗贼分赃的情况．如果每个盗贼分得6匹，就多出6匹；如果每个盗贼分得7匹，就缺少7匹．盗贼有几人？失窃的绸缎有几匹？设盗贼有人，失窃的绸缎有匹，根据题意可列方程组为（　　）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设盗贼有人，失窃的绸缎有匹，根据“每个盗贼分得6匹，就多出6匹；如果每个盗贼分得7匹，就缺少7匹”列出二元一次方程组即可求解．【详解】解：设盗贼有人，失窃的绸缎有匹，依题意，得，故选：A．【点睛】本题考查了列二元一次方程组，理解题意列出方程组是解题的关键．33. 盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶与玩偶组合成一批盲盒，一个盲盒搭配个玩偶和个玩偶，已知每米布料可做个玩偶或个玩偶，现计划用米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（　　）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】这个是“配套问题”，根据题意可知用米布料做玩偶可以做个，用米布料做玩偶可以做，一个盲盒中搭配个玩偶和个玩偶，由此即可列出等量关系求解．【详解】解：根据题意得，共有米布料，用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，∴，∵每米布料可做个玩偶或个玩偶，∴玩偶有个，玩偶有个，∵一个盲盒搭配个玩偶和个玩偶，∴，即，故选：．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的运用，理清题意，列出数量关系是解题的关键．34. 一个有的余水量的圆柱形蓄水池有5个进出水口，每个进出水口匀速进水或出水；每天早晨6点，水池开始进水或出水，如果开放2个进水口和3个出水口，8小时将水池注满，如果开放3个进水口和2个出水口，2小时将水池注满．随着天气转冷，居民的用水量减少，每天早晨6点时，水池的余水量达到了40%，若只开2个进水口和1个出水口，那么从早晨6点开始经过_______小时将水池注满．【答案】##【解析】【分析】根据题意设进水口每小时进水量为x，出水口每小时出水量为y，总水量为s，可列出二元一次方程组，解出x，y，再设注满水需要t小时，列出一元一次方程，即可求出所需时间．【详解】解：设：进水口每小时进水量为x，出水口每小时出水量为y，总水量为s，解得，设：注满水需要t小时，解得，∴经过小时将水池注满．故答案为：．【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次方程的应用，根据题目意思，设出未知数，列出方程是解答本题的关键．35. 某纪念品店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共50个，花去1600元，这两种吉祥物的进价、售价如表：（1）求冰墩墩、雪容融各进了多少个？（2）这50个吉祥物玩具很快售完，所得利润再次用于购进冰墩墩与雪容融（每种至少一个），且恰好用完.那么该纪念品店再次购进冰墩墩与雪容融各多少个？【答案】（1）20个，30个 （2）再次购进冰墩墩6个，雪容融13个或冰墩墩12个，雪容融6个【解析】【分析】（1）设冰墩墩和雪容融分别进了x个和y个，根据题意列出二元一次方程组求解即可；（2）先计算出所得利润，然后列出二元一次方程求出整数解即可．【小问1详解】解：设冰墩墩和雪容融分别进了x个和y个，有题意得解得答：冰墩墩和雪容融分别进了20和30个；【小问2详解】由表格得，设再次购进冰墩墩和雪容融分别为a个和b个，∴35a+30b=600∴∵a，b为正整数 ∴可得，∴再次购进冰墩墩6个，雪容融13个或冰墩墩12个，雪容融6个．【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程（组）是解题关键．【练易错】易错点：数量关系找不全导致错误36. 小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．（1）求x、y的值；（2）如果在商场购买甲3件，乙2件，丙1件共需315元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需285元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？【答案】（1）x的值为800，y的值为3 （2）购买一件甲、一件乙、一件丙共需150元【解析】【分析】（1）通过理解题意可知此题存在两个等量关系，即小丽的基本工资+提成=1400元，小华的基本工资+提成=1250元，列方程组求解即可；（2）理解题意可知，计算出甲、乙、丙各购买4件共多少钱，即可求解．【小问1详解】解：设营业员的基本工资为x元，买一件的奖励为y元．由题意得，解得，即x的值为800，y的值为3；【小问2详解】解：设一件甲为x元，一件乙为y元，一件丙为z元．则可列方程组：，将两等式相加得4x+4y+4z=600，则x+y+z=150，答：购买一件甲、一件乙、一件丙共需150元．【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．二元一次方程组典型问题1．错解问题（1）错解的问题也是二元一次方程组中常见的考察题型。一般这样的题目是，给出的一组方程组的两个解，其中一个解是错误的，求题目中的未知字母的值。（2）错解代入看错的方程，正解代入没看错的方程，再组合求出字母参数即可。2．同解问题（1）即指2个二元一次方程组的解相同，也就是两个二元一次方程(组)中方程的解相同。（2）将两个二元一次方程组中不含字母参数的两个方程组成新的方程组，求出未知数的值，再将未知数的值代入含有字母参数的方程组成的方程组中求出字母参数的值。3．整数解问题（1）二元一次方程组的解为整数，求其中字母参数的值；（2）通常把方程用消元法解出来，再去考虑解为整数；4．参数问题（1）二元一次方程组中除未知数以外，还含有其它的字母参数，并给出方程的解或解满足的条件来求参数；（2）已知某一对数值是一个含有参数的二元一次方程组的解时，可以把他们代入方程组，进而构造出关于参数的一个新的方程组，通过解这个新的方程组求得参数的值。【例题】37. 已知关于x，y的方程组的解和的解相同，则（a+b）2007的值为（ ）A. -2007 B. -1 C. 2007 D. 1【答案】D【解析】【分析】根据题意求得方程组的解，继而代入，求得的值，代入代数式即可求解．【详解】解：，①+②得，解得，将代入①得，解得，∴，将代入得，解得，∴．故选D【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．38. 关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为___________．【答案】2【解析】【分析】先求出方程组的解，由方程组的解为正整数分析得出a值．【详解】解：解方程组，得，∵方程组的解为正整数，∴时，，时，，∴满足条件的所有整数a的和为．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了已知二元一次方程组的解求参数，解题的关键是求出方程组的解，由方程组解的情况分析得到a的值．【练经典】39. 若关于x、y的二元一次方程组与的解相同，则的值为（ ）A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C【解析】【分析】先解方程组，再把方程组的解代入和，求出a、b的值，代入计算即可．【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组与的解相同，∴方程组的解满足四个方程，解方程组得，，把分别代入和得，，，解得，，；∴，故C正确．故选：C．【点睛】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程的解和算术平方根，解题关键是明确同解方程的意义，熟练掌握解二元一次方程组的步骤．40. 已知关于x，y的方程组，甲同学由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙同学由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为．（1）求出原题中a和b的正确值是多少？（2）求这个方程组的正确解是多少？【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）甲同学看错了a，但是所得的方程组的解是满足方程②，乙同学看错了b，但是所得的方程组的解满足①，由此得到关于a，b的方程；（2）根据（1）所求得到原方程组为，利用加减消元法求解即可．【小问1详解】解：由题意得，∴；【小问2详解】解：由（1）得原方程组为，用得：，解得，把代入①得：，解得，∴原方程组的解为．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组错解复原问题，正确理解题意得到关于a，b的方程是解题的关键．【练易错】易错点：错解问题中代入错误导致错误41. 甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错中的，解得，试求的值.【答案】2【解析】【分析】把代入(2)得出，求出，把代入(1)得出，求出，再求出代数式的值即可．【详解】解：甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程(1)中的，解得，乙看错了方程(2)中的，解得，把代入(2)，得，解得：，把代入(1)，得，解得：，∴．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程和求代数式的值等知识点，解题的关键是能得出关于、的一元一次方程．【新定义】42. 定义：把（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“优美二元一次方程”．当时，“优美二元一次方程”中的值称为“优美二元一次方程”的“优美值”．例如：当时，“优美二元一次方程”化为，解得：，故其“优美值”为4．（1）求“优美二元一次方程”的“优美值”；（2）若“优美二元一次方程”的“优美值”是﹣3，求的值；（3）是否存在，使得优美二元一次方程与优美二元一次方程的“优美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“优美值”；若不存在，请说明理由．【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）令，则“优美二元一次方程”化为：，解方程即可求解；（2）令，则“优美二元一次方程”化：，将把代入，即可求解；（3）令，则“优美二元一次方程”化为：，令，则“优美二元一次方程”化为：，根据“优美值”相同，列出关于的一元一次方程，解方程即可求解．【小问1详解】解：令，则“优美二元一次方程”化为：，．其“优美值”为．【小问2详解】解：令，则“优美二元一次方程”化为：，把代入，得．【小问3详解】解：令，则“优美二元一次方程”化为：，，其“优美值”为．令，则“优美二元一次方程”化为：，，其“优美值”为．假设“优美值”相同，∴，∴．∴即“优美值”为．【点睛】本题考查二元一次方程的解，理解新定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．【阅读型小练】43. 阅读下列材料：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得．∴原方程组的解为．请你参考小明同学的做法解方程组：（1）（2）【答案】（1） （2）【解析】【分析】(1) 令，，原方程组变形为，解得，还原方程组得，求解即可．(2)令仿照原题的解法求解即可．【小问1详解】令，，方程组变形为，解得，所以，解得∴原方程组的解为．【小问2详解】令原方程组化为解得，把代入得,解得·【点睛】本题考查了换元法解方程组，熟练掌握换元法解方程组的意义是解题的关键．步骤名称具体任务示例：解方程组变形将方程组的一个方程变形，用含有一个未知数的一次式表示另一个未知数由①，得③代入用这个一次式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程把③代入②，得求解解一元一次方程解得：回代把这个未知数的值代入一次式，求得另一个未知数的值把y=1代入③，得写解写出原方程组的解方程组的解为步骤名称具体任务示例：解方程组调整系数所两个方程中其中一个未知数的系数变为相同或相反数① ×2，②×5，得加减消元把调查的方程组相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程② +④，得求解解这个一元一次方程加代求解把未知数的值代入其中的一个方程，求出另一个未知数的值把x=2代入①，得，解得：写解写出原方程组的解方程组的解为二元一次方程二个未和数未知数的指数是1次整式方程和差积商和，多，增加，上升，共差，少，减少，下降积，倍，几分之几商+-进价（元/个）售价（元/个）冰墩墩3550雪容融3040营业员小丽小华月销售件数（件）200150月总收入（元）14001250