人教版数学九上期末复习讲练专项07 二次函数与方程、不等式（2份，原卷版+解析版）

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考点1 二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
注意：
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的.
当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；
当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根
考点2 利用二次2.函数图象求一元二次方程的近似解
用图象法解一元二次方程的步骤：
1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值．
4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根．
总结：二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
考点2 抛物线与不等式的关系
二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：
【考点1 与x轴交点个数】
【典例1】函数y＝kx2－6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3D．k≤3且k≠0
【答案】C
【解答】解：∵函数y＝kx2－6x+3的图象与x轴有交点，
∴当k≠0时，△＝(－6)2－4k×3≥0，解得：k≤3，
当k＝0时，函数y＝kx2－6x+3为一次函数，则它的图象与x轴有交点，
综合上述：k的取值范围是k≤3，
故答案为：C
【变式1-1】（2020九上·北京月考）抛物线 与 轴交点的个数为（ ）
A．0 B．1C．2D．以上都不对
【答案】C
【解答】因为 ＞0，所以抛物线 与 轴有2个交点，故答案为：C．
【变式1-2】（2021九上·大庆期中）抛物线y＝kx 2－7x－7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是( )
A．k>－ B．k≥－ 且k≠0
C．k≥－ D．k>－ 且k≠0
【答案】B
【解答】解：因为 y=kx2-7x-7为抛物线，所以k≠0；
因为
y=kx2-7x-7和图像有交点，
所以b2-4ac≥0
即(-7)2-4k·(-7)≥0
所以k≥- 。
综上，k≥- 且k≠0。
故答案为：B
【变式1-3】下列关于二次函数y＝ax2－2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，下确的是（ ）
A．没有交点
B．只有一个交点，且它位于y轴右侧
C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧
D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧
【答案】D
【解答】解：当y＝0时，ax2－2ax+1＝0，
∵a＞1，∴△＝4a2－4a＝4a(a－1)＞0，
∴方程ax2－2ax+1＝0有两个实数根，则抛物线与x轴有两个交点，
∵x＝ ＞0，
∴抛物线与x轴的两个交点均在y轴的右侧，
故答案为：D
【典例2】（2021九上·西城期中）已知抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴两个交点的坐标．
【答案】（1）m＜6且m≠2． （2）（﹣2，0），（ ，0）
【解答】（1）解：∵抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点，
∴y=0时，（m﹣2）x2+2mx+m+3=0，则△=（2m）2﹣4×（m﹣2）×（m+3）＞0，m﹣2≠0，
解得m＜6且m≠2．即m的取值范围是：m＜6且m≠2．
（2）解：∵m＜6且m≠2，∴m满足条件的最大整数是m=5．
∴y=3x2+10x+8．当y=0时，3x2+10x+8=0．解得 ．
即抛物线与x轴有两个交点的坐标是：（﹣2，0），（ ，0）．
【变式2-1】（2020九上·科尔沁左翼中旗期中）已知二次函数 ．求证：不论 为何实数，此二次函数的图像与 轴都有两个不同交点．
【答案】略
【解答】解： ，不论 为何值时，都有 ，此时二次函数图象与 轴有两个不同交点．
【变式2-2】已知在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x+2k﹣2的图象与x轴有两个交点．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取正整数时，请你写出二次函数y=x2+2x+2k﹣2的表达式，并求出此二次函数图象与x轴的两个交点坐标．
【答案】（1） （2）（﹣2，0）和（0，0）
【解答】（1）解：∵图象与x轴有两个交点，
∴方程 有两个不相等的实数根，
∴ 即 解得
（2）解：∵k为正整数，
∴k=1．
∴ 令y=0，得 解得 ∴交点为（﹣2，0）和（0，0）
【考点2 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解】
【典例3】（2021九上·崂山期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为 ．
【答案】
【解答】解：∵函数图象可知抛物线与坐标轴交于点，对称轴为，
∴另一个交点为，
x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为
故答案为：
【变式3-1】（2021九上·历下期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为 ．
【答案】x1＝-1，x2＝5
【解答】解：设二次函数与x轴的另一交点的横坐标为x
由题意得：（x+5）÷2=2
解得x=-1
所以方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为：x1＝-1，x2＝5
故答案为：x1＝-1，x2＝5
【变3-2】（2021九上·蓬江期末）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0的解为 ．
【答案】x1＝﹣4，x2＝2
【解答】解：根据图象可知，二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象经过点（﹣4，0），所以该点适合方程y＝﹣x2﹣2x+m，代入，得
（﹣4）2+2×（﹣4）+m＝0
解得，m＝8 ①
把①代入一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0，得
﹣x2﹣2x+8＝0，②
解②，得
x1＝﹣4，x2＝2
∴关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0的解为x1＝﹣4，x2＝2
故答案为x1＝﹣4，x2＝2．
【变式3-3】（2021九上·朝阳期末）抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根为 ．
【答案】，
【解答】解：∵根据图象可得：抛物线与x轴的交点为
∴，
∵对称轴为
∴
∴方程的解为，，
故答案为：，．
【典例4】某人画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出下表（计算没有错误）：
根据此表判断：一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x1满足下列关系式（ ）
A．3.2＜x1＜3.3 B．3.3＜x1＜3.4
C．3.4＜x1＜3.5 D．3.1＜x1＜3.2
【答案】B
【解答】由图象可知函数y=ax2+bx+c与x轴的一个交点的横坐标在3.3～3.4之间，∴一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x1在3.3和3.4之间．∴一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x1满足3.3＜x1＜3.4，故选B．
【变式4-1】在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A．1＜x＜1.1B．1.1＜x＜1.2C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4
【答案】B
【解析】【解答】解：当y=0时，-0.49＜y＜0.04，
∴1.1＜x＜1.2.
故答案为：B.
【变式4-2】根据以下表格中二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的一个解x的范围是（ ）
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1C．1＜x＜1.5D．1.5＜x＜2
【答案】B
【解答】解：由题意得：在内，随的增大而增大，
时，；当时，，
在时，存在一个使得，
即方程的一个解的范围是，
故答案为：B．
【典例5】二次函数y = x2-2x-3的图象如图所示，则函数值y